2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学高二（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直线x+y+1＝0的倾斜角为（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
2．（5分）双曲线的左焦点坐标为（ ）
A．（﹣2，0）B．C．（﹣1，0）D．（﹣4，0）
3．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（1，3，0），B（0，3，﹣1），则（ ）
A．直线AB∥坐标平面xOyB．直线AB⊥坐标平面xOy
C．直线AB∥坐标平面xOzD．直线AB⊥坐标平面xOz
4．（5分）如图，F1，F2是平面上的两点，且|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，⋯，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点．若点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，则（ ）
A．点B和C都在椭圆M上B．点C和D都在椭圆M上
C．点D和E都在椭圆M上D．点E和B都在椭圆M上
5．（5分）已知直线l：y＝kx+b，⊙O：x2+y2＝1，则“|b|＜1”是“直线l与⊙O相交”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知A，B（异于坐标原点）是圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5与坐标轴的两个交点，则下列点M中，使得△MAB为钝角三角形的是（ ）
A．M（0，0）B．C．D．
7．（5分）过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若∠AFO＝2∠AOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．或2
8．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，BC＝1，点P在侧面A1ABB1上．若点P到直线AA1和CD的距离相等，则A1P的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
9．（5分）设点F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．（5分）对于平面上点P和曲线C，任取C上一点Q，若线段PQ的长度存在最小值，则称该值为点P到曲线C的距离，记作d（P，C）．下列结论中正确的个数为（ ）
①若曲线C是一个点，则点集D＝{P|d（P，C）≤2}所表示的图形的面积为4π；
②若曲线C是一个半径为2的圆，则点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形的面积为9π；
③若曲线C是一个长度为2的线段，则点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形的面积为π+4；
④若曲线C是边长为9的等边三角形，则点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形的面积为．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
11．（5分）若直线x﹣ay+1＝0与直线2x+y＝0垂直，则a的值为 ．
12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝+x+y，则x，y的值分别为 ．
13．（5分）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为 ．
14．（5分）设点A（1，0），N（﹣2，3），直线l：x+ay+2a﹣1＝0，AM⊥l于点M，则|MN|的最大值为 ．
15．（5分）已知两点F1（﹣1，0），F2（1，0），点P（csθ，sinθ）满足|PF1|﹣|PF2|＝，则△PF1F2的面积是 ；θ的一个取值为 ．
16．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，将△ABD沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形A1BCD．
给出下面三个结论：
①在翻折过程中，存在某个位置，使得A1C⊥BD；
②在翻折过程中，三棱锥A1﹣BCD的体积不大于；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线A1D与BC所成角为45°．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本大题共5个小题，共70分.
17．（13分）已知直线l经过两条直线l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交点．
（1）若直线l与直线3x+y﹣1＝0平行，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25相交所得弦长为8，求直线l的方程．
18．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，PA＝AB＝2．
（Ⅰ）求证：BC⊥PE；
（Ⅱ）求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值．
19．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知．
（1）求证：AB⊥平面AA1C1C；
（2）求直线BC1与平面A1BC所成角的正弦值；
（3）设M是A1C1的中点，棱BB1上是否存在点G，使得MG∥平面A1BC？若存在，求线段BG的长；若不存在，说明理由．
条件①：；
条件②：BC1⊥A1C；
条件③：平面ABC⊥平面AA1C1C．
注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分．
20．（14分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点为（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线y＝x+m（m≠0）与椭圆E交于不同的两点A，B，且与x轴交于点C，P为线段OC的中点，点B关于x轴的对称点为B1.证明：△PAB1是等腰直角三角形．
21．（15分）设正整数n≥3，集合A＝{a|a＝（x1，x2，…，xn），xk∈R，k＝1，2，…，n}，对应集合A中的任意元素a＝（x1，x2，）和b＝（y1，y2，），及实数λ，定义：当且仅当xk＝yk（k＝1，2，…，n）时a＝b；a+b＝（x1+y1，x2+y2，+yn）；λa＝（λx1，λx2，...λxn）．若A的子集B＝{a1，a2，a3}满足：当且仅当λ1＝λ2＝λ3＝0时，λ1a1+λ2a2+λ3a3＝（0，0，…，0），则称B为A的完美子集．
（Ⅰ）当n＝3时，已知集合B1＝{（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）}，B2＝{（1，2，3），（2，3，4），（4，5，6）}，分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由；
（Ⅱ）当n＝3时，已知集合B＝{（2m，m，m﹣1），（m，2m，m﹣1），（m，m﹣1，2m）}．若B不是A的完美子集，求m的值；
（Ⅲ）已知集合B＝{a1，a2，a3}⊆A，其中ai＝（xi1，xi2，）（i＝1，2，3）．若2|xii|＞|x1i|+|x2i|+|x3i|对任意i＝1，2，3都成立，判断B是否一定为A的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例．
2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）直线x+y+1＝0的倾斜角为（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
【分析】根据斜率和倾斜角的关系，计算即可．
【解答】解：∵直线x+y+1＝0，即y＝﹣x﹣1，
∴tanα＝﹣，α∈[0，180°），
∴α＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查了直线斜率的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
2．（5分）双曲线的左焦点坐标为（ ）
A．（﹣2，0）B．C．（﹣1，0）D．（﹣4，0）
【分析】利用双曲线的标准方程，直接求解双曲线的左焦点坐标．
【解答】解：双曲线可得a＝b＝，则c＝2，
所以双曲线的左焦点坐标（﹣2，0）．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
3．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（1，3，0），B（0，3，﹣1），则（ ）
A．直线AB∥坐标平面xOyB．直线AB⊥坐标平面xOy
C．直线AB∥坐标平面xOzD．直线AB⊥坐标平面xOz
【分析】平面xOz的一个法向量为＝（0，1，0），易得⊥，再由线面平行的判定定理，得解．
【解答】解：由A（1，3，0），B（0，3，﹣1），知＝（﹣1，0，﹣1），
因为平面xOz的一个法向量为＝（0，1，0），所以•＝0，即⊥，
又AB⊄平面xOz，
所以直线AB∥坐标平面xOz．
故选：C．
【点评】本题考查空间中线面的位置关系，熟练掌握利用空间向量判断线面平行或垂直的方法是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（5分）如图，F1，F2是平面上的两点，且|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，⋯，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点．若点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，则（ ）
A．点B和C都在椭圆M上B．点C和D都在椭圆M上
C．点D和E都在椭圆M上D．点E和B都在椭圆M上
【分析】根据椭圆的定义判断即可求求解．
【解答】解：因为点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，
所以|AF1|+|AF2|＝3+9＝12，
所以椭圆M中2a＝12，
因为|BF1|+|BF2|＝5+9＝14≠12，|CF1|+|CF2|＝5+6＝11≠12，
|DF1|+|DF2|＝5+7＝12，|EF1|+|EF2|＝11+1＝12，
所以D，E在椭圆M上．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的定义，属基础题．
5．（5分）已知直线l：y＝kx+b，⊙O：x2+y2＝1，则“|b|＜1”是“直线l与⊙O相交”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：⊙O：x2+y2＝1，
则⊙O的圆心为（0，0），半径为1，
圆心到直线l的距离为，
当|b|＜1时，＜1，故直线l与⊙O相交，充分性成立，
当直线l与⊙O相交，则＜1，即|b|＜，必要性不成立，
故“|b|＜1”是“直线l与⊙O相交”的充分而不必要条件，故A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
6．（5分）已知A，B（异于坐标原点）是圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5与坐标轴的两个交点，则下列点M中，使得△MAB为钝角三角形的是（ ）
A．M（0，0）B．C．D．
【分析】对于圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，可得A（4，0），B（0，2），可得直线AB的方程x+2y﹣4＝0．圆心C（2，1）满足直线BA的方程，下列点M中，使得△MAB为钝角三角形，点M必须在⊙C的内部，经过验证进而得出结论．
【解答】解：对于圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，
令x＝0，解得y＝0，2；
令y＝0，解得x＝0，4．
不妨取A（4，0），B（0，2），
可得直线AB的方程：+＝1，即x+2y﹣4＝0．
圆心C（2，1）满足直线BA的方程，
下列点M中，使得△MAB为钝角三角形，则点M必须在⊙C的内部．
经过验证（0，0），（2，1﹣）在⊙C上，点（4，）在⊙C的外部，只有点M（1，2）在圆的内部，
故选：D．
【点评】本题考查了点及其直线与圆的位置关系、钝角三角形、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若∠AFO＝2∠AOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．或2
【分析】根据题意可得∠AOF＝30°，从而，再由求解．
【解答】解：在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，
所以∠AOF＝30°，则，
所以，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，方程思想，属基础题．
8．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，BC＝1，点P在侧面A1ABB1上．若点P到直线AA1和CD的距离相等，则A1P的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【分析】在面A1ABB1建立平面直角坐标系设P（x，y），（0≤x≤2，0≤y≤2），由点P到直线AA1和CD的距离相等，得x2＝y2+1，再计算A1P的最小值．
【解答】解：过点P作AB，AA1的垂线，垂足分别为M，N，
过点M作MQ⊥CD于Q，连接PQ，A1P，
因为PM⊥AB，面ABB1A1⊥面ABCD，面ABB1A1∩面ABCD＝AB，PM⊂面ABB1A1，
所以PM⊥面ABCD，
又CD⊂面ABCD，
所以PM⊥CD，
又CD⊥MQ，PM∩MQ＝M，
所以CD⊥面PMQ，
又PQ⊂面PMQ，
所以CD⊥PQ，
在平面ABB1A1上，以AB，AA1为坐标轴建立平面直角坐标系A﹣xy，
设P（x，y），（0≤x≤2，0≤y≤2），
则PN＝x，PM＝y，
所以PQ＝＝，
若点P到直线AA1和CD得距离相等，则x＝，即x2＝y2+1，
所以A1P＝＝＝＝，
所以当y＝1，x＝时，A1P取得最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查空间中的距离，解题中需要一定的推理能力，属于中档题．
9．（5分）设点F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】设点P（x1，y1），根据坐标得到，再结合椭圆的对称性即可得到m的范围．
【解答】解：设点P（x1，y1），根据椭圆方程得，，，
∴，，
∴，
显然，方程最多有两个解，
根据椭圆的对称性可知，要想有四个点，
需要关于x的方程在（﹣2，2）有两个解，
∴根据一元二次函数性质可得m∈（﹣2，1）．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
10．（5分）对于平面上点P和曲线C，任取C上一点Q，若线段PQ的长度存在最小值，则称该值为点P到曲线C的距离，记作d（P，C）．下列结论中正确的个数为（ ）
①若曲线C是一个点，则点集D＝{P|d（P，C）≤2}所表示的图形的面积为4π；
②若曲线C是一个半径为2的圆，则点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形的面积为9π；
③若曲线C是一个长度为2的线段，则点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形的面积为π+4；
④若曲线C是边长为9的等边三角形，则点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形的面积为．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据题中定义，可得①②③④中点集构成的区域，计算出相应图形的面积，即可得出结论．
【解答】解：设点P（x，y），
对于①，若曲线C表示点（a，b），则，
化简，可得（x﹣a）2+（y﹣b）2≤4，
所以点集D＝{P|d（P，C）≤2}所表示的图形是以点（a，b）为圆心，半径为2的圆及其内部，
所以点集D＝{P|d（P，C）≤2}所表示的图形的面积为π×22＝4π，①对；
对于②，若曲线C表示以点M（a，b）为圆心，半径为2的圆，
设Q为曲线C上一点，当点P在曲线C内时，，
当且仅当Q，P，M三点共线时，等号成立，
所以d（P，C）＝2﹣|MP|≤1，可得|MP|≥1，此时1≤|MP|＜2；
当点P在曲线C外时，，
当且仅当Q，P，M三点共线时，等号成立，
所以，d（P，C）＝|MP|﹣2≤1，可得|MP|≤3，此时2＜|MP|≤3，
当点P在曲线C上时，线段PQ的长不存在最小值，
综上所述，1≤|MP|＜2或2|MP|≤3，即1≤（x﹣a）2+（y﹣b）2＜4或4＜（x﹣a）2+（y﹣b）2≤9，
所以点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形是夹在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1
和圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝9的区域（但不包括圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4的圆周），
此时点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形的面积为π×（32﹣12）＝8π，②错；
对于③，不妨设点曲线C为线段AB，且|AB|＝2，
当点Q与点A重合时，由（1）可知，则点集D表示的是以点A为圆心，半径为1的圆，
当点Q与点B重合时，则点集D表示的是以点B为圆心，半径为1的圆，
故当点Q在线段AB上滑动时，点集D表示的区域是一个边长为2的正方形EFGD和两个半径为1的半圆所围成的区域，
此时，点集D的面积为π×12+22＝π+4，③对；
对于④，若曲线C是边长为9的等边三角形，设等边三角形为△ABC，
因为，则，
由③可知，点集D构成的区域由矩形ABRD、ACFE、BCWL，
以及分别由点A，B，C为圆心，半径为1，圆心角为的三段圆弧，
和夹在等边三角形ABC和等边三角形STU中间的部分（包括边界），
因此，则，
所以，点集D所表示的图形的面积为，④对．
综上，正确的序号为①③④共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了命题真假的判断，圆的轨迹方程和曲线与方程的综合应用，考查了转化思想和方程思想，属难题．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
11．（5分）若直线x﹣ay+1＝0与直线2x+y＝0垂直，则a的值为 2 ．
【分析】根据两直线垂直的条件列方程求出a的值．
【解答】解：直线x﹣ay+1＝0与直线2x+y＝0垂直，
则1×2﹣a×1＝0，
解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了两直线垂直的应用问题，是基础题．
12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝+x+y，则x，y的值分别为 ， ．
【分析】画出正方体，点E为上底面A1C1的中心，得到＝+，而＝，＝＝+，故可以表示出向量，为＝+x+y的形式，可得x、y的值．
【解答】解：如图，＝+＝+＝+（+），①
∵＝+x+y，②
∴由①②，可得x＝y＝，
故答案为：，
【点评】本题考查棱柱的结构特征，向量加减运算，是基础题．
13．（5分）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为 ．
【分析】由题意可得焦距及焦半径的值，再由a，b，c之间的关系求出a，c的值，进而求出离心率．
【解答】解：由题意可得2c＝4，＝，c2＝a2﹣b2，解得a＝6，
所以离心率e＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的性质，属于基础题．
14．（5分）设点A（1，0），N（﹣2，3），直线l：x+ay+2a﹣1＝0，AM⊥l于点M，则|MN|的最大值为 6 ．
【分析】先求出直线l过定点（1，﹣2），再根据条件求出点M的轨迹方程，再结合轨迹方程求出|MN|的最大值．
【解答】解：直线l：x+ay+2a﹣1＝0，
则x﹣1+a（y+2）＝0，
则，解得x＝1，y＝﹣2，即直线l恒过点P（1，﹣2），
设M（x，y），
∴＝（x﹣1，y+2），＝（x﹣1，y），
∴＝（x﹣1）（x﹣1）+y（y+2）＝0，
即（x﹣1）2+（y+1）2＝1
故点M的轨迹为（x﹣1）2+（y+1）2＝1，
该轨迹是以（1，﹣1）为圆心，半径为1的圆，
∴|MN|max＝+1＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的知识要点：定点的直线系，圆的方程，向量的数量积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
15．（5分）已知两点F1（﹣1，0），F2（1，0），点P（csθ，sinθ）满足|PF1|﹣|PF2|＝，则△PF1F2的面积是 ；θ的一个取值为 （答案不唯一） ．
【分析】根据题意，由双曲线的定义分析P的轨迹方程，结合同角三角函数的基本关系式求出cs2θ和sin2θ的值，由此分析θ的值，同时求出P的坐标，由三角形面积公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，两点F1（﹣1，0），F2（1，0），则|F1F2|＝2，
点P（csθ，sinθ）满足|PF1|﹣|PF2|＝，且＜2，
则点P在以F1、F2为焦点的双曲线上，
该双曲线中，a＝，c＝1，则b＝＝，故该双曲线的标准方程为﹣＝1，
P的坐标为（csθ，sinθ），则有cs2θ﹣sin2θ＝，
又由cs2θ+sin2θ＝1，
解可得：cs2θ＝，sin2θ＝，故θ的值为、、和；
同时：P的坐标为（，）、（﹣，）、（，﹣）、（﹣，﹣）；
点P到F1F2为距离d＝，
故△PF1F2的面积S＝×|F1F2|×＝，
故答案为：，（答案不唯一）．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，涉及双曲线的定义和标准方程，
16．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，将△ABD沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形A1BCD．
给出下面三个结论：
①在翻折过程中，存在某个位置，使得A1C⊥BD；
②在翻折过程中，三棱锥A1﹣BCD的体积不大于；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线A1D与BC所成角为45°．
其中所有正确结论的序号是 ②③ ．
【分析】在矩形ABCD中，过A，C点作BD的垂线，垂足分别为E，F，对于①，连接CE，假设存在某个位置，使得A1C⊥BD，则可得BD⊥CE，进而得到矛盾，可判断；对于②，在翻折过程中，当平面A1BD⊥平面BCD时，三棱锥A1﹣BCD的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于③，由题可知＝+，＝+，设平面A1BD与平面BCD所成的二面角为θ，进而得到•＝﹣csθ+∈（，3），进而得到异面直线A1D与BC所成角的余弦值范围，即可判断．
【解答】解：如图1，在矩形ABCD中，过A，C点作BD的垂线，垂足分别为E，F，
则在翻折过程中，形成图2的几何体，
故对于①，连接CE，假设存在某个位置，使得A1C⊥BD，由图A1E⊥BD，A1C∩A1E＝A1，
所以BD⊥平面A1CE，则BD⊥CE，这与图1中的BD与CE不垂直矛盾，故①错误；
对于②，在翻折过程中，当平面A1BD⊥平面BCD时，三棱锥A1﹣BCD的体积取得最大值，
此时A1E＝＝，体积为V＝S△BCD•A1E＝××1××＝，故三棱锥的体积不大于，故②正确；
对于③，＝+，＝+，由②得讨论可得AE＝DF＝，EF＝1，所以，
则•＝（+）（+）＝•+•＝﹣•+•＝﹣||•||cs＜，＞+||•||＝cs＜，＞+，
设平面A1BD与平面BCD所成的二面角为θ，所以cs＜，＞＝csθ，
故•＝﹣csθ+，要使直线A1D与BC为异面直线，所以θ∈（0，π），
所以•＝﹣csθ+∈（，3），
则|cs＜，＞|＝＝∈（，1），
由于∈（，1），所以在翻折过程在，存在某个位置，使得异面直线A1D与BC所成角为45°．
故答案为：②③．
【点评】本题考查锥体体积的有关计算，线面垂直的证明，异面直线夹角的向量求法，属于中档题．
三、解答题：本大题共5个小题，共70分.
17．（13分）已知直线l经过两条直线l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交点．
（1）若直线l与直线3x+y﹣1＝0平行，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25相交所得弦长为8，求直线l的方程．
【分析】（1）联立方程可求交点坐标，设直线l的方程为3x+y+c＝0，代入交点坐标可求直线l的方程；
（2）利用弦长可求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在讨论，当斜率存在时设l：y﹣2＝k（x+2），利用点到直线的距离可求直线方程．
【解答】解：（1）由直线l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0，
联立方程解得，
所以直线l1与l2交点坐标为（﹣2，2），
∵直线l与直线3x+y﹣1＝0平行，∴设直线l的方程为3x+y+c＝0，
把点（﹣2，2）代入方程得c＝4，
所以直线l的方程为3x+y+4＝0．
（2）若直线l过点（﹣2，2）且斜率不存在，则l：x＝﹣2满足条件，
若直线l过点（﹣2，2）且斜率存在，设l：y﹣2＝k（x+2），即kx﹣y+2k+2＝0，
由题意，，
所以，即4x﹣3y+14＝0．
综上所述，直线l的方程为x＝﹣2或4x﹣3y+14＝0．
【点评】本题考查求直线方程，考查圆中的弦长问题，考查点到线的距离，属中档题．
18．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，PA＝AB＝2．
（Ⅰ）求证：BC⊥PE；
（Ⅱ）求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理，可得PA⊥BC，再根据底面是正方形可证明线面垂直，由线面垂直的性质，即可得BC⊥PE；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面PAB与平面PBD的法向量，由向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，
又底面ABCD为正方形，所以AB⊥BC，
又PA∩BA＝A，且PA，BA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，
因为PE⊂平面PAB，所以BC⊥PE．
（Ⅱ）以A点为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
则＝（2，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），
设平面PBD的一个法向量为＝（x，y，z），
则，即，令z＝1，可得＝（1，1，1），
易知＝（0，2，0）是平面PAB的一个法向量，
所以cs＜，＞＝＝＝，
所以平面PAB与平面PBD夹角的余弦值为．
【点评】本题主要考查直线与平面垂直的证明，平面与平面所成角的求法，考查转化思想、逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
19．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知．
（1）求证：AB⊥平面AA1C1C；
（2）求直线BC1与平面A1BC所成角的正弦值；
（3）设M是A1C1的中点，棱BB1上是否存在点G，使得MG∥平面A1BC？若存在，求线段BG的长；若不存在，说明理由．
条件①：；
条件②：BC1⊥A1C；
条件③：平面ABC⊥平面AA1C1C．
注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分．
【分析】（1）只能选择①③，由平面ABC⊥平面AA1C1C易证AB⊥AA1，结合勾股定理逆定理可证AB⊥AC，进而得证AB⊥平面AA1C1C；
（2）以AB方向为x轴，AA1方向为y轴，AC方向为z轴，求出和平面A1BC的法向量，结合线面夹角的向量公式即可求解；
（3）结合向量法，要使MG∥平面A1BC，即，求出点G坐标，进而求出BG的长．
【解答】解：（1）证明：只能选择①③，理由如下：
因所求问题包括线面角大小，需要求出AB边长，故①必选，
选②缺垂直条件，因为BC1⊥A1C，又四边形AA1C1C是边长为4的正方形，
所以AC1⊥A1C，AC1∩BC1＝C1，AC1⊂平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，
所以A1C⊥平面ABC1，
又AB⊂平面ABC1，
所以A1C⊥AB，选①②无法证明AB⊥平面AA1C1C；
接下来证明AB⊥平面AA1C1C，
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，
所以AA1⊥AC，
所以AA1⊥平面ABC，
又因为AB⊂平面ABC，
所以AA1⊥AB，，所以AB＝2，
又因为，所以AB⊥AC，AC⊂平面ABC，AA1∩AC＝A，
所以AB⊥平面AA1C1C；
（2）由（1）知AB，AA1，AC两两垂直，故以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（2，0，0），A1（0，4，0），C（0，0，4），C1（0，4，4），
故，，
设平面A1BC的方向量为，则，即，令x＝2，得y＝z＝1，故，
设直线BC1与平面A1BC所成角为θ，则，
故直线BC1与平面A1BC所成角的正弦值为；
（3）假设存在设点G，使得MG∥平面A1BC，则G（2，m，0），m∈[0，2]，
因为MG∥平面A1BC，
所以，M（0，4，2），
所以，，解得m＝2，故G（2，2，0），BG＝2，
所以存在点G，G为BB1中点，使得MG∥平面A1BC，此时BG＝2．
【点评】本题考查线面垂直的判定定理，考查利用空间向量求解线面角，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
20．（14分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点为（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线y＝x+m（m≠0）与椭圆E交于不同的两点A，B，且与x轴交于点C，P为线段OC的中点，点B关于x轴的对称点为B1.证明：△PAB1是等腰直角三角形．
【分析】（Ⅰ）根据条件求得a，b，c即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）设点C（﹣m，0），A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2），进而联立，结合题意可得﹣2＜m＜0或0＜m＜2，进而结合韦达定理可得，设AB的中点M（x0，y0），证明PM⊥AB，进而得到|PA|＝|PB|，|PB|＝|PB1|，故|PA|＝|PB1|，综合即可得到证明．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e＝＝，又焦点（2，0）可得c＝2，
所以可得a＝，b2＝a2﹣c2＝6﹣4＝2，
所以椭圆E的方程为：+＝1；
证明：（Ⅱ）设点C（﹣m，0），则点P（﹣，0），
联立，可得4x²+6mx+3m²﹣6＝0，
所以Δ＝36m²﹣16（3m²﹣6）＞0，解得﹣2＜m＜2，
因为m≠0，故﹣2＜m＜0或0＜m＜2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2），则x1+x2＝﹣，
设向量＝（x1+，y1），＝（x2+，﹣y2），
所以•＝（x1+，y1）（x2+，﹣y2）＝（x1+）（x2+）﹣y1y2＝（x1+）（x2+）﹣（x1+m）（x2+m）
＝﹣（x1+x2）﹣＝﹣＝0，
所以PA⊥PB1，即∠APB1＝90°，
设AB的中点M（x0，y0），则x0＝＝﹣，y0＝x0+m＝，
所以kPM＝＝﹣1，
又因为kAB＝1，所以PM⊥AB，则|PA|＝|PB|，
因为点B关于x轴的对称点为B1，所以|PB|＝|PB1|，故|PA|＝|PB1|，
则△PAB1是等腰直角三角形．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆标准方程的求解，韦达定理的应用，根据直线与椭圆的位置关系求参数范围，属于中档题．
21．（15分）设正整数n≥3，集合A＝{a|a＝（x1，x2，…，xn），xk∈R，k＝1，2，…，n}，对应集合A中的任意元素a＝（x1，x2，）和b＝（y1，y2，），及实数λ，定义：当且仅当xk＝yk（k＝1，2，…，n）时a＝b；a+b＝（x1+y1，x2+y2，+yn）；λa＝（λx1，λx2，...λxn）．若A的子集B＝{a1，a2，a3}满足：当且仅当λ1＝λ2＝λ3＝0时，λ1a1+λ2a2+λ3a3＝（0，0，…，0），则称B为A的完美子集．
（Ⅰ）当n＝3时，已知集合B1＝{（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）}，B2＝{（1，2，3），（2，3，4），（4，5，6）}，分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由；
（Ⅱ）当n＝3时，已知集合B＝{（2m，m，m﹣1），（m，2m，m﹣1），（m，m﹣1，2m）}．若B不是A的完美子集，求m的值；
（Ⅲ）已知集合B＝{a1，a2，a3}⊆A，其中ai＝（xi1，xi2，）（i＝1，2，3）．若2|xii|＞|x1i|+|x2i|+|x3i|对任意i＝1，2，3都成立，判断B是否一定为A的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例．
【分析】（Ⅰ）根据完美子集的定义，设λ1a1+λ2a2+λ3a3＝（0，0，0），列方程组求得λ1，λ2，λ3的值即可判断；
（Ⅱ）由题意可得：存在（λ1，λ2，λ3）≠（0，0，0），使得λ1a1+λ2a2+λ3a3＝（0，0，0），
，列出方程组，解方程组求出m的值即可求解；
（Ⅲ）假设存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3满足λ1a1+λ2a2+λ3a3＝（0，0，0），不妨设
|λ1|≥|λ2|≥|λ3|，则λ1≠0，由λ1x11+λ2x21+λ3x31＝0结合已知条件得出矛盾即可求解．
【解答】解（Ⅰ）设λ1a1+λ2a2+λ3a3＝（0，0，0），即λ1＝λ2＝λ3＝0，所以B1是完美子集，设λ1a1+λ2a2+λ3a3＝（0，0，0），可得，
解得：λ1＝2，λ2＝﹣3，λ3＝1所以B2不是完美子集；
（Ⅱ）因为集合B＝{（2m，m，m﹣1），（m，2m，m﹣1），（m，m﹣1，2m）}不是A的完美子集，
所以存在（λ1，λ2，λ3）≠（0，0，0），使得λ1a1+λ2a2+λ3a3＝（0，0，0），
即，
由集合的互异性可得：2m≠m且m≠m﹣1且m﹣1≠2m，所以m≠0且m≠﹣1，
所以2λ1+λ2+λ3＝0，可得λ3＝﹣2λ1﹣λ2，（λ1，λ2）≠（0，0），
所以，
即，
所以（﹣4m+1）λ1＝0，
所以m＝或λ1＝0，
当m＝时，，解得：，
所以存在使得λ1a1+λ2a2+λ3a3＝（0，0，0），
当λ1＝0时，因为m≠﹣1，所以λ2＝0，λ3＝0，不符合题意，
所以m＝；
（Ⅲ）B一定是A的完美子集，
假设存在不全为0的实数λ1、λ2、λ3满足λ1a1+λ2a2+λ3a3＝（0，0，0），
不妨设|λ1|≥|λ2|≥|λ3|，则λ1≠0，否则与假设矛盾，
由λ1x11+λ2x21+λ3x31＝0，可得x11＝﹣，
所以|x11|≤+≤|x21|+|x31|与2|x11|＞|x11|+|x21|+|x31|即|x11|＞|x11|+|x21|+|x31|矛盾，所以假设不成立，
所以λ1＝0，所以λ2＝λ3＝0，
所以B一定是A的完美子集．
【点评】此题属于新概念题，主要是要理解所给的定义，属于难题．
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