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苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题09类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略(原卷版+解析)
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这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题09类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略(原卷版+解析)，共29页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31892" 【典型例题】 PAGEREF _Tc31892 \h 1
\l "_Tc22888" 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 PAGEREF _Tc22888 \h 1
\l "_Tc26962" 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 PAGEREF _Tc26962 \h 13
【典型例题】
【类型一 有切点，连半径，证垂直】
例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，半径为2，交于点D，且D是的中点，于点E，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径的与交于点D，与边交于点E，过点D作的垂线，垂足为F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
4．（2022秋·山西朔州·九年级校考期中）如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作的垂线交于点F，是的外接圆．
(1)求证：是的切线；
(2)过点E作于点H，若，求的半径．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，点在边上，平分，交于，是的外接圆．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【类型二 无切点，作垂直，证半径】
例题：（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试）如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．
【变式训练】
1．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，为的角平分线上的一点， 于点，以为圆心为半径作，求证：与相切．
2．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，，试求的长．
3．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．
4．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
5．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点．
(1)求证：与相切；
(2)若的半径为，求正方形的边长．
专题09 类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31892" 【典型例题】 PAGEREF _Tc31892 \h 1
\l "_Tc22888" 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 PAGEREF _Tc22888 \h 1
\l "_Tc26962" 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 PAGEREF _Tc26962 \h 13
【典型例题】
【类型一 有切点，连半径，证垂直】
例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）如图1，连接，由平分，可得，由，可得，，则，，进而结论得证；
（2）如图2，连接，交于H，由是的直径，可得，由勾股定理得，，由，可得，，即，，是的中位线，则，，证明四边形是矩形，则．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，连接，交于H，
∵是的直径，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线，等边对等角，垂径定理，平行线的判定与性质，矩形的判定与性质，中位线，勾股定理，直径所对的圆周角为直角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，半径为2，交于点D，且D是的中点，于点E，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理和平行线的性质得到，利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用线段 垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质求，利用勾股定理求得，则．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵D是的中点，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的直径，半径为2，
∴．
在中，．
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的中位线的性质定理，平行线的性质，圆的切线的判定定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径的与交于点D，与边交于点E，过点D作的垂线，垂足为F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据是的直径，可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，即可求证；
（2）连接，根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，进而得到，继而得到的长，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴点D是的中点，
∵点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴为的半径；
（2）解：连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径是．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】（1）连接，根据平分，，，证明即可；
（2）设的半径为，则有，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：连接，
是的直径，
，即，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
（2）设的半径为，
则有，
∵是的切线．
∴，
在中，，
，
解得，
的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
4．（2022秋·山西朔州·九年级校考期中）如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作的垂线交于点F，是的外接圆．
(1)求证：是的切线；
(2)过点E作于点H，若，求的半径．
【答案】(1)见解析；
(2)5；
【分析】（1）连接，由于是角平分线，则有再证得，根据平行线的性质和切线的判定即可解答；
（2）先证明，再根据勾股定理列方程求解即可；
【详解】（1）证明：连接
∵平分
∴
又
∴
∴
∴，
又，即
∴
∴是的切线
（2）∵平分
设
解得：
故的半径为5
【点睛】本题主要考查了切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质勾股定理，掌握切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题关键．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，点在边上，平分，交于，是的外接圆．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)详见解析
(2)3
【分析】（1）连接，由于是角平分线，则有；而，就有，等量代换有，那么利用内错角相等，两直线平行，可得；又，所以，即是的切线；
（2）利用勾股定理即可求出半径．
【详解】（1）证明：连接．
平分，
．
又，
，
，
，
．
又点在上，
是的切线．
（2）解：设的半径为，
，
，
即，
解得，
的半径为3．
【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理．
6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)2
【分析】（1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线；
（2）由线段是的直径证明，再根据等角的余角相等证明，则；
（3）由，证明，则是等边三角形，所以，则，所以，再证明，得．
【详解】（1）证明：连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线．
（2）证明：线段是的直径，
，
，
，，
，
，
．
（3）解：，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【类型二 无切点，作垂直，证半径】
例题：（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试）如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．
【答案】证明过程见解析；
【分析】题目并没有说明直线与有没有交点，所以过点作于点，然后证明即可．
【详解】证明：如图：过点作于点，
是的角平分线，，，
，
是的切线．
【点睛】本题考查圆的切线的判定知识．结合角平分线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，为的角平分线上的一点， 于点，以为圆心为半径作，求证：与相切．
【答案】见解析
【分析】过点作于，根据证明，推出，即可证明与相切．
【详解】证明：如图，过点作于，
平分，
，
又，，
，
在与中，
，
，
，
点D在上，
又，
与相切于点．
【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定方法．
2．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，，试求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过作于，利用角平分线的性质定理可得即可证明：与相切；
（2）在Rt中，由勾股定理可求出的长，设圆的半径为，利用切线长定理可求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出，进而求出的长．
【详解】（1）证明：过作于，
，
，
平分交于点，
，
与相切；
（2）解：设圆的半径为，
，，，
，
，是圆的切线，
，
，
，
，
在Rt中，，
解得：，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理列方程．
3．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出，的长，勾股定理求出，连接，过O作于点H，利用面积法求出，勾股定理求出，即可根据等腰三角形的性质求出的长．
【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P，
∵与相切于点D．
∴，
∵是等腰直角三角形，，点O为的中点，
∴，
∴，即是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，，
∵点O为的中点，
∴，
∵
∴，
在中，
连接，过O作于点H，
∴，
∴
∵，
∴．
【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键．
4．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点作于点，根据切线的性质由切于点可得，再根据角平分线定理得到，然后根据切线的判定定理得到是的切线；
（2）过作于，根据切线的性质得到，则得到四边形为矩形，得到，所以，再利用切线长定理得，，所以，在中，利用勾股定理计算出，则，所以，然后中，利用勾股定理可计算出．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
，
切于点，
，
平分，
，
为的半径，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，过作于，
，
是的直径，，分别切于点，，
，，
四边形为矩形，
，
，
，，为的切线，
，
，
在中，，
，
，
在中，．
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理．
5．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点．
(1)求证：与相切；
(2)若的半径为，求正方形的边长．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）过O作于H， 由正方形，可得， 证明，再证明从而可得结论；
（2）先根据勾股定理求出，从而可得，再根据正方形的性质、勾股定理即可得答案．
【详解】（1）解：如下图，过O作于H，
正方形，
，
是⊙O的切线，
，
，
为的半径，
为的半径，
与相切；
（2）的半径为，
，
由（1）可知， ，
，
，
四边形是正方形，
，
则在中，
，即，
，
解得：，
故正方形的边长为．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的切线的判定，勾股定理的应用，角平分线的性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31892" 【典型例题】 PAGEREF _Tc31892 \h 1
\l "_Tc22888" 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 PAGEREF _Tc22888 \h 1
\l "_Tc26962" 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 PAGEREF _Tc26962 \h 13
【典型例题】
【类型一 有切点，连半径，证垂直】
例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，半径为2，交于点D，且D是的中点，于点E，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径的与交于点D，与边交于点E，过点D作的垂线，垂足为F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
4．（2022秋·山西朔州·九年级校考期中）如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作的垂线交于点F，是的外接圆．
(1)求证：是的切线；
(2)过点E作于点H，若，求的半径．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，点在边上，平分，交于，是的外接圆．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【类型二 无切点，作垂直，证半径】
例题：（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试）如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．
【变式训练】
1．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，为的角平分线上的一点， 于点，以为圆心为半径作，求证：与相切．
2．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，，试求的长．
3．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．
4．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
5．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点．
(1)求证：与相切；
(2)若的半径为，求正方形的边长．
专题09 类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31892" 【典型例题】 PAGEREF _Tc31892 \h 1
\l "_Tc22888" 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 PAGEREF _Tc22888 \h 1
\l "_Tc26962" 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 PAGEREF _Tc26962 \h 13
【典型例题】
【类型一 有切点，连半径，证垂直】
例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）如图1，连接，由平分，可得，由，可得，，则，，进而结论得证；
（2）如图2，连接，交于H，由是的直径，可得，由勾股定理得，，由，可得，，即，，是的中位线，则，，证明四边形是矩形，则．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，连接，交于H，
∵是的直径，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线，等边对等角，垂径定理，平行线的判定与性质，矩形的判定与性质，中位线，勾股定理，直径所对的圆周角为直角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，半径为2，交于点D，且D是的中点，于点E，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理和平行线的性质得到，利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用线段 垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质求，利用勾股定理求得，则．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵D是的中点，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的直径，半径为2，
∴．
在中，．
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的中位线的性质定理，平行线的性质，圆的切线的判定定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径的与交于点D，与边交于点E，过点D作的垂线，垂足为F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据是的直径，可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，即可求证；
（2）连接，根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，进而得到，继而得到的长，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴点D是的中点，
∵点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴为的半径；
（2）解：连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径是．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】（1）连接，根据平分，，，证明即可；
（2）设的半径为，则有，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：连接，
是的直径，
，即，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
（2）设的半径为，
则有，
∵是的切线．
∴，
在中，，
，
解得，
的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
4．（2022秋·山西朔州·九年级校考期中）如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作的垂线交于点F，是的外接圆．
(1)求证：是的切线；
(2)过点E作于点H，若，求的半径．
【答案】(1)见解析；
(2)5；
【分析】（1）连接，由于是角平分线，则有再证得，根据平行线的性质和切线的判定即可解答；
（2）先证明，再根据勾股定理列方程求解即可；
【详解】（1）证明：连接
∵平分
∴
又
∴
∴
∴，
又，即
∴
∴是的切线
（2）∵平分
设
解得：
故的半径为5
【点睛】本题主要考查了切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质勾股定理，掌握切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题关键．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，点在边上，平分，交于，是的外接圆．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)详见解析
(2)3
【分析】（1）连接，由于是角平分线，则有；而，就有，等量代换有，那么利用内错角相等，两直线平行，可得；又，所以，即是的切线；
（2）利用勾股定理即可求出半径．
【详解】（1）证明：连接．
平分，
．
又，
，
，
，
．
又点在上，
是的切线．
（2）解：设的半径为，
，
，
即，
解得，
的半径为3．
【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理．
6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)2
【分析】（1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线；
（2）由线段是的直径证明，再根据等角的余角相等证明，则；
（3）由，证明，则是等边三角形，所以，则，所以，再证明，得．
【详解】（1）证明：连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线．
（2）证明：线段是的直径，
，
，
，，
，
，
．
（3）解：，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【类型二 无切点，作垂直，证半径】
例题：（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试）如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．
【答案】证明过程见解析；
【分析】题目并没有说明直线与有没有交点，所以过点作于点，然后证明即可．
【详解】证明：如图：过点作于点，
是的角平分线，，，
，
是的切线．
【点睛】本题考查圆的切线的判定知识．结合角平分线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，为的角平分线上的一点， 于点，以为圆心为半径作，求证：与相切．
【答案】见解析
【分析】过点作于，根据证明，推出，即可证明与相切．
【详解】证明：如图，过点作于，
平分，
，
又，，
，
在与中，
，
，
，
点D在上，
又，
与相切于点．
【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定方法．
2．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，，试求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过作于，利用角平分线的性质定理可得即可证明：与相切；
（2）在Rt中，由勾股定理可求出的长，设圆的半径为，利用切线长定理可求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出，进而求出的长．
【详解】（1）证明：过作于，
，
，
平分交于点，
，
与相切；
（2）解：设圆的半径为，
，，，
，
，是圆的切线，
，
，
，
，
在Rt中，，
解得：，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理列方程．
3．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出，的长，勾股定理求出，连接，过O作于点H，利用面积法求出，勾股定理求出，即可根据等腰三角形的性质求出的长．
【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P，
∵与相切于点D．
∴，
∵是等腰直角三角形，，点O为的中点，
∴，
∴，即是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，，
∵点O为的中点，
∴，
∵
∴，
在中，
连接，过O作于点H，
∴，
∴
∵，
∴．
【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键．
4．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点作于点，根据切线的性质由切于点可得，再根据角平分线定理得到，然后根据切线的判定定理得到是的切线；
（2）过作于，根据切线的性质得到，则得到四边形为矩形，得到，所以，再利用切线长定理得，，所以，在中，利用勾股定理计算出，则，所以，然后中，利用勾股定理可计算出．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
，
切于点，
，
平分，
，
为的半径，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，过作于，
，
是的直径，，分别切于点，，
，，
四边形为矩形，
，
，
，，为的切线，
，
，
在中，，
，
，
在中，．
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理．
5．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点．
(1)求证：与相切；
(2)若的半径为，求正方形的边长．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）过O作于H， 由正方形，可得， 证明，再证明从而可得结论；
（2）先根据勾股定理求出，从而可得，再根据正方形的性质、勾股定理即可得答案．
【详解】（1）解：如下图，过O作于H，
正方形，
，
是⊙O的切线，
，
，
为的半径，
为的半径，
与相切；
（2）的半径为，
，
由（1）可知， ，
，
，
四边形是正方形，
，
则在中，
，即，
，
解得：，
故正方形的边长为．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的切线的判定，勾股定理的应用，角平分线的性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
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