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高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第10讲拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题(高频精讲)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第10讲拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题(高频精讲)(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了函数极值的第二判定定理，二次求导使用背景，解题步骤等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc21399" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc21399 \h 2
\l "_Tc25777" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc25777 \h 2
\l "_Tc32208" 高频考点一：利用二阶导数求函数的极值 PAGEREF _Tc32208 \h 2
\l "_Tc2651" 高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性 PAGEREF _Tc2651 \h 9
\l "_Tc25972" 高频考点三：利用二阶导数求参数的范围 PAGEREF _Tc25972 \h 16
\l "_Tc30893" 高频考点四：利用二阶导数证明不等式 PAGEREF _Tc30893 \h 24
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第一部分：知识点必背
1、函数极值的第二判定定理：
若在附近有连续的导函数，且，
（1）若则在点处取极大值；
（2）若则在点处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数，无法判断导函数正负；
（2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有或
3、解题步骤：
设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用二阶导数求函数的极值
典型例题
例题1．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数．
(1)设．
①求曲线在点处的切线方程．
②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．
(2)若在上恰有两个零点，求的取值范围．
例题2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在极值点，求实数的取值范围.
例题3．（2023春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数．
(1)求在上的极值；
(2)若，求的最小值．
练透核心考点
1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数，（，为自然对数的底数）.
(1)求函数的极值；
(2)若对，恒成立，求的取值范围.
2．（2023·高二课时练习）已知
(1)求的极值点；
(2)求证：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值.
高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性
典型例题
例题1．（2023·山西太原·统考一模）已知函数.
(1)若恰有三个不同的极值点，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明：
①；
②.
例题2．（2023·山西·校联考模拟预测）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若当时，不等式恒成立，求的取值范围．
例题3．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数．
(1)求证：函数在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知函数，函数，其中．
(1)讨论函数在上的单调性；
(2)当时，证明：曲线与曲线有且只有一个公共点．
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围．
3．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数．
(1)求证：函数在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求实数k的取值范围．
高频考点三：利用二阶导数求参数的范围
典型例题
例题1．（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知函数，为正实数．
(1)若在上为单调函数，求的取值范围；
(2)若对任意的，且，都有，求的取值范围．
例题2．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若和有相同的最小值，求的值．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设函数，，是自然对数的底数．
(1)若，求函数的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，
(1)证明：当时，；
(2)时，设，讨论零点的个数
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若曲线不存在斜率为－2的切线，求a的取值范围；
(3)当时，恒成立，求a的取值范围.（只需直接写出结论）
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若在单调，求的取值范围.
(2)若的图像恒在轴上方，求的取值范围.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知．
(1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的单调区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
高频考点四：利用二阶导数证明不等式
典型例题
例题1．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：对任意的，恒成立.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，曲线在处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)证明：当时，．
例题3．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在使，证明：．
练透核心考点
1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知函数．
(1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程；
(2)当时，对于任意，证明：．
2．（2023春·天津和平·高二校考阶段练习）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，．
3．（2023春·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知函数在处的切线方程为.
(1)求实数a的值;
(2)设的一个正根为m，当，且时，证明:.
第10讲 拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题 (精讲）
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc21399" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc21399 \h 2
\l "_Tc25777" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc25777 \h 2
\l "_Tc32208" 高频考点一：利用二阶导数求函数的极值 PAGEREF _Tc32208 \h 2
\l "_Tc2651" 高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性 PAGEREF _Tc2651 \h 9
\l "_Tc25972" 高频考点三：利用二阶导数求参数的范围 PAGEREF _Tc25972 \h 16
\l "_Tc30893" 高频考点四：利用二阶导数证明不等式 PAGEREF _Tc30893 \h 24
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第一部分：知识点必背
1、函数极值的第二判定定理：
若在附近有连续的导函数，且，
（1）若则在点处取极大值；
（2）若则在点处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数，无法判断导函数正负；
（2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有或
3、解题步骤：
设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用二阶导数求函数的极值
典型例题
例题1．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数．
(1)设．
①求曲线在点处的切线方程．
②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．
(2)若在上恰有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)①；②有极大值.
(2)
【详解】（1）①当时，，则，
所以，所以曲线在点处的切线方程为，
即．
②令得，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由极值的定义知，当时，函数有极大值，无极小值.
（2）因为函数在上恰有两个零点，所以方程在上有两个解，
即在上有两个解，
记，，则直线与函数，有两个交点，
则，
记，则，
令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
令得，又，
所以当时，，，函数单调递增，
当时，，，函数单调递减，
又，，
如图，
由图知，要使直线与函数，有两个交点，则，
所以函数在上恰有两个零点时，a的取值范围为.
例题2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在极值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)的单调递增区间为，无单调递减区间
(2)
【详解】（1）的定义域为，当时，，
则，令，则，
当时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）存在极值点等价于存在变号零点，等价于存在变号实根，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以，所以单调递减，
令，所以，令，解得，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以当时，取得极小值即最小值，
所以，所以，
当无限趋向于0时，趋向于正无穷大，
当无限趋向于正无穷大时，趋向于0，所以，即.
故实数的取值范用为.
例题3．（2023春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数．
(1)求在上的极值；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)为极小值，无极大值.
(2)
【详解】（1），令，得，
在为负，单调递减，
在为正，单调递增，
故为极小值，无极大值.
（2）由题知 ,令，
令，则 ，
设 则 ，
，为正，在单调递增，
，为负，在单调递减，
故为极大值，
若，即，此时，则在单调递减，
又，所以时，在单调递增，
时，，在单调递减，
故为极大值，所以，则当时，符合条件；
，即 此时，
存在，在上；，则在单调递增，
又，则在区间上
所以在区间上，单调递减，则，不满足条件.
综上所述的最小值为.
练透核心考点
1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数，（，为自然对数的底数）.
(1)求函数的极值；
(2)若对，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)
【详解】（1）定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，无极小值.
（2）由得：，在上恒成立；
令，则；
令，则，
在上单调递增，又，，
，使得，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，；
由得：，，
，，
则实数的取值范围为.
2．（2023·高二课时练习）已知
(1)求的极值点；
(2)求证：.
【答案】(1)的极大值点为，极小值点为；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意可知，,
所以的定义域为.
因为，所以，
令即，解得或.
当变化时，的变化情况如下表：
由此表可知，的极大值点为，极小值点为.
（2）由，得，
要证，只需证，即可
设，则，
设，则，
令即，解得.
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数取得极小值，也是最小值
.
所以函数在上单调递增，且，
所以是方程的唯一实数根，
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数取得极小值，也是最小值
,
所以，即，
即证.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值.
【答案】(1)递增区间为，递减区间为，极小值为，没有极大值
(2)3
(1)函数的定义域为，
由，令可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
∴ 函数的递增区间为，递减区间为，
函数在时取极小值，极小值为，函数没有极大值
(2)
当时，不等式可化为，
设，由已知可得，
又，
令，则，
∴ 在上为增函数，又，，
∴ 存在，使得，即
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
∴ ，
∴ ，
∴ m的最大值为3.
高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性
典型例题
例题1．（2023·山西太原·统考一模）已知函数.
(1)若恰有三个不同的极值点，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明：
①；
②.
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②证明见解析.
【详解】（1）由题意得令
，
①当时，
在上递增，
当时，在上递减，
当时，在上递增，
只有一个极值点，此时不符合题意；
②当时，令，即，
则和是方程的两个实数解，且，
所以时，，时，，
在和上递增，在上递减，且，
，
在上存在唯一零点，
，
在上存在唯一零点，
在和上递减，在和上递增，记，
是的三个不同的极值点，且，
综上，实数的取值范围为；
（2）由（1）得当时，有三个不同的极值点，且，
①要证，只需证，
，
.
②要证，只需证，
，
只需证，
令，
则，
令，则，
，
，
即.
例题2．（2023·山西·校联考模拟预测）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，在和上单调递增
(2)
【详解】（1）依题意得．
①当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
③当时在上恒成立，所以在上单调递增；
④当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增．
（2）当时，恒成立，则恒成立．
（i）当时，不等式即，满足条件．
（ii）当时，原不等式可化为，该式对任意恒成立．
设，则．
设，则．
因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增．
又因为，所以是在上的唯一零点，
所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以当时，，所以．
（iii）当时，原不等式可化为，
此时对于（ii）中的函数，可知当时，，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，即，所以在上单调递减，
所以当时，，所以．
综上所述，m的取值范围是．
例题3．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数．
(1)求证：函数在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵
当时，
∴成立，所以函数在上单调递增．
（2）
当时，不等式显然成立
当时，，所以
令，
令，
在上成立，
∴在上为单调递增函数，
∴
即在上成立，
在上单调递减，∴
∴．
练透核心考点
1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知函数，函数，其中．
(1)讨论函数在上的单调性；
(2)当时，证明：曲线与曲线有且只有一个公共点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1），
当时，，则函数在上单调递增.
当，即时，若时，；
若时，.
即函数在上单调递减，在上单调递增.
当，即时，，函数在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增.
当，函数在上单调递减，在上单调递增.
当，函数在上单调递减.
（2）设，
题设等价于证明函数有且仅有一个零点，，
设，，则函数在上单调递减，又，
则当时，；当时，；
当时，，则函数在上单调递减，又，
故此时函数有且仅有一个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，，
则当时，恒成立；
当且时，
，，
则，函数在上存在一个零点，
此时函数有且仅有一个零点；
综上即证.
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值；
(2)．
【详解】（1）当时，，，
所以，
设，则，
所以在单调递增，又，
∴时，，单调递减；
时，，单调递增；
∴在处有极小值，极小值为，无极大值；
（2）因为，
所以，
设，则，
令，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
故，
当时，且不恒等于零，在上单调递增，
所以，即，在上单调递增，
所以，即对任意的恒成立；
当时，则，，
所以存在，
∴时，，单调递减，此时，，
所以时，单调递减，，不满足题意；
综上，实数的取值范围．
3．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数．
(1)求证：函数在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1），
当时，，，，
，即，
当时，恒成立，
当时，恒成立，
函数在上单调递增．
（2）当或时，不等式显然成立．
当时，，所以．
令，，
令，
在上成立，
在上为单调递增函数，且，
当时，，即；
当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增；
，．
高频考点三：利用二阶导数求参数的范围
典型例题
例题1．（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知函数，为正实数．
(1)若在上为单调函数，求的取值范围；
(2)若对任意的，且，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）时，，，
因为函数在上为单调函数，
当时，，所以恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
而，所以，
所以，即的取值范围为．
（2）因为，所以，
所以在区间上是减函数．在区间上恒成立，
①当时，．
由在上恒成立．
设，所以，
所以在上为增函数，所以．
②当时，．
由在上恒成立．
令，所以在上为增函数，
所以，
综上：的取值范围为．
例题2．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若和有相同的最小值，求的值．
【答案】(1)
(2)答案见解析；
(3)
【详解】（1）解：因为，，
所以，
所以，，
所以，曲线在点处的切线方程，即．
（2）解：函数的定义域为，
所以，，
所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增，
当时，时，，单调递减；时，，单调递增，
综上，当时，增区间为，无减区间；
当时， 减区间为，增区间为.
（3）解：由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增.
所以，
因为，得，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，，
因为和有相同的最小值，
所以，即，
令，，
令，，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即，
所以，在上单调递增，
因为，
所以，等价于
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设函数，，是自然对数的底数．
(1)若，求函数的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
（1）解：当时，函数，
则，
令，解得，，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值；
（2）（2）由题意，令，且，
则，且，
令，
，且，
①当，即时，，所以，则单调递增，
所以，则在上单调递增，
所以，符合题意；
②当，即时，，，
所以存在，使得，
当时，，则单调递减，
故，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，
(1)证明：当时，；
(2)时，设，讨论零点的个数
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，令
，
令
则
当时，，当时，，
∴
得在内单调递增，由，
得当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，
∴，即
（2），
当时，由，得，
∴，
由（1）可得；
当时，
令，则
由得，
∴在内单调递增
由，
∴，使得，
则当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，
由得，
，
∴，使得，
综上，当时在内无零点；
当时在内有一个零点；
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若曲线不存在斜率为－2的切线，求a的取值范围；
(3)当时，恒成立，求a的取值范围.（只需直接写出结论）
【答案】(1)单调递增区间为和；单调递减区间为；极大值，极小值
(2)a的取值范围为；
(3)a的取值范围为.
（1）由， 得.
当时，
令，得
此时，随的变化如下：
所以的单调递增区间为和
的单调递减区间为
函数在时，取得极大值，
在时，取得极小值.
（2）
因为不存在斜率为的切线， 所以
即方程无解，所以
解得，
所以a的取值范围为；
（3）
不等式可化为，
设， ，
设，则
当时，，，又
所以，
函数在上单调递增，
所以当时，，此时，
所以函数在上单调递增，又，
所以当时，，
所以时，在上恒成立，
当时，方程的判别式，
因为，所以，所以，
所以方程有两个不相等的实数根，
设其根为，且，则，
所以，
所以当时，，
此时，所以函数在上单调递减，又，
所以当时，，
所以时，在上不可能恒成立，
综上可得a的取值范围为.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若在单调，求的取值范围.
(2)若的图像恒在轴上方，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
(1)由题意得，.
在上单调，即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.
令，则，当时，.
当时，，∴在上单调递减，
∴由题意得，或，
解得或，
∴的取值范围是.
(2)
的图象恒在轴上方，也即当时，恒成立.
也即在上恒成立.
令，，
令，则，由得，当时，当时，，即时，有极大值，也是最大值，所以，
所以（当时取等号），再由可得：，
列表如下：
由上表知为极大值，所以.
∴的取值范围是.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知．
(1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的单调区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；
(2)
【详解】（1）由题意可知，的定义域为，
因为，所以，
因为曲线在点处的切线斜率为0，所以，即
，解得.
∴，，
令，即，解得；
令即，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由题意：，即，
恒成立.
令，,则，
令，则，
在上单调递增，又，
∴当时，，
在上单调递增，
所以，
要使在恒成立，只需要即可.
所以实数的取值范围为．
高频考点四：利用二阶导数证明不等式
典型例题
例题1．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：对任意的，恒成立.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
则，曲线在处的切点坐标为，切线斜率为.
故所求切线方程为.
（2）证明：设，则，
设，则.
当时，；当时，.
在上单调递减，在上单调递增，
故.
因为，所以.
因为，所以存在唯一，使得.
当时，；当时，.
即在与上单调递增，在上单调递减.
因为，所以对任意的，恒成立，即恒成立 .
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，曲线在处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题可知，即．
又，所以，
解得，即．
（2），，
要证，，
只需证，
令，
则，
令，则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以在上单调递增，则，即当时，．
例题3．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在使，证明：．
【答案】(1)的单调增区间为，减区间为.
(2)见解析
【详解】（1）的定义域为，
，令，解得：.
令，解得：，令，解得：，
所以的单调增区间为，减区间为.
（2）若存在使，
，
两式相减可得：，得，
两式相加可得：，得
所以，则，
欲证，两边同时取对数，即证，
即证，即
而，，因为，令，
即证，
设，
故在上单调递增，所以，
故在上单调递增，所以，
所以，所以.
练透核心考点
1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知函数．
(1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程；
(2)当时，对于任意，证明：．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【详解】（1）由题，时，，，
设切点，则切线方程为，
该切线过点，则，即，
所以或．又；；，．
所以，切线方程为或；
（2）设，则，
令，则，
可知，时，；时，，
故时均有，则即在上单调递增，，
因为时，则，，故在上单调递增，
此时，．
所以，当时，对于任意，均有．
2．（2023春·天津和平·高二校考阶段练习）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)的单调递增区间是和，无减区间
(2)证明详见解析
【详解】（1）的定义域是，
，
设，
，所以在区间递减，
在区间递增，
所以，
所以，所以的单调递增区间是和，无减区间.
（2）当时，要证，
即证，即证.
设，，
令，则，
所以在区间递减；在区间递增.
所以，即，
所以单调递增，而，所以，
即.
综上所述，当时，．
3．（2023春·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知函数在处的切线方程为.
(1)求实数a的值;
(2)设的一个正根为m，当，且时，证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1），
∴函数在处的切线的斜率，
，解得；
（2）令，
则，在上单调递增.
又，
即的一个大于1的零点.
令，则.
设，则在上单调递减，，
，
在上单调递减，
∴当，且时，，
即，即，
∴当，且时，．
0
0
极大值
极小值
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
1
0
0
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc21399" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc21399 \h 2
\l "_Tc25777" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc25777 \h 2
\l "_Tc32208" 高频考点一：利用二阶导数求函数的极值 PAGEREF _Tc32208 \h 2
\l "_Tc2651" 高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性 PAGEREF _Tc2651 \h 9
\l "_Tc25972" 高频考点三：利用二阶导数求参数的范围 PAGEREF _Tc25972 \h 16
\l "_Tc30893" 高频考点四：利用二阶导数证明不等式 PAGEREF _Tc30893 \h 24
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第一部分：知识点必背
1、函数极值的第二判定定理：
若在附近有连续的导函数，且，
（1）若则在点处取极大值；
（2）若则在点处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数，无法判断导函数正负；
（2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有或
3、解题步骤：
设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用二阶导数求函数的极值
典型例题
例题1．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数．
(1)设．
①求曲线在点处的切线方程．
②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．
(2)若在上恰有两个零点，求的取值范围．
例题2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在极值点，求实数的取值范围.
例题3．（2023春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数．
(1)求在上的极值；
(2)若，求的最小值．
练透核心考点
1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数，（，为自然对数的底数）.
(1)求函数的极值；
(2)若对，恒成立，求的取值范围.
2．（2023·高二课时练习）已知
(1)求的极值点；
(2)求证：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值.
高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性
典型例题
例题1．（2023·山西太原·统考一模）已知函数.
(1)若恰有三个不同的极值点，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明：
①；
②.
例题2．（2023·山西·校联考模拟预测）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若当时，不等式恒成立，求的取值范围．
例题3．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数．
(1)求证：函数在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知函数，函数，其中．
(1)讨论函数在上的单调性；
(2)当时，证明：曲线与曲线有且只有一个公共点．
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围．
3．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数．
(1)求证：函数在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求实数k的取值范围．
高频考点三：利用二阶导数求参数的范围
典型例题
例题1．（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知函数，为正实数．
(1)若在上为单调函数，求的取值范围；
(2)若对任意的，且，都有，求的取值范围．
例题2．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若和有相同的最小值，求的值．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设函数，，是自然对数的底数．
(1)若，求函数的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，
(1)证明：当时，；
(2)时，设，讨论零点的个数
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若曲线不存在斜率为－2的切线，求a的取值范围；
(3)当时，恒成立，求a的取值范围.（只需直接写出结论）
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若在单调，求的取值范围.
(2)若的图像恒在轴上方，求的取值范围.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知．
(1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的单调区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
高频考点四：利用二阶导数证明不等式
典型例题
例题1．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：对任意的，恒成立.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，曲线在处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)证明：当时，．
例题3．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在使，证明：．
练透核心考点
1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知函数．
(1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程；
(2)当时，对于任意，证明：．
2．（2023春·天津和平·高二校考阶段练习）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，．
3．（2023春·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知函数在处的切线方程为.
(1)求实数a的值;
(2)设的一个正根为m，当，且时，证明:.
第10讲 拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题 (精讲）
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc21399" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc21399 \h 2
\l "_Tc25777" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc25777 \h 2
\l "_Tc32208" 高频考点一：利用二阶导数求函数的极值 PAGEREF _Tc32208 \h 2
\l "_Tc2651" 高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性 PAGEREF _Tc2651 \h 9
\l "_Tc25972" 高频考点三：利用二阶导数求参数的范围 PAGEREF _Tc25972 \h 16
\l "_Tc30893" 高频考点四：利用二阶导数证明不等式 PAGEREF _Tc30893 \h 24
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
第一部分：知识点必背
1、函数极值的第二判定定理：
若在附近有连续的导函数，且，
（1）若则在点处取极大值；
（2）若则在点处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数，无法判断导函数正负；
（2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有或
3、解题步骤：
设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用二阶导数求函数的极值
典型例题
例题1．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数．
(1)设．
①求曲线在点处的切线方程．
②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．
(2)若在上恰有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)①；②有极大值.
(2)
【详解】（1）①当时，，则，
所以，所以曲线在点处的切线方程为，
即．
②令得，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由极值的定义知，当时，函数有极大值，无极小值.
（2）因为函数在上恰有两个零点，所以方程在上有两个解，
即在上有两个解，
记，，则直线与函数，有两个交点，
则，
记，则，
令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
令得，又，
所以当时，，，函数单调递增，
当时，，，函数单调递减，
又，，
如图，
由图知，要使直线与函数，有两个交点，则，
所以函数在上恰有两个零点时，a的取值范围为.
例题2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在极值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)的单调递增区间为，无单调递减区间
(2)
【详解】（1）的定义域为，当时，，
则，令，则，
当时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）存在极值点等价于存在变号零点，等价于存在变号实根，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以，所以单调递减，
令，所以，令，解得，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以当时，取得极小值即最小值，
所以，所以，
当无限趋向于0时，趋向于正无穷大，
当无限趋向于正无穷大时，趋向于0，所以，即.
故实数的取值范用为.
例题3．（2023春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数．
(1)求在上的极值；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)为极小值，无极大值.
(2)
【详解】（1），令，得，
在为负，单调递减，
在为正，单调递增，
故为极小值，无极大值.
（2）由题知 ,令，
令，则 ，
设 则 ，
，为正，在单调递增，
，为负，在单调递减，
故为极大值，
若，即，此时，则在单调递减，
又，所以时，在单调递增，
时，，在单调递减，
故为极大值，所以，则当时，符合条件；
，即 此时，
存在，在上；，则在单调递增，
又，则在区间上
所以在区间上，单调递减，则，不满足条件.
综上所述的最小值为.
练透核心考点
1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数，（，为自然对数的底数）.
(1)求函数的极值；
(2)若对，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)
【详解】（1）定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，无极小值.
（2）由得：，在上恒成立；
令，则；
令，则，
在上单调递增，又，，
，使得，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，；
由得：，，
，，
则实数的取值范围为.
2．（2023·高二课时练习）已知
(1)求的极值点；
(2)求证：.
【答案】(1)的极大值点为，极小值点为；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意可知，,
所以的定义域为.
因为，所以，
令即，解得或.
当变化时，的变化情况如下表：
由此表可知，的极大值点为，极小值点为.
（2）由，得，
要证，只需证，即可
设，则，
设，则，
令即，解得.
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数取得极小值，也是最小值
.
所以函数在上单调递增，且，
所以是方程的唯一实数根，
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数取得极小值，也是最小值
,
所以，即，
即证.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值.
【答案】(1)递增区间为，递减区间为，极小值为，没有极大值
(2)3
(1)函数的定义域为，
由，令可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
∴ 函数的递增区间为，递减区间为，
函数在时取极小值，极小值为，函数没有极大值
(2)
当时，不等式可化为，
设，由已知可得，
又，
令，则，
∴ 在上为增函数，又，，
∴ 存在，使得，即
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
∴ ，
∴ ，
∴ m的最大值为3.
高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性
典型例题
例题1．（2023·山西太原·统考一模）已知函数.
(1)若恰有三个不同的极值点，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明：
①；
②.
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②证明见解析.
【详解】（1）由题意得令
，
①当时，
在上递增，
当时，在上递减，
当时，在上递增，
只有一个极值点，此时不符合题意；
②当时，令，即，
则和是方程的两个实数解，且，
所以时，，时，，
在和上递增，在上递减，且，
，
在上存在唯一零点，
，
在上存在唯一零点，
在和上递减，在和上递增，记，
是的三个不同的极值点，且，
综上，实数的取值范围为；
（2）由（1）得当时，有三个不同的极值点，且，
①要证，只需证，
，
.
②要证，只需证，
，
只需证，
令，
则，
令，则，
，
，
即.
例题2．（2023·山西·校联考模拟预测）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，在和上单调递增
(2)
【详解】（1）依题意得．
①当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
③当时在上恒成立，所以在上单调递增；
④当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增．
（2）当时，恒成立，则恒成立．
（i）当时，不等式即，满足条件．
（ii）当时，原不等式可化为，该式对任意恒成立．
设，则．
设，则．
因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增．
又因为，所以是在上的唯一零点，
所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以当时，，所以．
（iii）当时，原不等式可化为，
此时对于（ii）中的函数，可知当时，，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，即，所以在上单调递减，
所以当时，，所以．
综上所述，m的取值范围是．
例题3．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数．
(1)求证：函数在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵
当时，
∴成立，所以函数在上单调递增．
（2）
当时，不等式显然成立
当时，，所以
令，
令，
在上成立，
∴在上为单调递增函数，
∴
即在上成立，
在上单调递减，∴
∴．
练透核心考点
1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知函数，函数，其中．
(1)讨论函数在上的单调性；
(2)当时，证明：曲线与曲线有且只有一个公共点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1），
当时，，则函数在上单调递增.
当，即时，若时，；
若时，.
即函数在上单调递减，在上单调递增.
当，即时，，函数在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增.
当，函数在上单调递减，在上单调递增.
当，函数在上单调递减.
（2）设，
题设等价于证明函数有且仅有一个零点，，
设，，则函数在上单调递减，又，
则当时，；当时，；
当时，，则函数在上单调递减，又，
故此时函数有且仅有一个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，，
则当时，恒成立；
当且时，
，，
则，函数在上存在一个零点，
此时函数有且仅有一个零点；
综上即证.
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值；
(2)．
【详解】（1）当时，，，
所以，
设，则，
所以在单调递增，又，
∴时，，单调递减；
时，，单调递增；
∴在处有极小值，极小值为，无极大值；
（2）因为，
所以，
设，则，
令，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
故，
当时，且不恒等于零，在上单调递增，
所以，即，在上单调递增，
所以，即对任意的恒成立；
当时，则，，
所以存在，
∴时，，单调递减，此时，，
所以时，单调递减，，不满足题意；
综上，实数的取值范围．
3．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数．
(1)求证：函数在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1），
当时，，，，
，即，
当时，恒成立，
当时，恒成立，
函数在上单调递增．
（2）当或时，不等式显然成立．
当时，，所以．
令，，
令，
在上成立，
在上为单调递增函数，且，
当时，，即；
当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增；
，．
高频考点三：利用二阶导数求参数的范围
典型例题
例题1．（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知函数，为正实数．
(1)若在上为单调函数，求的取值范围；
(2)若对任意的，且，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）时，，，
因为函数在上为单调函数，
当时，，所以恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
而，所以，
所以，即的取值范围为．
（2）因为，所以，
所以在区间上是减函数．在区间上恒成立，
①当时，．
由在上恒成立．
设，所以，
所以在上为增函数，所以．
②当时，．
由在上恒成立．
令，所以在上为增函数，
所以，
综上：的取值范围为．
例题2．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若和有相同的最小值，求的值．
【答案】(1)
(2)答案见解析；
(3)
【详解】（1）解：因为，，
所以，
所以，，
所以，曲线在点处的切线方程，即．
（2）解：函数的定义域为，
所以，，
所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增，
当时，时，，单调递减；时，，单调递增，
综上，当时，增区间为，无减区间；
当时， 减区间为，增区间为.
（3）解：由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增.
所以，
因为，得，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，，
因为和有相同的最小值，
所以，即，
令，，
令，，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即，
所以，在上单调递增，
因为，
所以，等价于
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设函数，，是自然对数的底数．
(1)若，求函数的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
（1）解：当时，函数，
则，
令，解得，，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值；
（2）（2）由题意，令，且，
则，且，
令，
，且，
①当，即时，，所以，则单调递增，
所以，则在上单调递增，
所以，符合题意；
②当，即时，，，
所以存在，使得，
当时，，则单调递减，
故，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，
(1)证明：当时，；
(2)时，设，讨论零点的个数
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，令
，
令
则
当时，，当时，，
∴
得在内单调递增，由，
得当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，
∴，即
（2），
当时，由，得，
∴，
由（1）可得；
当时，
令，则
由得，
∴在内单调递增
由，
∴，使得，
则当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，
由得，
，
∴，使得，
综上，当时在内无零点；
当时在内有一个零点；
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若曲线不存在斜率为－2的切线，求a的取值范围；
(3)当时，恒成立，求a的取值范围.（只需直接写出结论）
【答案】(1)单调递增区间为和；单调递减区间为；极大值，极小值
(2)a的取值范围为；
(3)a的取值范围为.
（1）由， 得.
当时，
令，得
此时，随的变化如下：
所以的单调递增区间为和
的单调递减区间为
函数在时，取得极大值，
在时，取得极小值.
（2）
因为不存在斜率为的切线， 所以
即方程无解，所以
解得，
所以a的取值范围为；
（3）
不等式可化为，
设， ，
设，则
当时，，，又
所以，
函数在上单调递增，
所以当时，，此时，
所以函数在上单调递增，又，
所以当时，，
所以时，在上恒成立，
当时，方程的判别式，
因为，所以，所以，
所以方程有两个不相等的实数根，
设其根为，且，则，
所以，
所以当时，，
此时，所以函数在上单调递减，又，
所以当时，，
所以时，在上不可能恒成立，
综上可得a的取值范围为.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若在单调，求的取值范围.
(2)若的图像恒在轴上方，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
(1)由题意得，.
在上单调，即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.
令，则，当时，.
当时，，∴在上单调递减，
∴由题意得，或，
解得或，
∴的取值范围是.
(2)
的图象恒在轴上方，也即当时，恒成立.
也即在上恒成立.
令，，
令，则，由得，当时，当时，，即时，有极大值，也是最大值，所以，
所以（当时取等号），再由可得：，
列表如下：
由上表知为极大值，所以.
∴的取值范围是.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知．
(1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的单调区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；
(2)
【详解】（1）由题意可知，的定义域为，
因为，所以，
因为曲线在点处的切线斜率为0，所以，即
，解得.
∴，，
令，即，解得；
令即，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由题意：，即，
恒成立.
令，,则，
令，则，
在上单调递增，又，
∴当时，，
在上单调递增，
所以，
要使在恒成立，只需要即可.
所以实数的取值范围为．
高频考点四：利用二阶导数证明不等式
典型例题
例题1．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：对任意的，恒成立.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
则，曲线在处的切点坐标为，切线斜率为.
故所求切线方程为.
（2）证明：设，则，
设，则.
当时，；当时，.
在上单调递减，在上单调递增，
故.
因为，所以.
因为，所以存在唯一，使得.
当时，；当时，.
即在与上单调递增，在上单调递减.
因为，所以对任意的，恒成立，即恒成立 .
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，曲线在处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题可知，即．
又，所以，
解得，即．
（2），，
要证，，
只需证，
令，
则，
令，则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以在上单调递增，则，即当时，．
例题3．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在使，证明：．
【答案】(1)的单调增区间为，减区间为.
(2)见解析
【详解】（1）的定义域为，
，令，解得：.
令，解得：，令，解得：，
所以的单调增区间为，减区间为.
（2）若存在使，
，
两式相减可得：，得，
两式相加可得：，得
所以，则，
欲证，两边同时取对数，即证，
即证，即
而，，因为，令，
即证，
设，
故在上单调递增，所以，
故在上单调递增，所以，
所以，所以.
练透核心考点
1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知函数．
(1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程；
(2)当时，对于任意，证明：．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【详解】（1）由题，时，，，
设切点，则切线方程为，
该切线过点，则，即，
所以或．又；；，．
所以，切线方程为或；
（2）设，则，
令，则，
可知，时，；时，，
故时均有，则即在上单调递增，，
因为时，则，，故在上单调递增，
此时，．
所以，当时，对于任意，均有．
2．（2023春·天津和平·高二校考阶段练习）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)的单调递增区间是和，无减区间
(2)证明详见解析
【详解】（1）的定义域是，
，
设，
，所以在区间递减，
在区间递增，
所以，
所以，所以的单调递增区间是和，无减区间.
（2）当时，要证，
即证，即证.
设，，
令，则，
所以在区间递减；在区间递增.
所以，即，
所以单调递增，而，所以，
即.
综上所述，当时，．
3．（2023春·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知函数在处的切线方程为.
(1)求实数a的值;
(2)设的一个正根为m，当，且时，证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1），
∴函数在处的切线的斜率，
，解得；
（2）令，
则，在上单调递增.
又，
即的一个大于1的零点.
令，则.
设，则在上单调递减，，
，
在上单调递减，
∴当，且时，，
即，即，
∴当，且时，．
0
0
极大值
极小值
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
1
0
0
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