四川省遂宁市射洪中学2024-2025学年高二上学期第一学月考试数学试题（Word版附答案）

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一、单选题
1、C 2、B 3、C 4、A 5、D 6、A 7、D 8、C
二、多选
9、AB 10、BD 11、ACD
三、填空
12、 13、2.8 14、
四、解答题
15、【解析】
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得．（2）由（1）中空间直角坐标系，利用空间向量数量积计算判断即得．
【小问】详解】
在长方体ABCD−A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，
由AD=2, CD=DD1=1- M,N分别AD1,BC的中点，得M(0,1,12),N(1,1,0),A(0,2,0).MN=(1,0,−12)，显然平面C1D1DC的一个法向量n˙=DA˙=(0,2,0)
则MN⋅n=0，于是MN⊥n，有MN//平面C1D1DC，而MN⊂平面C1D1DC所以MN／／平面C1D1DC.
【小问2详解】
由（1）知，C1(1,0,1).，则有MC1=(1,−1,12)，而MN→⋅MC→1=1×1−12×12=34≠0,于是向量MN与向量MC1不垂直，即直线MN与MC1不垂直，而MC1⊂平面B1C1M,所以MN与平面B1C1M不垂直.
16、答案：(1)a=2(2)a=6或a=0.
【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合；
（2）根据两条直线垂直公式计算即可求参．
【详解】（1）因为l1∥l2 所以a2+2(a−4)=0,整理得a2+2a−8=(a−2)(a+4)=0,
解得a=2或a=-4.
当a=-4时， l1:−4x+8y+2=0,l2:2x−4y−1=0,l1,l2重合；
当a=2时， l1:2x+2y+2=0,l2:2x+2y−1=0，符合题意.故a=2.
（2）因为l1⊥l2，所以2a-a(a-4)=0,
解得a=6或a=0.
解：由频率分布直方图可得
成绩小于80的频率为10×(0.002+0.016+0.022+0.030)=0.79
成绩在［80,90）的频率为10×0.020=0.2，因为0.7<0.75<0.99
所以这100名学生成绩的第75百分位数在［80,90）内，
所以随机抽取的100名学生成绩的第75百分位数为80+10×0.75−0.70.9−0.7=82.5.
（3）因为成绩在［70,80），［80,90），[90,100]的学生人数所占比例为3:2:1,
所以从成绩在［70,80），［80,90），［90,100］所抽取人数分别应抽取3人，2人，1人．
记抽取成绩在［70,80）的3人为a，b，c，成绩在［80,100］为D，E，F．
从这6人中随机抽取2人的所有可能为：(a,b),(a,c),(a,D),(a,E),(a,F),(b,c),(b,D),(b,E)
(b,F),(c,D)2(c,E),(c,F)(D,E),(D,F),(E,F)，共15种，
抽取的2人成绩都在[80,100]的是(D,E),(D,F),(E,F），共3种，
抽取的2人成绩都在［80,100］的概率为315=15·
【答案】（1）；（2）；（3）小玲希望摸到棋，小玲胜小军的概率最大
【解析】（1）依题意，一共有10个棋子，其中C棋3个，所以小玲摸到棋的概率等于（2）因为C棋胜D棋，D棋4个，所以小玲在这一轮中胜小军的概率是；
（3）若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；
若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；
若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；
若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；
由此可见，小玲希望摸到棋，小玲胜小军的概率最大.
19、答案：（1）略
（2）如图，以向量DA→,DC→, DP→为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，D(0,0,0) B(1,2,0),E(0,1,1)，
则DB→=(1,2,0)DE→=(0,1,1)
设平面EDB的法向量m→=(x,y,z)
则{DB→⋅m→=x+2y=0DEDE⋅m→=y+z=0，令y=-1- x=2, z=1-
所以平面EDB的法向量m→=(2,−1,1),
平面PAD的一个法向量为n→=(0,1,0),
设平面EDB和平面PAD的夹角为θ，则cs⁡θ=|cs⁡⟨m^,n→⟩|=|m→⋅n→||m→||n→|=|1|6=66,所以平面EDB平面PAD的夹角的余弦值为66
(3) D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1), P(0,0,2),
EB→=(1,1,−1) BP→=(−1,−2,2), BF→=λBP→=(−λ,−2λ,2λ)(0<λ<1)
EF=EB+BF=(1,1,−1)+(−λ,−2λ,2λ)=(1−λ,1−2λ,−1+2λ)-
由（2）知平面EDB的法向量m→=(2,−1,1),
设直线EF与平面EDB的夹角为α，
则sinα=|cs⁡⟨EF,m⟩|=|2(1−λ)−(1−2λ)−1+2λ|(1−λ)2+(1−2λ)2+(−1+2λ)2×6=63,0<λ
整理得8λ2−10λ+3=0
解得λ=12或λ=34,
λ=12时， BF=32 - λ=34时， BF=94则BF的长为32或94