河北省张家口市尚义县第一中学等校2023-2024学年高三下学期开学收心联考数学试题

这是一份河北省张家口市尚义县第一中学等校2023-2024学年高三下学期开学收心联考数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷共150分，请将各题答案填在答题卡上，已知，是第四象限角，则，已知平面向量，，“”是“直线与曲线相切”的等内容，欢迎下载使用。

考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数，则为（ ）
A.iB.C.7D.1
3.已知，是第四象限角，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知平面向量，.若，则（ ）
A.或1B.C.1D.
5.“”是“直线与曲线相切”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知，分别为双曲线的上、下焦点，过作与轴平行的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.
7.若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（ ）
A.4B.3C.2D.1
8.已知直三棱柱的各顶点都在同一个球面上，，，，，的中点分别为，，则直线被该球面截得的弦长为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知数列是公比大于1的等比数列，下面叙述正确的是（ ）
A.当时，数列是递增数列B.当时，数列是递减数列
C.当时，数列是递增数列D.当时，数列是递减数列
10.若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则（ ）
A.四面体每组对棱互相垂直
B.四面体每个面的面积相等
C.从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°
D.连接四面体每组对棱中点的线段互相垂直平分
11.已知函数，则（ ）
A.的图象关于对称B.的图象关于直线对称
C.的最大值是3D.的最小值是
12.已知，，且，则（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.的二项展开式中，的系数与的系数之差为______.
14.若函数是上的偶函数，则实数______.
15.已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为______.
16.为了筛查出人群中感染某种病毒的个体，需要检测每个人的某种生物样本，检测结果若为阴性，说明人体未被感染，若为阳性，则需进一步做出医学判断.为提高检测效率，降低检测成本，可采用10人一组的混采检测方法：将10人的该种生物样本合入同一管中进行检测，若该管结果为阴性，则判断这10人均未被感染，若结果为阳性，则对该管中的每个人的样本分别进行单管检测.若按此方法进行检测，设待检人数为，其中感染该病毒的人数为.当时，检测的次数为______；当时，检测次数的估计值为______（结果取整数）.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
记的内角，，的对边分别为，，，已知，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
18.（本题满分12分）
为了研究体育锻炼对某年龄段的人患某种慢性病的影响，某人随机走访了200个该年龄段的人，得到的数据如下：
（1）定义分类变量，如下：，，以频率估计概率，求条件概率与的值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析经常进行体育锻炼是否对患该种慢性病有影响.
附：
19.（本小题满分12分）
已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和满足，对任意正整数，试比较与的大小.
20.（本题满分12分）
如图，在矩形中，，.沿对角线折起，形成一个四面体，且.
（1）是否存在，使得，同时成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（2）求当二面角的正弦值为多少时，四面体的体积最大.
21.（本题满分12分）
已知椭圆的右焦点为，且椭圆经过点.过右焦点作直线交椭圆于，两点，是直线上任意一点.
（1）求的方程；
（2）设直线，，的斜率分别为，，，证明.
22.（本题满分12分）
已知函数，为的导函数.
（1）证明：；
（2）设函数有两个极值点，.
①求实数的取值范围；
②证明：.
2023-2024学年第二学期高三年级收心考试
数学参考答案
1.C【解析】，则.故选：C.
2.B【解析】，，.故选B.
3.D【解析】，，是第二或第四象限角，
∴.故选：D.
4.B【解析】，，由
解得，或，∵，∴.故选：B.
5.C【解析】若直线与曲线相切，设切点为，
则解得
反之，若，可知直线与曲线相切.故选：C.
6.B【解析】双曲线的渐近线方程为，，，.
若为等边三角形，则，，∴，.故选：B.
7.C【解析】由得
可知和都是函数的零点，
因为函数是单调递增函数，所以，.故选：C.
8.A【解析】将直三棱柱扩展为一个正四棱柱，可求出球半径.球心到直线的距离为，则直线被该球面截得的弦长为.故选：A.
9.AD【解析】当时，，数列是递增数列；
当时，，数列是递减数列，故选：AD.
10.BD【解析】A.四面体每组对棱不一定相互垂直，错误；
B.四面体每个面都全等，面积相等，正确；
C.从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180°，错误；
D.连接四面体每两组对棱中点组成菱形，对角线相互垂直平分，正确.故选：BD.
11.BC【解析】
令，，
，.
对，不恒成立，A错误；
对，恒成立，B正确.故选：BC.
12.BCD【解析】，在单调递增，在单调递减，
在单调递增；，，
因为，，，，
注意到，所以.所以A错误，BCD正确.故选：BCD.
13.0【解析】
14.1【解析】由题意得函数是上的奇函数，则，∴.
15.【解析】设圆的标准方程为，
由，解得，∴圆的标准方程为.
16.；25【解析】（1）待检人数为，需要先检测次，再检测结果为阳性的小组，10人检测10次，共需要检测次数为；
（2）设检测次数为，则，23，33.
，
，，
.
17.【解析】（1）因为，，.
所以，即，
所以……3分
于是.因为，所以……5分
（2）由（1）可知，于是.
根据正弦定理，，得，因此……8分
故的面积……10分
18.【解析】（1）…… 3分
.……6分
（2）将列联表中的数据代入公式计算得
……10分
根据小概率值的独立性检验，我们推断经常锻炼对患有某种慢性病有影响，此推断犯错误的概率不大于0.01……12分
19.【解析】（1）由已知，所以……3分
所以数列是首项为，公比的等比数列，
所以，即…… 6分
（2）已知，①
当时，.当时，，②
①-②得，也适合，所以 …… 8分
设函数，则函数是上的减函数，且，，
所以当时，，即；当时，，即.
因此，当时，；当时，.……12分
20.【解析】（1）若，因为，，所以平面，所以.
有，即，所以；
若，因为，，所以平面，所以.
有，即，所以，无解.故不成立.
所以不存在，使得，同时成立.……4分
（2）要使四面体的体积最大，因为的面积为定值，所以只需三棱锥的高最大即可，此时平面平面，过点作于点，则平面，以为原点分别以，为轴轴建立空间直角坐标系，则，，……6分显然平面的法向量为.
设平面的一个法向量为，，
由得得……9分
取，得，，∴.
∴，……11分
所以二面角的正弦值为：.……12分
21.【解析】（1）由已知得..把点代入椭圆的方程得.解得，.所以椭圆的方程为.……4分
（2）当直线的斜率为0时，的方程：，
不妨设，，，
，，，
，所以……6分
当直线的斜率不为0时，设的方程：，，.
由，得.
则，……8分
又，所以.综上，.……12分
22.【解析】（1）因为，.
所以.……4分
（2）.
①函数有两个极值点，，且，设等价于方程在区间上有两个不等的实根，，所以，解得.
所以实数的取值范围为；…… 6分
②由①可知，若，则在单调递增，在单调递减，在单调递增.
由……8分
得
……10分
因为，所以，即……12分慢性病
体育锻炼
合计
经常
不经常
未患病
100
70
170
患病
10
20
30
合计
110
90
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828