第10讲：拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

这是一份第10讲：拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用），共9页。试卷主要包含了函数极值的第二判定定理，二次求导使用背景，解题步骤等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc5565" 1、函数极值的第二判定定理： PAGEREF _Tc5565 \h 1
\l "_Tc8561" 类型一：利用二阶导数求函数的极值 PAGEREF _Tc8561 \h 1
\l "_Tc8862" 类型二：利用二阶导数求函数的单调性 PAGEREF _Tc8862 \h 3
\l "_Tc23784" 类型三：利用二阶导数求参数的范围 PAGEREF _Tc23784 \h 5
\l "_Tc13452" 类型四：利用二阶导数证明不等式 PAGEREF _Tc13452 \h 7
1、函数极值的第二判定定理：
若在附近有连续的导函数，且，
（1）若则在点处取极大值；
（2）若则在点处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数，无法判断导函数正负；
（2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有或
3、解题步骤：
设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
高频考点
类型一：利用二阶导数求函数的极值
典型例题
例题1．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
例题2．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，设，若恒成立，求的取值范围．
练透核心考点
1．（2024·四川遂宁·二模）已知函数．
(1)若在区间存在极值，求的取值范围；
(2)若，，求的取值范围．
2．（2024·四川广安·二模）已知函数.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)若，，证明：.
类型二：利用二阶导数求函数的单调性
典型例题
例题1．（2024·江西九江·二模）已知函数在处的切线方程为
(1)求a，b的值；
(2)判断的单调性.
例题2．（23-24高二下·广东清远·阶段练习）已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)已知，当，试比较与的大小，并给予证明．
练透核心考点
1．（23-24高二下·重庆铜梁·阶段练习）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）.设是函数的导函数， 是函数的导函数，若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值.
(2)已知函数，其中.求的拐点.
2．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)当时，函数在上的最大值为，求不超过的最大整数．
类型三：利用二阶导数求参数的范围
典型例题
例题1．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知（e为自然对数的底数）
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：当时，恒成立；
(3)已知，如果当时，恒成立，求的最大值.
例题2．（23-24高三下·江西·阶段练习）记函数在上的导函数为，若（其中）恒成立，则称在上具有性质．
(1)判断函数（且）在区间上是否具有性质？并说明理由；
(2)设均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
练透核心考点
1．（23-24高三下·山东潍坊·阶段练习）已知函数．
(1)若在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：，．
2．（2023·河南·三模）已知函数，e为自然对数的底数．
(1)若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程；
(2)判断不等式的整数解的个数；
(3)当时，，求实数a的取值范围．
类型四：利用二阶导数证明不等式
典型例题
例题1．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知（e为自然对数的底数）
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：当时，恒成立；
(3)已知，如果当时，恒成立，求的最大值.
例题2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：．
练透核心考点
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上有极值点，求证：.
2．（2024·四川广安·二模）已知函数.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)若，，证明：.