河北省尚义县第一中学等学校2024-2025学年高二上学期10月段考数学试卷

这是一份河北省尚义县第一中学等学校2024-2025学年高二上学期10月段考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）在空间直角坐标系中，点P的坐标为（﹣6，3，2），点P关于平面Oxz对称的点是（ ）
A．（6，﹣3，﹣2）B．（﹣6，﹣3，﹣2）
C．（﹣6，﹣3，2）D．（6，3，0）
2．（5分）已知，且与共线，则的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
3．（5分）一组样本数据为6，11，12，17，19，则错误的选项为（ ）
A．该组数据的极差为25
B．该组数据的75%分位数为17
C．该组数据的平均数为16
D．若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
4．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）若空间中有三点A（2，0，4），B（2，4，0），C（1，4，4），则点P（0，0，0）到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知点A（13，﹣1，3），B（2，3，1），C（5，7，﹣5），又点P（4，1，z）在平面ABC内（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（5分）如图，二面角α﹣l﹣β等于135°，A、B是棱l上两点，AC⊥l，BD⊥l，且（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知四棱锥A﹣EBCD，AE⊥平面BCDE，底面EBCD是∠E为直角，如图所示，且，点F为AD的中点（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行
B．若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行
C．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，则l1⊥l2
D．直线l的方向向量，平面α的法向量是＝（﹣3，2，0），则l⊥α
（多选）10．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量共面
B．若与共面，则∃x，y∈R，使得
C．若是空间的一个基底，则能构成空间一个基底
D．若，则P，M，A，B共面，反之不正确
11．（6分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面ADD1A1上运动，满足B1Q⊥平面AD1P，则（ ）
A．Q点在侧面对角线AD1上
B．Q点在侧面对角线A1D上
C．线段PQ的最小值为
D．线段PQ的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知平面α的一个法向量为＝（2，3，5），点A（﹣1，﹣3，0）是平面α上的一点（﹣3，﹣4，1）到平面α的距离为 ．
13．（5分）如图，JA，JB两个开关串联再与开关JC并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.5，计算在这段时间内线路正常工作的概率为 ．
14．（5分）空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为＝（A，B，C）的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为n＝（μ，v，ω）（μvω≠0）的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为ax+（a﹣1）（a∈R），经过（0，0，0）的直线l的方程为，直线l与平面α所成角的正弦值最大时，平面α的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在第29个“世界读书日”到来之际，树人中学举办了读书知识竞赛，现从参加竞赛的同学中（百分制，均为整数）分成六组：第1组[40，50），60），第3组[60，第4组[70，80），90），第6组[90，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这100名学生成绩的第85百分位数（保留一位小数）；
（2）若先用分层抽样方法从得分在[40，50）和[50，60）的学生中抽取5人，调查其读书情况，求此2人得分不在同一组的概率．
16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且与的夹角都等于60°，M在棱PD上，，设＝，＝，＝．
（1）试用，，表示向量；
（2）求与的夹角．
17．（15分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AD＝4，．
（1）证明：AC⊥平面DD1E；
（2）求D1到平面DEC1的距离．
18．（17分）如图1，等腰△ABC中，底BC＝4，S△ABC＝8，D、E分别为AB、AC的中点，O为DE的中点1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2．
（1）求证：A1O⊥平面BCED；
（2）F为线段A1C上靠近A1的三等分点，求平面BDF与平面BCED夹角的余弦值．
19．（17分）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1＝3，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别是棱BB1、DD1的中点．
（1）在底面ABCD内是否存在点M，满足C1M⊥平面CPQ？若存在，请说明点M的位置，若不存在；
（2）设平面CPQ交棱AA1于点T，平面CPTQ将四棱台ABCD﹣A1B1C1D1分成上，下两部分，求CT与平面CDD1C1所成角的正弦值．
2024-2025学年河北省张家口市尚义一中等校高二（上）段考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）在空间直角坐标系中，点P的坐标为（﹣6，3，2），点P关于平面Oxz对称的点是（ ）
A．（6，﹣3，﹣2）B．（﹣6，﹣3，﹣2）
C．（﹣6，﹣3，2）D．（6，3，0）
【分析】根据已知条件，结合空间点对称的性质，即可求解．
【解答】解：点P的坐标为（﹣6，3，5），
则点P关于平面Oxz对称的点是（﹣6，﹣3．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间点对称的性质，是基础题．
2．（5分）已知，且与共线，则的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用共线向量建立方程组，进一步求出结果．
【解答】解：由于，且与共线，
故必存在一个实数λ，使，
故（﹣3，2，﹣5）＝λ（﹣2，﹣10k），k＝．
故．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：向量的共线，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
3．（5分）一组样本数据为6，11，12，17，19，则错误的选项为（ ）
A．该组数据的极差为25
B．该组数据的75%分位数为17
C．该组数据的平均数为16
D．若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
【分析】根据已知条件，结合极差、百分位数的定义，平均数公式，即可求解．
【解答】解：该组数据的极差为31＝6＝25，故A正确；
样本数据为6，11，16，19，共2个，
0.75×7＝8.25，
故该组数据的75%分位数为19，故B错误；
该组数据的平均数为＝16；
当去掉的数为16时，刚好为该组数据的平均数，故D正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查极差、百分位数的定义，平均数公式，是基础题．
4．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量的加法或减法法则即可得．
【解答】解：三棱柱ABC﹣A1B1C3中，
﹣+＝++＝+＝．
故选：C．
【点评】本题考查空间向量的表示，属于基础题．
5．（5分）若空间中有三点A（2，0，4），B（2，4，0），C（1，4，4），则点P（0，0，0）到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出平面ABC的法向量，然后利用空间点面距离公式可得答案．
【解答】解：，，，
设平面ABC的一个法向量为，
由，
得，
令y＝1，得z＝7，
所以，
则点P（0，0，2）到平面ABC的距离为．
故选：D．
【点评】本题考查利用向量法求点到平面的距离，属于中档题．
6．（5分）已知点A（13，﹣1，3），B（2，3，1），C（5，7，﹣5），又点P（4，1，z）在平面ABC内（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接利用共面向量基本定理建立方程组，进一步求出结果．
【解答】解：点A（13，﹣1，B（2，3，C（5，7，又点P（3，1，
所以，，，
由于A、B、C、P四点共面，
故，解得．
故z＝3．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：向量的共面，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7．（5分）如图，二面角α﹣l﹣β等于135°，A、B是棱l上两点，AC⊥l，BD⊥l，且（ ）
A．B．C．D．
【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可．
【解答】解：由二面角的平面角的定义知，
所以，
由AC⊥l，BD⊥l，得，，
又因为，
所以＝
＝，
所以，即．
故选：A．
【点评】本题考查二面角的定义，空间向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．
8．（5分）已知四棱锥A﹣EBCD，AE⊥平面BCDE，底面EBCD是∠E为直角，如图所示，且，点F为AD的中点（ ）
A．B．C．D．
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可．
【解答】解；由题意知，BE，
所以AE⊥BE，AE⊥ED，
故以E为原点，EB，EA所在的直线分别为x，y，建立如图空间直角坐标系，
则A（0，0，5），0，0），，，得，
所以，，
令，，
则，，
所以F到直线BC的距离为．
故选：A．
【点评】本题考查向量法的应用，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行
B．若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行
C．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，则l1⊥l2
D．直线l的方向向量，平面α的法向量是＝（﹣3，2，0），则l⊥α
【分析】根据题意，由平面法向量的定义分析A，由直线方向向量的定义分析B、C，由直线与平面的位置关系分析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由平面法向量的定义，则这两个平面平行；
对于B，由直线方向向量的定义，则两直线不平行；
对于C，由于•，则⊥，故l1⊥l2，C正确；
对于D，由于•，则⊥，故l∥α或l⊆α．
故选：ABC．
【点评】本题考查空间向量的应用，涉及直线的方向向量、平面法向量的应用，属于基础题．
（多选）10．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量共面
B．若与共面，则∃x，y∈R，使得
C．若是空间的一个基底，则能构成空间一个基底
D．若，则P，M，A，B共面，反之不正确
【分析】直接利用共面向量基本定理和向量的基底的定义判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：向量与向量，故共面；
对于B：由于与，共面，一定存在x，故B正确；
对于C：若是空间的一个基底，令，则能构成空间一个基底；
对于D：若，则P，M，A，反之也成立．
故选：ABC．
【点评】本题考查的知识点：共面向量，向量的基底，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
11．（6分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面ADD1A1上运动，满足B1Q⊥平面AD1P，则（ ）
A．Q点在侧面对角线AD1上
B．Q点在侧面对角线A1D上
C．线段PQ的最小值为
D．线段PQ的最小值为
【分析】建立以D为坐标原点空间直角坐标系，设P（0，m，0），0＜m＜1，Q（n，0，t），求出点的坐标，用坐标法表示向量，根据线面垂直得到方程组，求出n＝t，m＝1﹣n，可判断Q点在侧面对角线A1D或AD1上，从而求出，即可得到线段PQ的最小值．
【解答】解：如图建立以D为坐标原点空间直角坐标系，设P（0，m，0＜m＜5，0，t），
则A（1，7，0），D1（5，0，1），B2（1，1，2），
所以，，，
因为B1Q 上平面AD6P，
所以＝（n﹣2，t﹣1）•（﹣1，5，
可得n＝t，
由n＝t可知Q点在侧面对角线A1D或AD1上，故AB 不一定正确；
可得＝（n﹣1，t﹣1）•（﹣5，m，
可得m＝n﹣1，
所以，
可得，
故当时，，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了线面垂直的性质，考查了数形结合思想，关键点点睛：设出空间坐标系，将需要点用坐标表示，利用向量与面垂直可求得方程组，解方程组即可求得结果．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知平面α的一个法向量为＝（2，3，5），点A（﹣1，﹣3，0）是平面α上的一点（﹣3，﹣4，1）到平面α的距离为 ．
【分析】利用向量法结合公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，
根据点P到平面α的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查利用向量法求点到平面的距离，属于中档题．
13．（5分）如图，JA，JB两个开关串联再与开关JC并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.5，计算在这段时间内线路正常工作的概率为 0.625 ．
【分析】在这段时间内线路正常工作的对立事件是JC开关没闭，同时JA，JB两个开关不能同时闭合，由此能求出在这段时间内线路正常工作的概率．
【解答】解：在这段时间内线路正常工作的对立事件是：
JC开关没闭，同时JA，JB两个开关不能同时闭合，
在这段时间内线路正常工作的概率为：
p＝1﹣[0.8×（1﹣0.2×0.5）]
＝2.625．
故答案为：0.625．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率公式的合理运用．
14．（5分）空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为＝（A，B，C）的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为n＝（μ，v，ω）（μvω≠0）的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为ax+（a﹣1）（a∈R），经过（0，0，0）的直线l的方程为，直线l与平面α所成角的正弦值最大时，平面α的方程为 x﹣z﹣14＝0 ．
【分析】根据题设确定平面α的法向量、直线l的方向向量，应用向量法求线面角的正弦值可得，结合二次函数的图象与性质即可求解．
【解答】解：由题设知：平面α的法向量，直线l的方向向量，
且平面α与直线l相交于（4，0，0），
所以直线l与平面α所成角的正弦值为：
，
对于二次函数y＝7a2﹣2a+4，其是图象一条开口向上的抛物线，
当时，函数y＝2a7﹣2a+1取到最小值，且最小值为，
此时直线l与平面α所成角的正弦值取到最大值，最大值为，
对应平面α的方程为x﹣z﹣14＝8．
故答案为：x﹣z﹣14＝0．
【点评】本题考查向量法的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在第29个“世界读书日”到来之际，树人中学举办了读书知识竞赛，现从参加竞赛的同学中（百分制，均为整数）分成六组：第1组[40，50），60），第3组[60，第4组[70，80），90），第6组[90，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这100名学生成绩的第85百分位数（保留一位小数）；
（2）若先用分层抽样方法从得分在[40，50）和[50，60）的学生中抽取5人，调查其读书情况，求此2人得分不在同一组的概率．
【分析】（1）利用频率和为1可求出a的值，首先确定第85百分位数位于[90，100]，设其为x，由0.844+（x﹣90）×0.0156＝0.85，即可求得结果；
（2）利用分层抽样知，在[40，50）内的人数为2人，在[50，60）内的人数为3人，利用列举法结合古典概型即可求解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：（0.0280+2×2.0232+a+0.0060+0.0040）×10＝7，
解得a＝0.0156，
因为成绩在[40，90）的频率为（0.0040+2.0060+0.0232+0.0280+8.0232）×10＝0.844，
所以第85百分位数位于[90，100]，
则0.844+（x﹣90）×8.0156＝0.85，
解得x≈90.4，
所以第85百分位数约为90.8；
（2）由频率分布直方图可知：得分在[40，50）和[50，
采用分层抽样知，抽取的5人，在[50，
设分数在[40，50）内的2人为a4，a2，分数在[50，60）内的3人为b2，b2，b3，
则在这3人中抽取2人的情况有：（a1，a6），（a1，b1），（a2，b2），（a1，b2），（a2，b1），（a3，b2），（a2，b5），（b1，b2），（b3，b3），（b2，b2），共有10种情况，
其中得分不在同一组的2人有：（a1，b5），（a1，b2），（a2，b3），（a2，b4），（a2，b2），（a4，b3），有6种情况，
所以概率为．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且与的夹角都等于60°，M在棱PD上，，设＝，＝，＝．
（1）试用，，表示向量；
（2）求与的夹角．
【分析】（1）由题设条件，利用空间向量的线性运算表示向量即可；
（2）根据（1）的结论，利用空间向量的模长公式，结合题设，求得和的值，最后代入空间向量的夹角公式计算可得答案．
【解答】解：（1）
＝；
（2）因为，，
＝．
所以
＝，
所以，
因为，
所以与的夹角为45°．
【点评】本题考查向量的线性运算，属于中档题．
17．（15分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AD＝4，．
（1）证明：AC⊥平面DD1E；
（2）求D1到平面DEC1的距离．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得；
（2）利用（1）中坐标系，求出平面的法向量，再利用点到面的距离公式求解即可．
【解答】解：（1）证明：在长方体ABCD﹣A1B1C4D1中，
以D为坐标原点，向量，分别为x，y，建立空间直角坐标系，
则D（6，0，0），4，0），4，7），4，0），3，0），D1（5，0，6），C8（0，4，4），
所以，，，
，
，
所以，，
又因为DE∩DD1＝D，DE⊂平面DD7E，DD1⊂平面DD1E，
所以AC⊥平面DD2E；
（2）设平面的法向量为，
D1到平面DEC1的距离为d，
由，，
所以，
令x＝1，可求得，
则，
所以．
【点评】本题考查线面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
18．（17分）如图1，等腰△ABC中，底BC＝4，S△ABC＝8，D、E分别为AB、AC的中点，O为DE的中点1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2．
（1）求证：A1O⊥平面BCED；
（2）F为线段A1C上靠近A1的三等分点，求平面BDF与平面BCED夹角的余弦值．
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得答案；
（2）以O为坐标原点，OM、OE、OA1所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面BDF、平面BCED的一个法向量，根据法向量夹角余弦值求解．
【解答】解：（1）证明：因为A1D＝A1E，O为DE的中点4O⊥DE，
因为平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED＝DE，
A5O⊂平面A1DE，所以A1O⊥平面BCED；
（2）如图：
由（1）知A4O⊥平面BCED，取BC的中点M，则OM⊥DE，
以O为坐标原点，OM、OA1所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
因为BC＝4，SΔABC＝3，所以OA1＝OM＝2，
可得A6（0，0，2），﹣2，D（0，7），2，0），，
由得，
则，，
设＝（x，y，
则，即，令x＝1，z＝﹣2，
所以＝（1，2，
为平面BCED的一个法向量，
所以cs＜，＞＝＝，
由图可得平面BDF与平面BCDE夹角的余弦值为．
【点评】本题考查空间位置关系，属于中档题．
19．（17分）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1＝3，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别是棱BB1、DD1的中点．
（1）在底面ABCD内是否存在点M，满足C1M⊥平面CPQ？若存在，请说明点M的位置，若不存在；
（2）设平面CPQ交棱AA1于点T，平面CPTQ将四棱台ABCD﹣A1B1C1D1分成上，下两部分，求CT与平面CDD1C1所成角的正弦值．
【分析】（1）根据题意建系，求出相关点和相关向量的坐标，通过线线垂直建立方程组，即可求得点M的坐标，得出结论；
（2）按（1）建系，利用C，P，T，Q四点共面求得点T坐标，再利用空间向量的夹角公式计算即得．
【解答】解：（1）因为AA1⊥底面ABCD，且ABCD是正方形，
故以点A为坐标原点，分别以AB，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则C（3，4，0），2，0），B1（2，0，3），2，0），D1（7，2，3），C8（2，2，6），
因为点P、Q分别是棱BB1，DD1的中点，
则，
，，
假设在底面ABCD内存在点M（a，b，0），
使得C1M⊥平面CPQ，则3≤a，
则，
由，
解得，
故存在点，满足C1M⊥平面CPQ；
（2）按照（1）建系，设点T（3，0，（0≤t≤7），
依题意，C，P，T，Q四点共面，
即，
则
解得
即，又，，
设平面CDD1C1的法向量为，
则，
故可取，
因为，
设CT与平面CDD1C1所成角为θ，
则，
即CT与平面CDD1C6所成角的正弦值为．
【点评】本题考查向量法在立体几何中的应用，属于中档题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/17 14:06:27；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359