2023届江苏省南通市高三上学期期中数学试题（含答案）

2022~2023学年度第一学期期中学情检测

高三数学

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，包含［单选题（1~8）多选题9~12，填空题（第13题～第16题，共80分）、解答题（第17～22题，共70分）。本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回。

2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。

3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。

4.如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，，若，则

A.   B.   C.   D.

2.已知复数，且是纯虚数，则

A.   B.0   C.2   D.

3.已知角满足，则

A.   B.   C.   D.

4.随着我县“三河六岸”工程主要设施的陆续建成，我县的城市生态功能得到恢复，城市景观风貌持续改善，居民的幸福感不断提升.该工程中的某圆拱的跨度是96m，拱高是16m，则该圆拱所在圆的半径是

A.64m   B.80m   C.100m   D.40m

5.已知等差数列的公差不为0，且，则集合的子集个数是

A.   B.9   C.1024   D.512

6.在平面直角坐标系中，已知，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则的取值范围是

A.   B.   C.   D.

7.已知两个圆锥的母线长均为6，它们的侧面展开图恰好拼成一个半圆，若它们的侧面积之比是1：2，则它们的体积之和是

A.   B.

C.    D.

8.已知，，，则

A.   B.   C.   D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数的最小正周期满足，且，是的一个对称中心，则

A.        B.的值域是

C.是的一条对称轴   D.是偶函数

10.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则

A.驽马第七日行九十四里   B.第七日良马先至齐

C.第八日二马相逢     D.二马相逢时良马行一千三百九十五里

11.已知实数x，y满足，则

A.   B.

C.   D.

12.设定义在上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则

A.    B.的图象关于直线对称

C.   D.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13.在中，三边长是公差为2的等差数列，若是钝角三角形，则其最短边长可以为______________.（写出一个满足条件的值即可）

14.已知，则______________.

15.如图是一个“双曲狭缝”模型，直杆旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线.已知该模型左、右两侧的两段曲线AB与CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且，，则该双曲线的离心率是______________.

16.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD.若四棱锥的体积为9，且其顶点均在球O上，则当球O的体积取得最小值时，______________，此时球心O到平面PBD的距离是______________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.

（1）求；

（2）若边AB上的高为1，求的面积.

18.（12分）

已知为正项数列的前n项和，且，当时，.

（1）证明为等差数列，并求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

19.（12分）

如图所示，在四棱锥中，是等边三角形，，，，.

（1）记平面与平面ABE的交线为，证明：；

（2）求二面角的余弦值.

20.（12分）

在平面直角坐标系中，已知点A，B在抛物线：上，抛物线C在A，B处的切线分别为，，且，交于点P.

（1）若点，求AB的长；

（2）从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立.

①直线AB过抛物线C的焦点；②点P在抛物线C的准线上.

21.（12分）

已知，其极小值为-4.

（1）求的值；

（2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：.

22.（12分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，过点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线交椭圆C于点P，Q，直线AP，AQ分别交y轴于点M，N，且，求证：直线过定点.

2022~2023学年度第一学期高三期中学情检测

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C2.A3.B4.B5.D6.D7.A8.B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.AC10.AD11.BCD  12.ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.内的任意值均可

14.

15.2

16.3，

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

解：（1）因为，所以，

在中，由正弦定理，所以，

所以，所以，

因为，所以.

在中，，

所以

，

所以，

所以，

所以，所以.

（2）因为，，所以.

因为边上的高，所以.

在中，，

所以

.

在中，由正弦定理，

所以.

所以的面积.

另解：过点C向AB作垂线，垂足为H.

在中，，，

所以，.

在中，，，

所以，所以，

所以的面积.

18.（12分）

解：（1）因为，所以，

所以为等差数列.

因为，所以，所以，

所以

当时，

，

当时，，所以.

（2）因为，所以.

因为，

所以.

所以

.

19.（12分）

解：（1）在四棱锥中，，

又因为平面ABE，平面ABE，

所以平面ABE.

又因为平面ACD与平面ABE的交线为，

平面ACD，所以.

（2）因为，，所以.

在直角中，因为，，所以.

在直角中，因为，，所以.

取BC的中点O，连接OA，OD，

在等边中，，.

在等腰直角中，，.

在中，因为，，，

所以.

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，，

所以，，

所以.

设为平面ABE的法向量，

则，，得，，

取，所以为平面ABE的一个法向量.

因为为平面DBE的法向量，

所以，

所以二面角的余弦值为.

20.（12分）

解：（1）设，.

因为：，所以，所以，

所以抛物线C在A处的切线方程是，

即.

同理可得抛物线在处的切线方程是.

由解得

因为，所以

所以.

（2）①→②：

因为，，

所以，.

因为直线AB过抛物线C的焦点，所以，

所以，

所以，所以点P在抛物线C的准线上.

②→①：

因为点P在抛物线C的准线上，所以，

所以.

所以，

所以，

又因为F是公共点，所以A，B，F三点共线，

所以直线AB过抛物线C的焦点.

21.（12分）

【解】（1）因为，所以.

当时，，

所以单调递增，没有极值，舍去.

当时，在区间上，，单调递增，

在区间上，，单调递减，

在区间上，，单调递增，

所以当时，的极小值为，舍去

当时，在区间上，，单调递增，

在区间上，，单调递减，

在区间上，，单调递增，

所以当时，的极小值为.

所以.

（2）由（1）知，在区间上，，单调递增，

在区间上，，单调递减，

在区间上，，单调递增，

所以不妨设.

下面先证.

即证，因为，所以，

又因为区间上，单调递减，

只要证，又因为，

只要证，只要证.

设，

则，

所以单调递增，

所以，所以.

下面先证.

设，因为，

在区间上，；在区间上，.

设，，因为，

所以，所以.

设，，因为，

所以，所以.

因为，所以，

所以.

22.（12分）

【解】（1）方法一：设椭圆的焦距为，则.

不妨设，，

所以，，

所以，解得.

因为，所以椭圆的标准方程.

方法二：设椭圆的焦距为，则.

由解得，，

所以椭圆的标准方程.

不妨设，.

则直线AP的方程为，直线AQ的方程为.

令，得，，所以.

所以的面积.

（2）显然直线AP，AQ斜率都存在.

设直线AP的方程为.

令，得.

设直线的方程为，同理可得.

因为，所以，

所以.

设直线的方程为.

由

得，

所以，，

所以，所以，

所以解得.

所以直线过点.