江苏省南通市2025届高三上学期9月解题大赛数学试题

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（时间：60分钟 总分：150分）
一、选择题：本题共6小题，每题5分，共30分．
1. A2. D3. C4. B5. D6. D
二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
7. BD8. ABC9.ABD10. ABD
三、填空题：本题共2小题，每题5分，共10分。
11. 412.
四、解答题：本题共4小题，共86分。
13. （16分）
（1），因为是函数的极值点，所以，
即，解得，经检验，符合题意，故．
（2）由（1），，若，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
若，令，解得或，且，
当时，当或时，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
（20分）
（1）∵，∴，又∵，∴，∴，
∴
（2）
∴，
∵，∴，，
∴， ∴，，∴ 有，，∴，
∴，
又∵，∴.
15. （25分）
（1）∵，又是奇函数，∴，，∴解得，∴.
经验证，函数定义域为，成立，满足要求，所以.
（2）由（1）知，.方程在上有两个不同的根，
即在上有两个不相等的实数根，需满足，解得.
（3）由题意知，令,
因为函数在上单调递减，在上单调递增，∴,
∵函数的对称轴为，∴函数在上单调递增.
当时，；当时，；即，
又∵对都有恒成立，∴，
即，解得，又∵，∴的取值范围是.
16. （25分）
（1）若选①，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，
又，所以，
所以，又
所以，所以，又，所以，
所以，所以，又，，所以，
所以的面积，
若选②，由，所以，
所以，结合三角形内角性质，所以，
所以，所以，又，所以，
所以，所以，
又，，所以，所以的面积，
若选③，因为，又，所以，
又所以，所以，又，所以，
所以，所以，又，，所以，
所以的面积，
（2）由（1），，所以，因为，
所以，
，
因为为锐角三角形，，所以，
所以，所以，所以，设，则，，所以，所以的取值范围为.