上海市虹口区复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

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这是一份上海市虹口区复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若，则下列不等式成立的是（）
A．B．C．D．
2．已知全集，集合，则如图阴影部分表示的集合是（）
A．B．C．D．
3．方程在区间和各有一个根的充要条件是（）
A．B．C．D．
4．已知，若关于x的不等式的解集为，则（）
A．不存在有序数组，使得
B．存在唯一有序数组，使得
C．有且只有两组有序数组，使得
D．存在无穷多组有序数组，使得
二、填空题：本题共10小题，共42分．
5．已知集合，则______．
6．已知集合，且，则m的值为__________．
7．若，则实数______．
8．命题“a，b是实数，若，则”，用反证法证明时，应先假设______．
9．若集合的子集只有两个，则实数______．
10．设命题p：集合，命题q：集合，若，则实数a的取值范围是______．
11．设是方程的两个实数根，则______．
12．设关于x的方程集为M，关于x的不等式的解集为N，若集合，则______．
13．集合，任取，这三个式子中至少有一个成立，则n的最大值为______．
14．设，若存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则a的取值范围是______．
三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题8分）
已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
16．（本小题8分）
（1）当时，求证：；
（2）已知试证明a，b，c至少有一个不小于1．
17．（本小题13分）
已知关于x的不等式的解集为．
（1）若，求x的取值范围；
（2）若，求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，满足：“对于任意正整数n，都有；对于任意负整数m，都有”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
18．（本小题13分）
记，存在正整数n，且．若集合满足，则称集合A为“谐调集”．
（1）分别判断集合、集合是否为“谐调集”；
（2）已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由；
（3）若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合．
答案和解析
1．【答案】A
【解析】【分析】
利用不等式的基本性质即可判断出正误．
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：，
与的大小关系不确定．
则下列不等式成立的是A．
故选：A．
2．【答案】C
【解析】解：，
由题意可知阴影部分对应的集合为，
，
即，
，
故选：C．
根据阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，利用阴影部分表示出集合关系是解决本题的关键．
3．【答案】B
【解析】解：令，则解得，
所以方程在区间和各有一个根的充要条件是．
故选：B．
根据一元二次方程根的分布与系数的关系，结合二次函数的图像，求出a的取值范围即可．
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，属于中档题．
4．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的求解，属中档题．
【解答】
解：根据题意得，
于是不等式化为：
因为解集为，
所以是方程的两个不同的根，
且是方程的两个不同的根，
根据韦达定理得．
所以，
于是只要的所有就可以了．
5．【答案】
【解析】解：，
又集合，
．
故答案为：．
先求出集合A，再利用补集的运算求解即可．
本题主要考查了补集的运算，属于基础题．
6．【答案】0
【解析】【分析】
本题考查实数m的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意集合相等的概念的灵活运用．
由，且，知，由此能求出实数m的值，不满足集合中元素的互异性，舍去．
【解答】
解：，且，
，，
解得，或．
不满足集合中元素的互异性，舍去．
符合题意．
故答案是：0．
7．【答案】
【解析】解：当时，，不满足元素的互异性，舍去，
当时，解得或4，
显然时，不符合题意，
所以．
故答案为：．
根据元素与集合的关系求解．
本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．
8．【答案】a，b不都等于1
【解析】解：由题意，即考虑的否定，由于a，b都等于1，故否定为a，b不都等于1，
故答案为：a，b不都等于1．
根据题意，即考虑的否定，由于不是a，b都等于1，故否定为a，b不都等于1
本题主要考查反证法．考查命题的否定方法，应注意a，b都等于1，的否定为a，b不都等于1，这是容易错的地方．
9．【答案】0或
【解析】解：的子集只有两个，
有一个元素，
①时，，满足题意；
②时，，解得，
或．
故答案为：0或．
根据题意知道A有一个元素，然后讨论a是否为0，然后得出a的值即可．
本题考查了子集的定义，一元二次方程有一个解的充要条件，是基础题．
10．【答案】
【解析】解：根据题意，若，则，
则有，解可得，
即a的取值范围为
故答案为：．
根据题意，分析可得，由此可得关于a的不等式，解可得答案．
本题考查充分必要条件与集合的关系，涉及集合之间的关系，属于基础题．
11．【答案】2024
【解析】解：是方程的两个实数根，
则，
故．
故答案为：2024．
根据已知条件，结合韦达定理，即可求解．
本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题．
12．【答案】
【解析】解：不等式的解集为，
所以有或，
所以或，
故，
所以或，
故
故答案为：．
利用一元二次不等式的解法求出集合N，再利用集合相等的定义，将方程转化为，即可求出ab的值．
本题考查了一元二次不等式的解法、含有绝对值的方程的根的求解，涉及了集合相等的概念的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力．
13．【答案】7
【解析】解：不妨设，若集合A中的正数个数大于等于4，
由于和均大于，于是有，
从而，矛盾，所以集合A中至多有3个正数，
同理可知集合A中最多有3个负数，
取，满足题意，
所以n的最大值为7，
故答案为：7．
不妨设，若集合A中的正数个数大于等于4，然后推出矛盾，所以集合A中至多有3个正数，同理可知集合A中最多有3个负数，然后取，满足题意，即可求解．
本题考查了元素与集合的关系，涉及到反证法的应用，考查了学生的理解能力，属于中档题．
14．【答案】
【解析】解：，
，
若有解，
则，
又，
；
的解为，
，
，
关于x的不等式组有解，
，
即，
令，
则
，
故在上单调递增；
时，m的值存在且唯一；
，
即；
故答案为：
由不等式有解知，且解为，由不等式组有解知，化简为，构造函数，求导判断函数的单调性，根据单调性及题意可得到不等式，从而解a的取值范围．
本题以不等式是否有解为载体，考查了复合函数的单调性的判断及函数思想，转化思想的应用，属于中档题．
15．【答案】解：（1）若，由，解得，则，
又，即等价于，解得，
则，
．
（2）由等价于，
当时，集合，符合；
当时，由，解得，
即，又，
，解得，
综上，实数a的取值范围是
【解析】（1）当时，化简集合A，集合B，再根据集合的并集运算可得解；
（2）即，抓住集合A是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解．
本题考查集合的基本运算，属中档题．
16．【答案】证明：（1）
，
；
（2）假设a，b，c都小于1，即，
则有①
而②
①与②矛盾，
故a，b，c至少有一个不小于1．
【解析】本题考查反证法的运用，属于基础题．注意用反证法时，需要首先否定原命题，特别是带至少、最多词语一类的否定．
（1）根据作差法即可证明；
（2）根据题意，首先假设命题错误，即假设a，b，c均小于1，进而可得，再分析a、b、c三项的和，可得矛盾，即可证原命题成立．
17．【答案】解：（1）当时，不等式为，即，解得，
所以x的取值范围是．
（2）当时，解得，或，
①当时，不等式化为，所以时，不等式的解集为R；
②当时，不等式化为，对任意实数x不等式不成立；
③当时，解得，
所以k的取值范围是；
综上所述，实数k的取值范围是．
（3）根据题意，得出解集
当时，解得，或，
时，不等式的解集为，满足条件，
时，恒成立，不满足条件，
当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件，
当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件，
综上，存在满足条件k的值为5．
【解析】（1）直接求解不等式，即可得到结果．
（2）讨论二次项系数及不为0时，求出原不等式的解集为R时k的取值范围．
（3）根据题意得出解集M，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可．
本题考查了解含有字母系数的不等式应用问题，也考查了转化思想，是中档题．
18．【答案】解：（1）因为，所以E不是“谐调集”，
因为，所以F是“谐调集”；
（2）若存在符合题意的实数z，则，
所以，即，解得或或，
当时，则，不符合题意；
当时，，
由此，x、y是方程的实数解．
但，方程无实数解，所以不符合题意；
当时，同理，可得不符合题意，
综上，不存在符合题意的实数z；
（3）不妨设A中所有元素满足，
则，
于是，，
即，
当时，则，但无解，所以不存在符合题意的“谐调集”，
当时，则，
当时，均为正整数，．
，
又，即，
但当时，，矛盾．
所以不存在符合题意的“谐调集”
综上，符合题意的“谐调集”为．
【解析】（1）根据新定义计算即可判断；
（2）若存在符合题意的实数z，根据题意可得，求解z后，检验x，y，进而可判断；
（3）不妨设A中所有元素满足，从而可得，进而可得，再分三种情况求解即可．
本题是新定义的题目，按照定义推理即可，属于中档题．