2022-2023学年北京市昌平区前锋学校高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市昌平区前锋学校高二（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）设直线l：x﹣y+b＝0的倾斜角为α，则α＝（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（4分）圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为（ ）
A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（﹣1，0）D．（1，0）
3．（4分）已知＝（2，1，3），＝（﹣4，﹣2，x），且⊥，则x＝（ ）
A．B．C．﹣6D．6
4．（4分）若向量，，则＝（ ）
A．B．5C．D．
5．（4分）点（2，1）到直线l：x﹣2y+2＝0的距离为（ ）
A．B．C．D．0
6．（4分）已知直线l的方向向量，平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是（ ）
A．l∥αB．l⊥α
C．l⊂αD．以上选项都不对
7．（4分）直线3x+4y﹣5＝0与圆x2+y2＝1的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法判断
8．（4分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（ ）
A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++
9．（4分）过直线l1：2x+y﹣3＝0与l2：x﹣3y+2＝0的交点，并与l1垂直的直线的方程为（ ）
A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．x+2y﹣1＝0D．x+2y+1＝0
10．（4分）设a∈R，则“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”是“a＝﹣1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
11．（4分）已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0外，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣3，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞）
C．（﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）
12．（4分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2﹣2x﹣3＝0B．x2+y2+4x＝0
C．x2+y2+2x﹣3＝0D．x2+y2﹣4x＝0
13．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱A1B1的中点，则点E到平面BC1D1的距离为（ ）
A．B．C．D．
14．（4分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0），（m＞0）．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
15．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my+1＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣2m+3＝0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值（ ）
A．B．C．6D．3
二、填空题（每题5分）
16．（5分）①已知，，则＝ ；
②空间向量，，若，则＝ ．
17．（5分）①若A（﹣2，3）、B（3，﹣2）、C（1，m）三点共线，则m的值为 ；
②直线l1：2x+y+1＝0，l2：kx+2y+k﹣1＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为 ．
18．（5分）①坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ；
②过（5，0），（﹣2，1）两点，且圆心在直线x﹣3y﹣10＝0上的圆的标准方程为 ．
19．（5分）①两条垂直直线l1：2x+y+1＝0与l2：ax+4y﹣6＝0的交点到原点的距离为 ；
②过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是 ．
20．（5分）①圆心为（1，5）．且与x轴相切的圆的方程为 ；
②已知圆x2+y2＝1与圆（x﹣2）2+y2＝a2（a＞0）外切，则a＝ ．
21．（5分）①直线和圆x2+y2＝r2（r＞0）交于A，B两点，若|AB|＝6，则r的值为 ；
②圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝ ．
三、解答题
22．直线l经过点M（﹣1，2），且满足下列条件，求相应l的方程．
（1）过点N（0，1）；
（2）与直线x+y+5＝0垂直．
23．已知向量＝（﹣2，﹣1，2），＝（﹣1，1，2），＝（x，2，2）．
（Ⅰ）当||＝2时，若向量k+与垂直，求实数x和k的值；
（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数x的值．
24．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2BB1＝2，P为B1C1的中点．
（1）求异面直线AC与BP所成的角；
（2）求直线AC与平面ABP所成的角；
（3）求二面角C﹣AB﹣P的余弦值；
（4）求点B到平面APC的距离．
25．已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．
（1）求圆M的方程；
（2）过点（0，2）且与x轴不垂直的直线l与圆M相交于D，E两点，且，求直线l的方程．
26．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PO⊥底面ABCD，AO＝1．点E在棱PB上，PE＝2EB．
（1）当PO＝2，求直线AE与平面PCD所成角的正弦值；
（2）当PO取何值时，二面B﹣PC﹣D的正弦值为．
27．已知直线l：x＝my﹣1，圆C：x2+y2+4x＝0．
（1）证明：直线l与圆C相交；
（2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q．试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由．
2022-2023学年北京市昌平区前锋学校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分）
1．（4分）设直线l：x﹣y+b＝0的倾斜角为α，则α＝（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【分析】根据题意，减直线的方程变形为斜截式，即可得直线l的斜率，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l：x﹣y+b＝0，即y＝x+b，其斜率k＝，
则有tanα＝，
而0≤α＜π，则α＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查直线的倾斜角，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
2．（4分）圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为（ ）
A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（﹣1，0）D．（1，0）
【分析】直接利用圆的标准方程，写出圆的圆心坐标即可．
【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为（1，0）．
故选：D．
【点评】本题考查圆的标准方程的应用，是基础题．
3．（4分）已知＝（2，1，3），＝（﹣4，﹣2，x），且⊥，则x＝（ ）
A．B．C．﹣6D．6
【分析】根据空间向量的坐标运算可求解．
【解答】解：已知＝（2，1，3），＝（﹣4，﹣2，x），
因为，所以，即2×（﹣4）+1×（﹣2）+3x＝0，解得，
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
4．（4分）若向量，，则＝（ ）
A．B．5C．D．
【分析】利用空间向量的坐标运算求解即可．
【解答】解：∵，，
∴+2＝（﹣3，4，1），
∴|+2|＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
5．（4分）点（2，1）到直线l：x﹣2y+2＝0的距离为（ ）
A．B．C．D．0
【分析】利用点到直线的距离公式直接求解．
【解答】解：点（2，1）到直线l：x﹣2y+2＝0的距离
d＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
6．（4分）已知直线l的方向向量，平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是（ ）
A．l∥αB．l⊥α
C．l⊂αD．以上选项都不对
【分析】计算得到，得到，即直线l与平面α的位置关系是l∥α或l⊂α，得到答案．
【解答】解：已知直线l的方向向量，平面α的法向量，
则，故，
故直线l与平面α的位置关系是l∥α或l⊂α．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题．
7．（4分）直线3x+4y﹣5＝0与圆x2+y2＝1的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法判断
【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离d，可判断直线与圆相切．
【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径r＝1，
所以圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5＝0的距离d＝＝1＝r，
所以直线与圆相切，
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断方法，属于基础题．
8．（4分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（ ）
A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++
【分析】利用空间向量加法法则直接求解．
【解答】解：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，
∴＝
＝++
＝（）
＝+（）
＝．
故选：D．
【点评】本题考查向量的表示法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（4分）过直线l1：2x+y﹣3＝0与l2：x﹣3y+2＝0的交点，并与l1垂直的直线的方程为（ ）
A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．x+2y﹣1＝0D．x+2y+1＝0
【分析】先求出求两条直线的交点，和要求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．
【解答】解：由，求得，可得直线l1：2x+y﹣3＝0与l2：x﹣3y+2＝0的交点为（1，1），
要求直线的斜率为，
故要求直线的方程为 y﹣1＝（x﹣1），即 x﹣2y+1＝0，
故选：B．
【点评】本题主要求两条直线的交点，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
10．（4分）设a∈R，则“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”是“a＝﹣1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线的位置关系分析判断．
【解答】解：当直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行时，
a2＝1，得a＝1或a＝﹣1，
∴“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”是“a＝﹣1”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充分条件和必要条件的定义、两直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（4分）已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0外，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣3，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞）
C．（﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）
【分析】由x2+y2+mx﹣2y+2＝0表示圆可得，由点A在圆C外得，求交集即可求出m的取值范围．
【解答】解：圆C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0，方程可化为（x+）2+（y﹣1）2＝，
∴，∴m＜﹣2或m＞2，
∵点A（1，2）在圆C外，
∴，解得m＞﹣3，
∴﹣3＜m＜﹣2或m＞2，
∴m的取值范围为（﹣3，﹣2）∪（2，+∞）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的标准方程，考查了点与圆的位置关系，属于基础题．
12．（4分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2﹣2x﹣3＝0B．x2+y2+4x＝0
C．x2+y2+2x﹣3＝0D．x2+y2﹣4x＝0
【分析】由圆心在x轴的正半轴上设出圆心的坐标（a，0）a大于0，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线3x+4y+4＝0的距离，由直线与圆相切得到距离与半径相等列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．得到圆心的坐标，然后根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．
【解答】解：设圆心为（a，0）（a＞0），
由题意知圆心到直线3x+4y+4＝0的距离d＝＝＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为（2，0）
则圆C的方程为：（x﹣2）2+y2＝4，化简得x2+y2﹣4x＝0
故选：D．
【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准式方程，是一道中档题．
13．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱A1B1的中点，则点E到平面BC1D1的距离为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由，利用等体积法求解．
【解答】解：设点E到平面BC1D1的距离为h，
因为，
即，
所以，
故选：B．
【点评】本题主要考查点面距离的计算，属于基础题．
14．（4分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0），（m＞0）．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【分析】由∠APB＝90°，得点P的轨迹是以AB为直径的圆O，故点P是两圆的交点，根据圆与圆的位置关系即可求解m的最小值．
【解答】解：∵∠APB＝90°，∴点P的轨迹是以AB为直径的圆O，
故点P是圆O与圆C的交点，
因此两圆相切或相交，即|m﹣1|≤≤m+1，
解得4≤m≤6．
∴m的最小值为4．
故选：D．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
15．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my+1＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣2m+3＝0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值（ ）
A．B．C．6D．3
【分析】由直线过定点可得A，B的坐标，斜率可知两直线垂直，可得|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝10，由基本不等式可得
【解答】解：由题意可得动直线x+my+1＝0过定点A（﹣1，0），
直线mx﹣y﹣2m+3＝0可化为（x﹣2）m+3﹣y＝0，斜率k＝m．
令可解B（2，3），
又1×m+m×（﹣1）＝0，故两直线垂直，
即交点为P，
∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝18，
由基本不等式可得18＝|PA|2+|PB|2
＝（|PA|+|PB|）2﹣2|PA||PB|
≥（|PA|+|PB|）2﹣2＝（|PA|+|PB|）2，
∴（|PA|+|PB|）2≤36，
解得：|PA|+|PB|≤6，
当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号．
故选：C．
【点评】本题考查两点间的距离公式，涉及直线过定点和整体利用基本不等式求最值，属中档题
二、填空题（每题5分）
16．（5分）①已知，，则＝ ；
②空间向量，，若，则＝ ．
【分析】①根据向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解；
②根据已知条件，结合向量共线的性质，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：①已知，，
则，
故；
②空间向量，，，
则，即，解得，λ＝﹣4，
故，
所以．
故答案为：①；②．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，以及向量模公式，属于基础题．
17．（5分）①若A（﹣2，3）、B（3，﹣2）、C（1，m）三点共线，则m的值为 0 ；
②直线l1：2x+y+1＝0，l2：kx+2y+k﹣1＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为 ．
【分析】①利用经过两点的直线的斜率公式及三点共线的斜率相等即可求解；
②利用两条直线平行的条件及两条平行直线间的距离公式即可求解．
【解答】解：①，因为A（﹣2，3）、B（3，﹣2）、C（1，m），
所以，
因为A、B、C三点共线，所以kAB＝kAC，即，解得m＝0，
所以m的值为0．
②由于直线l1：2x+y+1＝0，l2：kx+2y+k﹣1＝0，且l1∥l2，
所以1×k﹣2×2＝0，且1×2﹣1×（k﹣1）≠0，解得k＝4，且k≠3，
所以l2：4x+2y+3＝0，转化为，
所以l1与l2之间的距离为．
故答案为：0；．
【点评】本题主要考查三点共线求参数问题，考查直线的平行关系，两条平行直线间的距离公式，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（5分）①坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 x2+y2﹣2x＝0 ；
②过（5，0），（﹣2，1）两点，且圆心在直线x﹣3y﹣10＝0上的圆的标准方程为 （x﹣1）2+（y+3）2＝25 ．
【分析】①设出所求圆的一般方程，将三个点的坐标代入圆的一般方程，即可得出圆的方程，进而可求得圆心坐标和半径．
②首先设圆的标准方，根据题意构造方程即求解可．
【解答】解：①设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
由题意可得，解得，
所以，所求圆的方程为x2+y2﹣2x＝0．
②设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由题知：
⇒，
所以标准方程为（x﹣1）2+（y+3）2＝25．
故答案为：x2+y2﹣2x＝0；（x﹣1）2+（y+3）2＝25．
【点评】本题主要考查圆的方程，属于基础题．
19．（5分）①两条垂直直线l1：2x+y+1＝0与l2：ax+4y﹣6＝0的交点到原点的距离为 ；
②过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是 x﹣2y﹣1＝0 ．
【分析】①由两直线垂直列方程求出a，然后两直线方程联立求出交点坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果；
②根据题意设所求直线为x﹣2y+m＝0，然后将点（1，0）代入求出m的值，从而可求出直线方程．
【解答】解：①因为直线l1：2x+y+1＝0与l2：ax+4y﹣6＝0垂直，
所以，解得a＝﹣2，
所以直线l2为﹣2x+4y﹣6＝0，即x﹣2y+3＝0，
由，得，
所以两直线交于点（﹣1，1），
所以交点到原点的距离为；
②根据题意设所求直线为x﹣2y+m＝0，
因为直线过点（1，0），所以1+m＝0，得m＝﹣1，
所以所求直线方程为x﹣2y﹣1＝0，
故答案为：；x﹣2y﹣1＝0．
【点评】本题考查直线与直线垂直、直线方程、直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．（5分）①圆心为（1，5）．且与x轴相切的圆的方程为 （x﹣1）2+（y﹣5）2＝25 ；
②已知圆x2+y2＝1与圆（x﹣2）2+y2＝a2（a＞0）外切，则a＝ 1 ．
【分析】①根据题意可知：圆的半径为5，进而写出圆的方程即可；
②根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和即可求出结果．
【解答】解：①因为圆心为（1，5），且与x轴相切，
所以圆的半径为5，
故所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣5）2＝25．
②因为圆x2+y2＝1与圆（x﹣2）2+y2＝a2（a＞0）外切，
所以2＝a+1，解得：a＝1．
故答案为：①（x﹣1）2+（y﹣5）2＝25；②1．
【点评】本题考查直线与圆相切的性质、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21．（5分）①直线和圆x2+y2＝r2（r＞0）交于A，B两点，若|AB|＝6，则r的值为 5 ；
②圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝ ．
【分析】①求出圆心到直线的距离d，由计算即可，
②先出圆心到直线的距离d，即可表示出弦长，根据弦长最小值求出m的值．
【解答】解：①由圆x2+y2＝r2（r＞0）的圆心（0，0）到直线得距离：，
又|AB|＝6，所以＝25，所以r＝5．
②由圆C：x2+y2＝4的圆心（0，0）到直线l：y＝kx+m的距离为，
则弦长为：，
若要弦长最小，则k＝0，
所以．
故答案为：5；．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
三、解答题
22．直线l经过点M（﹣1，2），且满足下列条件，求相应l的方程．
（1）过点N（0，1）；
（2）与直线x+y+5＝0垂直．
【分析】（1）先求斜率，在利用点斜式写出直线l的方程；
（2）先设与已知直线垂直的直线方程，把点代入求出参数即可得．
【解答】解：（1）因为直线l经过M（﹣1，2），N（0，1）两点，
所以，
所以所求方程为y﹣1＝（﹣1）×（x﹣0），
即x+y﹣1＝0．
（2）设与直线x+y﹣1＝0；垂直得直线方程为：x﹣y+c＝0，
又经过M（﹣1，2），所以﹣1﹣2+c＝0⇒c＝3，
所以所求方程为x﹣y+3＝0．
【点评】本题主要考查直线的方程，属于基础题．
23．已知向量＝（﹣2，﹣1，2），＝（﹣1，1，2），＝（x，2，2）．
（Ⅰ）当||＝2时，若向量k+与垂直，求实数x和k的值；
（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数x的值．
【分析】（Ⅰ）直接利用向量的垂直的充要条件的应用求出结果．
（Ⅱ）直接利用共面向量基本定理的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）因为||＝2时，所以x＝0．
且向量k+＝（﹣2k﹣1，1﹣k，2k+2）．
因为向量k+与垂直，
所以（）．
即2k+6＝0．
所以实数x和k的值分别为0和﹣3．
（Ⅱ）因为向量与向量，共面，所以设（λ，μ∈R）．
因为（x，2，2）＝λ（﹣2，﹣1，2）+μ（﹣1，1，2），
则：解得
所以实数x的值为．
【点评】本题考查的知识要点：向量的垂直和共线的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
24．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2BB1＝2，P为B1C1的中点．
（1）求异面直线AC与BP所成的角；
（2）求直线AC与平面ABP所成的角；
（3）求二面角C﹣AB﹣P的余弦值；
（4）求点B到平面APC的距离．
【分析】建系设点，利用空间直角坐标，结合求空间角和距离公式求解．
（1）异面直线AC与BP所成的角θ，利用公式求得θ；
（2）平面ABP的法向量，则AC与平面ABP所成的角为θ，由公式求得θ；
（3）分别得到平面ABC与平面PAB的法向量，由公式即可求得结果．
（4）平面APC的法向量，则B到平面APC的距离求得．
【解答】解：（1）（1）建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），P（1，2，1）．
，，，，
∴＝＝＝，
∴异面直线AC与BP所成的角为60°．
（2）设平面ABP的法向量，
则，即，
令x＝1，解得y＝0，z＝1．∴．
设直线AC与平面ABP所成的角为θ，
则＝＝＝，
∴直线与AC与平面ABP所成的角为30°．
（3）由（2）中可知平面ABP的一个法向量，
且由图可知平面CAB的一个法向量，
设二面角为α，则，
由图可知法向量所成角即为二面角，即二面角C﹣AB﹣P的余弦值为；
（4）设平面APC的法向量，
则，
∴，令x0＝1，解得y0＝1，z0＝﹣1，
∴．
∴点B到平面APC的距离．
【点评】本题主要考查了向量在空间角与空间距离求解中的应用，属于中档题．
25．已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．
（1）求圆M的方程；
（2）过点（0，2）且与x轴不垂直的直线l与圆M相交于D，E两点，且，求直线l的方程．
【分析】（1）利用A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，则圆心M的坐标为（﹣1，0），又因为|AM|＝2，即可求圆M的方程；
（2）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且|DE|＝2，分类讨论，即可求直线l的方程．
【解答】解：（1）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，
则圆心M的坐标为（﹣1，0），
又因为|AM|＝2，
所以圆M的方程为（x+1）2+y2＝4．
（2）由（Ⅰ）可知圆M的圆心M（﹣1，0），半径为2．
设N为DE中点，则MN⊥l，|DN|＝|EN|＝×2＝，
则|MN|＝＝1．
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+2，由题意得＝1，
解得k＝，
故直线l的方程为y＝x+2，即3x﹣4y+8＝0．
【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属中档题．
26．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PO⊥底面ABCD，AO＝1．点E在棱PB上，PE＝2EB．
（1）当PO＝2，求直线AE与平面PCD所成角的正弦值；
（2）当PO取何值时，二面B﹣PC﹣D的正弦值为．
【分析】（1）以O为原点，过O平行于AB的直线为x轴，直线AD为y轴，直线OP为z轴建立空间直角坐标系，求出和平面PCD的法向量，利用夹角公式求解；
（2）设PO＝t，求出平面PCD和平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式建立t 的关系式，求出t，即可求出OP．
【解答】解：（1）以O为原点，过O平行于AB的直线为x轴，直线AD为y轴，直线OP为z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，﹣1，0），B（3，﹣1，0），C（3，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
由PE＝2EB，得＝，则E（2，﹣，），＝（2，，），＝（3，0，0），＝（0，﹣2，2），
设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），
由，取z＝1，得＝（0，1，1），
∴cs＜＞＝＝＝，
∴直线AE与平面PCD所成角的正弦值为；
（2）设PO＝t，则P（0，0，t），＝（3，0，0），＝（0，﹣2，t），，＝（﹣3，1，t），
设平面PCD的法向量为，
由，取z1＝2，得＝（0，t，2），
设平面PCB的法向量为＝（x2，y2，z2），
由，取z2＝3，得＝（t，0，3），
∴cs＜＞＝＝＝，
得t4+13t2﹣14＝0，t2＝1，∴t＝1，即PO＝1．
【点评】本题考查空间向量法求二面角和直线与平面所成角，注意平面法向量的求法和向量夹角公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．
27．已知直线l：x＝my﹣1，圆C：x2+y2+4x＝0．
（1）证明：直线l与圆C相交；
（2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q．试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由．
【分析】（1），化简整理可得，（m2+1）y2+2my+3＝0，再结合判别式法，即可求解．
（2）根据已知条件，结合向量的数量积坐标公式，即可求解．
（3）根据已知条件，结合四点共圆，即可求解．
【解答】解：（1），化简整理可得，（m2+1）y2+2my+3＝0，
Δ＝4m2+12（m2+1）＝16m2+12＞0，
所以直线l与圆C恒相交．
（2）设M（x，y），
则有，
∵圆心C（﹣2，0），P（﹣1，0），
∴（x+2，y）•（x+1，y）＝0，整理可得，x2+y2+3x+2＝0，即，
∴点M的轨迹方程是（x≠﹣2），表示的是以（﹣，0）为圆心，半径长为的圆．
（3）当m变化时，点Q恒在直线x＝2上，
理由如下：设Q（x0，y0），
由题意可得，Q，A，B，C四点共圆，且圆的方程为（x﹣x0）（x+2）+（y﹣y0）y＝0，
即x2+y2+（2﹣x0）x﹣y0y﹣2x0＝0，与圆C的方程x2+y2+4x＝0，
消去二次项得（x0+2）x+y0y+2x0＝0，即为直线l的方程，与l：x＝my﹣1比较可得，
x0+2＝2x0，解得x0＝2，
所以当m变化时，点Q恒在定直线x＝2上．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，需要学生较强的综合能力，属于难题．
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