甘肃省武威第八中学2024—2025学年上学期八年级期中考试数学试卷

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1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
1．B
【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】解：．是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意；
． 是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．是轴对称图形 ，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．小强周末骑自行车出行，他的骑行轨迹恰好是一个三角形．若其中两条边的长度分别为和，则另一条边的长度可能是（ ）
A．B．C．D．
2．A
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系求得第三边的取值范围，进而逐项判断即可．
【详解】解：设三角形的另一条边的长度为，
由题意，得，则，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，
故选：A．
3．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条角平分线都在三角形内部B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．三角形的三条高都在三角形内部D．三角形的中线、角平分线、高都是线段
3．C
【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线、高的性质，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键．
根据三角形的中线、角平分线、高的性质判断即可．
【详解】A．三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确；
B．三角形的三条中线都在三角形内部，正确；
C．三角形的三条高可在三角形内部，也可在外部，原说法错误；
D．三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确；
故选：C．
4．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A．带去B．带去C．带去D．带去

第4题 第6题 第7题
4．C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．
最省事的方法是应带③去，理由是：．
故选：C．
5．已知点和关于轴对称，则值为（ ）
A．0B．C．1D．无法确定
5．B
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据点和关于轴对称，可得，，求出和的值，进一步计算即可．
【详解】解：点和关于轴对称，
，，
解得，，
，
故选：B
6．如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（ ）
A．B．1C．2D．不确
6．B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等面积法求高，掌握等边三角形的性质，等面积法的运用是解题的关键．
如图所示，连接，作于点，则，根据即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，则，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．C
【分析】本题考查的是网格等腰三角形的特点，分以为腰，以为底边两种情况确定C即可；清晰的分类讨论是解本题的关键．
【详解】解：如图，点C的个数有8个，
故选：C．
8．如图，在中，，CD是高，，则下列关系正确的是（ ）
A．B． C．D．
8．D
【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，熟记相关结论即可求解；
【详解】解：∵CD是AB边上的高线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
故选：D．
9．如图，五边形是正五边形，且．若，则（ ）
A．B．C．D．
第8题 第9题 第10题
第8题 第9题 第10题
9．D
【分析】本题考查了平行线的性质、多边形的外角和、三角形的外角的定义及性质，延长交于，由平行线的性质可得，再由对边形的外角和得出，最后由三角形的外角的定义及性质计算即可得解．
【详解】解：如图，延长交于，
，
∵，
∴，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴
故选：D．
10．如图，是边长为1的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，则阴影部分图形的周长为（ ）
A．B．2C．D．3
10．D
【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得．
【详解】解：∵等边的边长为，
∴，
∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，
∴，，
则阴影部分图形的周长为：，
故选：D．
二、填空题（18分）
11．如图，AD是的中线，DE是的中线．若，则 ．
11．
【分析】本题考查了三角形中线的性质，由三角形中线性质可得，，据此即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵DE是的中线，
∴，
∵AD是的中线，
∴，
故答案为：．
12．如图， ．
12．
【分析】本题考查了三角形的内角和以及四边形的内角和定理．连接，根据三角形的内角和定理即可证得，进而根据四边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
在和中，，
．
故答案为：．
第11题 第12题 第13题
13．如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为 ．
13．24
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握全等三角形的性质．利用全等三角形的性质求出和的长可得结论．
【详解】解：，
，，
，
，
．
故答案为：24
14．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 度．
14．40°/40度
【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∵，，
，
∴，
．
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．
第14题 第15题 第16题
15．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是，则的长度是 ．
15．
【分析】本题考查角平分线的判定定理，平行线的性质，等角对等边；
过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是．
【详解】解：过作于，作于点M
由题意得：，
，
平分，
，
，
，
，
，
、在这把直尺上的刻度读数分别是、，
，
的长度是．
故答案为：．
16．如图，等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
16．11
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短距离的计算，根据题意，连接AD，由三角形的面积可得，连接，当的值最小时，的周长最小，当点三点共线时，的值最小，最小值为AD，即，由此即可求解．
【详解】解：连接AD，

∵是等腰三角形，点为边的中点，
∴，，
∵底边长为，面积是，
∴，
解得，，
连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长为，
当的值最小时，的周长最小，
在中，，
∴当点三点共线时，的值最小，最小值为AD，即，
∴的周长为，
故答案为：11 ．
三、解答题（72分）
17．(4分)如图，已知矩形，若点E、F分别在、边上，将沿所在直线翻折，点A的对应点为点，请利用尺规作图的方法，确定折痕的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
17．见详解
【分析】本题考查了作图复杂作图，连接，作的垂直平分线即可；
【详解】图即为所作：
18．（6分）如图，已知在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．求证：．
18．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等问题要注意找条件，有些条件需在图形中仔细观察，认真推敲方可，做题时，有时需要先猜后证．
（1）要证，现有，，需它们的夹角，而由，即可得证；
（2）从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力，要证，需证，需证即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
又∵，
∴．
（2）解：结论：
理由如下：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
19．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
(1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
(2)作直线，画出点关于直线的对称点，并写出点的坐标．
19．(1)画图见解析，
(2)画图见解析，
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化轴对称：
（1）根据关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可；
（2）根据（1）所作图形，画出点关于直线的对称点，再根据图形写出对应点坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∵与关于x轴对称，点的坐标为，
∴点的坐标为．
（2）解：如图所示，即为所求；
根据题意可得点C和点关于直线对称，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为．
20．（6分）如图，在中，于平分与交于点，求．
20．
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可得，根据直角三角形两锐角互余可，根据角平分线的定义可得，在中，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴在中，．
21．（8分）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求长．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，运用了恒等变换的思想，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案；
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴的长为．
22．（8分）如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点E．
(1)求证：是等腰三角形
(2)求证：．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质：
（1）由三线合一定理得到，由平行线的性质得到，据此证明，即可证明，
（2）根据等边对等角得到，根据平行线的性质得到，据此可证明，得到，则可证明．
【详解】（1）证明：∵是等腰三角形的底边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．（8分）如图，AD是的角平分线，DE，分别是和的高．求证：AD垂直平分．

23．见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定；根据角平分线的性质得，证明得到，再由，即可证明结论．
【详解】证明：∵是的角平分线，，分别是和的高，
∴（角平分线的性质）；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分．
24．（8分）天使是美好的象征，她的翅膀就像一对全等三角形．如图AD与BC相交于点O，且，．求证：．
24．答案见解析
【分析】连接BD，根据SSS可证△ABD≌△CDB，得出∠A=∠C，再根据AAS证明.
【详解】证明：连接BD
∵，
又BD=DB
∴△ABD≌△CDB（SSS）
∴∠A=∠C
又∠AOB=∠COD，
∴（AAS）
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，熟练地掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
25.（8分）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点 P 从点 A 出发以每秒1个单位的速度沿 AD 向点 D运动，动点 Q 从点 C 出发以每秒 2 个单位的速度沿 CB 向点 B 运动，P，Q 同时出发，当点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止，连接PQ，DQ.设点 P 运动时间为 t 秒，问当 t 为何值时，△PDQ ≌△CQD ，并证明△PDQ ≌△CQD
25.解：如图，由题意得 AP = t，CQ = 2t
∵ AD = 12 ∴ DP = 12 – t
当 DP = QC即12 - t = 2t ，t = 4
当 t = 4 时，△PDQ ≌△CQD ，理由如下：
∵AD∥BC
∴∠PDQ=∠CQD
在△PDQ 和△CQD中
∴△PDQ ≌△CQD
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，熟练地掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
26．（10分）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．
根据对材料的理解解决以下问题：
(1)如图，，．
①求证：；
②猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长．
26．(1)①见解析；②，见解析
(2)
【分析】（1）①根据已知可求得，，得到，证明；②由（1）可知，得到，从而得出；
（2）首先证明，得到，，结合已知可得到，根据的周长为得到，得到，即可得出最后结果．
【详解】（1）解：①，
，，
，
在与中，
，
；
②猜想：，
理由：由（1）得：，
，，
；
（2），且，
，
在和中，
，
，
，，
四边形的周长为， ，
，
又的周长为，
，
，，
，
，
即．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确寻找全等三角形．