苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题11圆周角压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题11圆周角压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)，共47页。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30912" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30912 \h 1
\l "_Tc25112" 【考点一 圆周角的概念辨析】 PAGEREF _Tc25112 \h 1
\l "_Tc29526" 【考点二 圆周角定理】 PAGEREF _Tc29526 \h 2
\l "_Tc17271" 【考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等】 PAGEREF _Tc17271 \h 5
\l "_Tc17525" 【考点四 半圆(直径)所对的圆周角是直角】 PAGEREF _Tc17525 \h 7
\l "_Tc13962" 【考点五 90度的圆周角所对的弦是直径】 PAGEREF _Tc13962 \h 10
\l "_Tc26000" 【考点六 已知圆内接四边形求角度】 PAGEREF _Tc26000 \h 13
\l "_Tc23390" 【考点七 求四边形外接圆的直径】 PAGEREF _Tc23390 \h 15
\l "_Tc31041" 【过关检测】 PAGEREF _Tc31041 \h 18
【典型例题】
【考点一 圆周角的概念辨析】
例题：（2023秋·广西河池·九年级统考期末）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）下列图形中，是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·山东潍坊·九年级统考期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（ ）．
A．B．C．D．
【考点二 圆周角定理】
例题：（2023·广东梅州·校考一模）如图，是上的三个点，，则度数是 ．

【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则 ．
2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ．
【考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等】
例题：（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）如图，为⊙O的直径，，则的度数为 ．
【变式训练】
1．（2023春·北京东城·八年级景山学校校考期末）如图，为的外接圆的直径，若，则

2．（2023春·江西上饶·九年级统考阶段练习）如图，是的直径，点，在上，且，的延长线与的延长线交于点，连接，若，则的度数是 ．

【考点四 半圆(直径)所对的圆周角是直角】
例题：（2023·辽宁营口·校联考一模）如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则 ．

【变式训练】
1．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）如图，是的直径，是的弦，如果．

(1)求的度数．
(2)若，求的长．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．

(1)求证：点D为弧的中点；
(2)若，，求的直径．
【考点五 90度的圆周角所对的弦是直径】
例题：（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形中，，动点P在矩形的内部，连接、，若，则的最小值是 ．
【变式训练】
1．（2023·山东济宁·统考三模）如图，在中，，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为 ．

2．（2023春·浙江·九年级专题练习）在矩形中，，，点F是边上的一个动点，连接，过点B作于点G，交射线于点E，连接，则的最小值是 ．
【考点六 已知圆内接四边形求角度】
例题：（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．

【变式训练】
1．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，已知四边形内接于，，则的度数是 ．

2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在直径为的中，点，在圆上，，若，则的度数为 ．
【考点七 求四边形外接圆的直径】
例题：（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（ ）
A．B．2C．2D．4
【变式训练】
1．（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（ ）
A．B．C．D．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·吉林松原·九年级校联考期中）如图，已知为的直径，点、点在圆上，且位于异侧．若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（ ）

A．B．C．D．
4．（2023秋·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，的直径是，，圆的半径是4，则弦的长是（ ）．

A．B．C．D．
5．（2023秋·山西吕梁·九年级校考期末）如图，为的直径，一块含有角的直角三角板按如图所示的位置放置，其中锐角顶点C在上，斜边经过点A，一条直角边与交于点D，连接，若，则的半径为（ ）

A．2B．C．D．1
二、填空题
6．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，点，，在上，，则

7．（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）中，，，则外接圆半径长为 ．
8．（2022秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）如图，四边形内接于，，，，对角线平分，则边的长为 ．

9．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中）如图，为的直径，点E是延长线上的一点，交于点D、C，，，则的度数为 ．

10．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，两点是线段的三等分点，以为直径作，点为上一点，连接，交于点，连接，若点恰为线段中点且，则周长为 ．

三、解答题
11．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，在中，．是的外接圆，为弧的中点，为延长线上一点．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
12．（2023·四川攀枝花·校联考二模）如图，已知，为的直径，过点A作弦垂直于直径于点F，点B恰好为的中点，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的半径．
13．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）（1）如图1，是的直径，C、D是上的两点，若，，求
①的度数
②的度数
（2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长．

14．（2023·江苏泰州·统考中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．

知识回顾
(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
15．（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）【特例感知】
（1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为______°，点D到直线的距离为______；
【类比迁移】
（2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长．

专题11 圆周角压轴题七种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30912" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30912 \h 1
\l "_Tc25112" 【考点一 圆周角的概念辨析】 PAGEREF _Tc25112 \h 1
\l "_Tc29526" 【考点二 圆周角定理】 PAGEREF _Tc29526 \h 2
\l "_Tc17271" 【考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等】 PAGEREF _Tc17271 \h 5
\l "_Tc17525" 【考点四 半圆(直径)所对的圆周角是直角】 PAGEREF _Tc17525 \h 7
\l "_Tc13962" 【考点五 90度的圆周角所对的弦是直径】 PAGEREF _Tc13962 \h 10
\l "_Tc26000" 【考点六 已知圆内接四边形求角度】 PAGEREF _Tc26000 \h 13
\l "_Tc23390" 【考点七 求四边形外接圆的直径】 PAGEREF _Tc23390 \h 15
\l "_Tc31041" 【过关检测】 PAGEREF _Tc31041 \h 18
【典型例题】
【考点一 圆周角的概念辨析】
例题：（2023秋·广西河池·九年级统考期末）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆周角的定义判断即可．
【详解】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角，
选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角．
故选C．
【点睛】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角．
【变式训练】
1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）下列图形中，是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．
【详解】解：根据圆周角定义：可得是圆周角的有：B，不是圆周角的有：A，C，D．
故选B．
【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
2．（2022秋·山东潍坊·九年级统考期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆周角和圆心角的定义解答即可．
【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；
B．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；
C．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意；
D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．
【考点二 圆周角定理】
例题：（2023·广东梅州·校考一模）如图，是上的三个点，，则度数是 ．

【答案】
【分析】由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则 ．
【答案】20
【分析】连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，再由结合等腰三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：连接，如图，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质，是解题的关键．
2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ．
【答案】1
【分析】连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得是解题的关键．
【考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等】
例题：（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）如图，为⊙O的直径，，则的度数为 ．
【答案】65°/65度
【分析】先根据圆周角定理得到 ， ，然后利用互余计算出 的度数；
【详解】为⊙O的直径，
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．
【变式训练】
1．（2023春·北京东城·八年级景山学校校考期末）如图，为的外接圆的直径，若，则

【答案】/40度
【分析】连接，根据圆周角定理的推论得出，，然后根据角的和差计算即可．
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．
2．（2023春·江西上饶·九年级统考阶段练习）如图，是的直径，点，在上，且，的延长线与的延长线交于点，连接，若，则的度数是 ．

【答案】/43度
【分析】连接，根据圆周角定理得出，根据同弧所对的圆周角相等，可得，再根据等边对等角得出，最后根据三角形的外角的性质即可得出答案．
【详解】解：连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查圆周角定理，等边对等角，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键．
【考点四 半圆(直径)所对的圆周角是直角】
例题：（2023·辽宁营口·校联考一模）如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则 ．

【答案】/61度
【分析】如图，连接，证明，求出，可得结论．
【详解】解：如图，连接．

∵是直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）如图，是的直径，是的弦，如果．

(1)求的度数．
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理得到，，然后利用互余可计算出的度数；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】（1）解：是的直径，
，
，
；
（2）∵，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．

(1)求证：点D为弧的中点；
(2)若，，求的直径．
【答案】(1)见解析
(2)20
【分析】（1）根据圆周角定理可得，再由平行线的性质可得，从而可得，再根据垂径定理即可得出结论；
（2）根据垂径定理可得，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵是直径
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D为的中点；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为20．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
【考点五 90度的圆周角所对的弦是直径】
例题：（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形中，，动点P在矩形的内部，连接、，若，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】由，可知在以为直径的上运动，如图，当三点共线时，最小，勾股定理求的长，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴在以为直径的上运动，如图，
∴当三点共线时，最小，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，勾股定理．解题的关键在于确定的运动轨迹．
【变式训练】
1．（2023·山东济宁·统考三模）如图，在中，，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为 ．

【答案】/
【分析】根据，得到，进而得到点在以为直径的圆上，设的中点为，连接，交于点，连接，则：，当且仅当三点共线时，取得最小值，即点与点重合时，取得最小值，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
设的中点为，连接，交于点，连接，则：，

∴当且仅当三点共线时，取得最小值，此时点与点重合，
∵，，，
∴，
∴的最小值为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，求一点到圆上的距离的最小值．解题的关键是确定点在以为直径的圆上．
2．（2023春·浙江·九年级专题练习）在矩形中，，，点F是边上的一个动点，连接，过点B作于点G，交射线于点E，连接，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】根据题意可得点G的运动轨迹为以AB为直径，H为圆心的圆弧．当C、G、H三点共线时，CG取最小值，根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴点G的运动轨迹为以AB为直径，H为圆心的圆弧．当C、G、H三点共线时，CG取最小值，如图，
∴CG最小值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理，根据题意得出点G的运动轨迹是解本题的关键．
【考点六 已知圆内接四边形求角度】
例题：（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．

【答案】
【分析】根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，已知四边形内接于，，则的度数是 ．

【答案】
【分析】根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出，的度数．
【详解】解∶，
又四边形内接于圆，
在四边形中，，
，
故答案为∶．
【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，求出圆周角的度数是解题的关键．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在直径为的中，点，在圆上，，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后根据圆内接四边形对角互补求出，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而求出的度数．
【详解】解：，，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
是的直径，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
【考点七 求四边形外接圆的直径】
例题：（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（ ）
A．B．2C．2D．4
【答案】D
【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．
【详解】解：连接OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠A=60°，
∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD=OA，
∵AD=2，
∴OA=OD=OB=2，
∴AB=2+2=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的半径为，
∴的面积为：．
故选：A
【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
2．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论；
【详解】解：连接BD，
∵ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A
∵
∴
∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°
∵
∴△CBE为等边三角形
∴∠BCE＝∠A=60°，
∵点C为的中点，
∴∠CDB＝∠DBC=30°
∴∠ABD=90°，∠ADB=30°
∴AD为直径
∵AB=2
∴AD=2AB=4
∴的面积是=
故答案选：D
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆周角的概念：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角叫圆周角就可判断．
【详解】解：A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念，
故选：D．
【点睛】此题考查了圆周角的概念，解题的关键是熟练掌握圆周角的概念．
2．（2023春·吉林松原·九年级校联考期中）如图，已知为的直径，点、点在圆上，且位于异侧．若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据邻补角得出，进而根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据圆内接四边形的性质证得，再根据圆周角定理求出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是准确应用圆的有关性质和定理．
4．（2023秋·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，的直径是，，圆的半径是4，则弦的长是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图：连接，由圆周角定理可得、，然后再说明，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：如图：连接，
∵，
∴，
∵的直径是，圆的半径是4，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，解得：．
故选B．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．
5．（2023秋·山西吕梁·九年级校考期末）如图，为的直径，一块含有角的直角三角板按如图所示的位置放置，其中锐角顶点C在上，斜边经过点A，一条直角边与交于点D，连接，若，则的半径为（ ）

A．2B．C．D．1
【答案】B
【分析】连接，根据圆周角定理得出，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，又，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用圆周角定理得出．
二、填空题
6．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，点，，在上，，则

【答案】/度
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）中，，，则外接圆半径长为 ．
【答案】3
【分析】根据题意作出图像，利用圆周角定理求出，再根据等边三角形的性质求出的外接圆半径．
【详解】解：如图，设的外接圆为，连接、，

∵，
∴根据圆周角定理可知，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的外接圆半径是3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查三角形的外接圆、圆周角定理、等边三角形的判定和性质，属于综合题型，解题的关键是证明是等边三角形．
8．（2022秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）如图，四边形内接于，，，，对角线平分，则边的长为 ．

【答案】
【分析】连接，根据圆周角定理得到，利用直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，继而求出结果．
【详解】解：连接，
，
是的直径，
，
对角线平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．

【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中）如图，为的直径，点E是延长线上的一点，交于点D、C，，，则的度数为 ．

【答案】
【分析】连接,则,设,利用三角形的外角和圆内接四边形的性质解题即可．
【详解】如图所示：

连接,
∵是的直径,
∴,
设,
∵
∴
∵四边形内接于,
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，以及圆内接四边形的性质和三角形的外角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，两点是线段的三等分点，以为直径作，点为上一点，连接，交于点，连接，若点恰为线段中点且，则周长为 ．

【答案】
【分析】连接，交于点，先证明为的中位线，则，，再根据圆周角定理得出，则，为的中位线，从而得到，利用勾股定理计算出，则，最后再利用勾股定理计算出即可得到答案．
【详解】解：连接，交于点，
，
两点是线段的三等分点，
，
点恰为线段中点，
为的中位线，
，，
为直径，两点是线段的三等分点，
，
在中，，
，
，为的中位线，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
三、解答题
11．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，在中，．是的外接圆，为弧的中点，为延长线上一点．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明，可得；
（2）先求解，可得，再利用圆的内接四边形的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵为弧的中点，
∴，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质，熟记圆周角定理与圆的内接四边形的性质并灵活应用是解本题的关键．
12．（2023·四川攀枝花·校联考二模）如图，已知，为的直径，过点A作弦垂直于直径于点F，点B恰好为的中点，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接 、，为的直径可得得到两个直角及两条线段相等，再根据弧的中点得到弧相等，从而等到角相等，最后证明两个三角形全等即可证明结论；
（2）连接，根据弧的中点得到弧相等，从而等到圆周角圆心角的关系，结合平角，求出的度数，在中根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接 ，

∵，为的直径，
∴，，
∵点B是 的中点，
∴，
∴，
在与中，
∵，，，
∴≌，
∴．
（2）解：连接，

∵点B是的中点，
∴，
∴，，
∵垂直于直径于F，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，解得：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，作出辅助线构建直角三角形和全等三角形是解题的关键．
13．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）（1）如图1，是的直径，C、D是上的两点，若，，求
①的度数
②的度数
（2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长．

【答案】（1），；（2）
【分析】（1）①根据圆周角定理得到，可得，根据圆内接四边形的性质即可求出；②根据得到，利用三角形内角和定理计算即可；
（2）连接，根据弦垂直平分半径可求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：（1）①是直径，
，
，
，
，
②∵，
∴，
∴；
（2）连接，
弦垂直平分半径，，
．
，即，
解得，
．

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（2023·江苏泰州·统考中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．

知识回顾
(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
【答案】(1)①；②；
(2)见解析；
(3)见解析
【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形；
（2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；
（3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等．
【详解】（1）解：①，，
，
．
②连接，过作，垂足为，

，，
是等腰直角三角形，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形中，，
．
（2）证明：延长交圆于点，则，

，
，
，
，
，
，
，
为该圆的圆心．
（3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．
【点睛】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键．
15．（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）【特例感知】
（1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为______°，点D到直线的距离为______；
【类比迁移】
（2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长．

【答案】（1）120，；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）由是的直径， 得到，求出，，根据圆内接四边形对角互补求出，根据直角三角形30度角的性质求出点D到直线的距离；
（2）如图，连接，过点作，垂足为．由角平分线性质定理得到，证明，推出，进而得到．
（3）过点作，垂足为．设，则．由（2）可知，求出．根据角平分线得到，表示出．在中，根据勾股定理得，代入数值，求出x即可．
【详解】解：（1）∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，，
∴
过点D作，垂足分别为E，F，
∴

故答案为：120，；
（2）如图，连接，过点作，垂足为．

∵平分．，
∴．
∴
∵．
∴，
∴．
在和中
∴
∴．
∴
∵，∴
即：．
（3）如图，过点作，垂足为．设，则．

由（2）可知，
∴．．
∵平分，，
∴，
∵，
∴
∴．
在中，．
（舍），
即：．
【点睛】此题考查了圆周角定理，直角三角形30度角的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握各定理并综合应用是解题的关键．