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河南省周口市郸城县郸城二高、郸城三高2024−2025学年高二上学期开学考试 数学试题（含解析）
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这是一份河南省周口市郸城县郸城二高、郸城三高2024−2025学年高二上学期开学考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
3．已知平面向量，则与垂直的单位向量的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
4．已知为异面直线，则过空间一点且与都平行的平面有（ ）
A．个或个B．个C．个D．无数个
5．若古典概型的样本空间，事件，，则（ ）
A．B包含AB．A与B对立C．A与B互斥D．A与B相互独立
6．已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为2，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍，则圆柱的表面积为（ ）
A．8πB．12πC．16πD．24π
7．如图，图（1）和图（2）均为“单峰”频率分布直方图，图（1）的中位数和平均数分别为a，b，图（2）的中位数和平均数分别为c，d，则（ ）
A．B．C．D．
8．设正四棱锥的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
10．设复数，，a，b，c，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则，
B．若，则
C．若，则
D．若，则在复平面内对应的点所在区域的面积为
11．甲、乙、丙、丁四名射击运动员各射击6次，记录每次射击命中的环数（均取整数，最低为1，最高为10），根据统计结果，可以判断一定命中了10环的是（ ）
A．甲：平均数为8，极差为7B．乙：中位数为8，平均数为7
C．丙：平均数为8，方差为2D．丁：中位数为8，众数只有7
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，若，则k= ．
13．在正方体中，为棱的中点，动点在正方形内运动，若，则直线与所成角的余弦值为 ．
14．如图，某课外实践活动小组为了测量某山的高度，在山脚A处测得山顶P的仰角为，然后由A沿倾斜角为的斜坡向上走100米到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若点A，B，C，P，Q在同一铅垂面内，则山的高度为 米．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的1个红球和1个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，观察其颜色后放回.甲连续摸球2次，乙连续摸球4次.用a表示摸出红球，b表示摸出白球.
(1)分别写出甲和乙的摸球试验的样本空间及其包含样本点的个数；
(2)设A=“甲恰有一次摸出红球”，B=“乙恰有两次摸出红球”，比较与的大小．
16．如图，在四棱锥中，为正三角形，，，E为PD的中点，．
(1)证明：平面PAD；
(2)若，，求四棱锥的体积．
17．某校随机抽取了100名同学参加“奥运会”知识竞赛，统计得到参加竞赛的每名同学的成绩（单位：分），然后按40,50，50,60，…，90,100分成6组，并绘制成下面的频率分布直方图，已知．
(1)求a，b的值，并估计参加竞赛的同学成绩的第30百分位数；
(2)已知成绩在80,90内所有同学的平均成绩为84分，方差为6，成绩在90,100内所有同学的平均成绩为98分，方差为10，求成绩在内所有同学的平均成绩和方差．
18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围；
(3)设点P在边AC上，且存在实数，使得，说明线段BP与的关系．
19．《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正切值；
(3)求与平面所成角的正弦值．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数的概念，即可求解.
【详解】由复数z满足，可得，
所以复数的虚部为.
故选：D.
2．【答案】B
【分析】由诱导公式和正弦和角公式得，确定，得到答案.
【详解】，
故，
因为，所以，故，所以，
故为直角三角形.
故选：B
3．【答案】C
【分析】设出单位向量，建立等式求解即可.
【详解】设该单位向量为，由题可知 解得 或，即或
故选：C
4．【答案】A
【分析】在直线上任取一点， 过点作直线，在直线上任取一点，过点作直线，直线可以确定一平面，
记该平面为，直线可以确定一平面，记该平面为，讨论点的位置，确定满足条件的平面的个数.
【详解】在直线上任取一点，由已知，
过点作直线，
因为，故直线可以确定一平面，记该平面为，
在直线上任取一点，由已知，
过点作直线，
因为，故直线可以确定一平面，记该平面为，
当点或时，过点不存在与都平行的平面，
当点且时，如图，
过点作，
因为直线，所以直线，可以确定一个平面，记为平面，
因为，，，
所以直线，同理可证，
此时过点有且仅有一个平面与都平行.
故选：A.
5．【答案】D
【分析】由事件包含关系的定义判断选项A；由对立事件互斥事件的定义判断选项BC，由是否成立判断选项D.
【详解】事件A与B包含没有包含关系，A选项错误；
事件，所以A与B不互斥也不对立，BC选项错误；
，，，
，所以事件A与B相互独立，D选项正确.
故选：D.
6．【答案】A
【分析】估计圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍求出圆柱和圆锥的高，求出圆柱的表面积.
【详解】设圆柱和圆锥的高均为，
因为圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍，
所以，
所以，所以圆柱的表面积为.
故选：A.
7．【答案】C
【分析】根据众数、平均数、中位数的计算公式，结合图（1）（2）可以判断出的大小,，进而判断A、B、C、D.
【详解】对于A，图（1）中，众数靠近0这一侧，因此平均数会受到较大值的影响而表现为平均数在中位数的右侧，因此，故A错误；
对于B，图（2）中，众数靠近最大的数这一侧，因此平均数会受到较小值的影响而表现为平均数在中位数的左侧，因此，故B错误；
对于C、D，因为，，由不等式的性质有，故C正确，D错误.
故选：C.
8．【答案】B
【分析】取的中点，的中心为，连接，，，计算即可得出为等腰直角三角形，所以再应用正四棱锥的体积即得,最后应用球O的体积公式计算.
【详解】如图，
取的中点， 的中心为，连接，,
设球的半径为，则，
球与正四棱锥的各棱均相切，则底面正方形棱长为，
过作，则，，
，为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
所以
正四棱锥的体积为，
所以，
球的半径为，则球O的体积为
故选:B
9．【答案】BC
【分析】根据向量相等、平行、加法、减法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】AB选项，若，则，
所以四边形是平行四边形，而E，F分别为AD，BC的中点，
所以，但与是否垂直无法判断，
所以A选项错误，B选项正确.
CD选项，连接，
则，
所以C选项正确，D选项错误.
故选：BC
10．【答案】ACD
【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数模的运算公式、复数模的几何意义逐一判断即可,
【详解】A：，
所以，，因此本选项结论正确；
B：，
，显然不一定恒成立，
因此本选项结论不正确；
C：
，因此本选项结论正确；
D：，则在复平面内对应的点形成的轨迹为：
以原点为圆心，以及半径的两个圆所夹的圆环，包括圆环的边界，
故在复平面内对应的点所在区域的面积为，因此本选项结论正确，
故选：ACD
11．【答案】AD
【分析】由平均数、极差、方差、中位数、众数的定义逐项判断即可.
【详解】对于甲：如果最高命中9环，由极差可知，最低为2环，由于平均数为8，所以总和为48环，48-9-2=37，其它4环最高36环，所以甲一定命中了10环.
对于乙：6次出现的点数为：3,6,8,8,8,9满足中位数为8，平均数为7，故错误；
对于丙：6次出现的点数为：7,8,8,8,8,9满足平均数为8，方差为2，故错误
对于丁：由于中位数为8，所以6次出现的点数按从小到大顺序可能为，或或；
对于，由于众数只有7，所以不能都是9，故，
对于不符合众数只有7，
对于也不符合众数只有7，故丁一定命中了10环.
故选：AD
12．【答案】
【分析】由平面向量共线的坐标表示求解即可.
【详解】向量，，若，
所以，所以.
故答案为：
13．【答案】
【分析】取的中点，得到，把异面直线与所成角，转化为与所成角，在直角中，即可求解.
【详解】如图所示，取的中点，连接，
因为分别为的中点，可得，
所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，设，
在正方体中，因为，且平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
在直角中，由，可得，
所以.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】作出辅助线，设，表达出其他各边，利用列出方程，求出，从而求出山的高度
【详解】由题意得，，
过点作⊥于点，则，
则，，则，
设，则，
由于为等腰直角三角形，故，即，
解得，
故.
故答案为：
15．【答案】(1)答案详见解析
(2)
【分析】（1）利用列举法写出样本空间并求得样本点的个数.
（2）通过计算与，从而作出判断.
【详解】（1）甲摸球试验的样本空间：，样本点个.
乙摸球试验的样本空间：
，
，
样本点个.
（2）由（1）得，所以.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）为的中点，可证，由，得，又，可得证平面PAD；
（2）为的中点，证明是四棱锥的高，体积公式计算四棱锥的体积．
【详解】（1）分别为的中点，连接，
又E为PD的中点，则有且，
由已知，，
所以，，四边形为平行四边形，有，
为正三角形，，则，
又，平面，，
所以平面PAD；
（2），则有，又，
平面，，所以平面，
平面，则，
为的中点，有，
平面，，所以平面，
即是四棱锥的高，
，则，
得四棱锥的体积.
17．【答案】(1)，参加竞赛的同学成绩的第30百分位数估计为
(2)，
【分析】（1）根据在频率直方图所有小矩形的面积之和为，结合第30百分位数的性质进行求解即可；
（2）根据由部分平均数、方差求总体平均数和方差的公式进行求解即可.
【详解】（1）因为在频率直方图所有小矩形的面积之和为，
所以，
于是有，
因为，
所以参加竞赛的同学成绩的第30百分位数估计在60,70，设为，
于是有；
（2）成绩在80,90和成绩在90,100内的学生人数之比为，
所以有，
.
18．【答案】(1)
(2)
(3)线段BP为的中线
【分析】（1）由正余弦展开式结合特殊角的三角函数求出即可；
（2）由三角形的面积公式结合正弦定理得到，再由三角恒等变换化简得到面积为，最后结合锐角三角形中角的范围和正弦函数的值域求出即可；
（3）作出图形，结合正弦定义和平面向量的基本定理求解即可；
【详解】（1）因为，
所以，
整理可得，
又，
所以，
（2）为锐角三角形，且，，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
因为为锐角三角形，，
所以，所以，
所以，
所以，
（3）如图：
作于，取的中点，连接，
由图可得，
所以，
所以与共线，
又点P在边AC上，也在上，
所以重合，
所以线段BP为的中线.
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)二面角的正切值为；
(3)与平面所成角的正弦值为.
【分析】（1）先证明，根据线面平行判定定理证明平面，再证明平面，根据面面平行判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求二面角的余弦值，根据同角关系求结论；
（3）求直线的方向向量和平面的法向量，由线面夹角公式求结论.
【详解】（1）由已知，，
因为为棱的中点，为棱的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
连接，因为，，
因为为棱的中点，为棱的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，，
又，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面.
（2）由已知平面，平面，
所以，又，
所以直线两两垂直，
以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
A3,0,0，，，，，
所以，，
设平面的法向量为m=x,y,z，则
，所以，
取，可得，，
所以为平面的一个法向量，
又为平面的 法向量，
设二面角的平面角为，
所以，
观察可得，所以，
所以，
所以二面角的正切值为.
（3）因为，，
所以，
因为平面平面，为平面的一个法向量，
所以为平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为.
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
3．已知平面向量，则与垂直的单位向量的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
4．已知为异面直线，则过空间一点且与都平行的平面有（ ）
A．个或个B．个C．个D．无数个
5．若古典概型的样本空间，事件，，则（ ）
A．B包含AB．A与B对立C．A与B互斥D．A与B相互独立
6．已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为2，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍，则圆柱的表面积为（ ）
A．8πB．12πC．16πD．24π
7．如图，图（1）和图（2）均为“单峰”频率分布直方图，图（1）的中位数和平均数分别为a，b，图（2）的中位数和平均数分别为c，d，则（ ）
A．B．C．D．
8．设正四棱锥的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
10．设复数，，a，b，c，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则，
B．若，则
C．若，则
D．若，则在复平面内对应的点所在区域的面积为
11．甲、乙、丙、丁四名射击运动员各射击6次，记录每次射击命中的环数（均取整数，最低为1，最高为10），根据统计结果，可以判断一定命中了10环的是（ ）
A．甲：平均数为8，极差为7B．乙：中位数为8，平均数为7
C．丙：平均数为8，方差为2D．丁：中位数为8，众数只有7
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，若，则k= ．
13．在正方体中，为棱的中点，动点在正方形内运动，若，则直线与所成角的余弦值为 ．
14．如图，某课外实践活动小组为了测量某山的高度，在山脚A处测得山顶P的仰角为，然后由A沿倾斜角为的斜坡向上走100米到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若点A，B，C，P，Q在同一铅垂面内，则山的高度为 米．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的1个红球和1个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，观察其颜色后放回.甲连续摸球2次，乙连续摸球4次.用a表示摸出红球，b表示摸出白球.
(1)分别写出甲和乙的摸球试验的样本空间及其包含样本点的个数；
(2)设A=“甲恰有一次摸出红球”，B=“乙恰有两次摸出红球”，比较与的大小．
16．如图，在四棱锥中，为正三角形，，，E为PD的中点，．
(1)证明：平面PAD；
(2)若，，求四棱锥的体积．
17．某校随机抽取了100名同学参加“奥运会”知识竞赛，统计得到参加竞赛的每名同学的成绩（单位：分），然后按40,50，50,60，…，90,100分成6组，并绘制成下面的频率分布直方图，已知．
(1)求a，b的值，并估计参加竞赛的同学成绩的第30百分位数；
(2)已知成绩在80,90内所有同学的平均成绩为84分，方差为6，成绩在90,100内所有同学的平均成绩为98分，方差为10，求成绩在内所有同学的平均成绩和方差．
18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围；
(3)设点P在边AC上，且存在实数，使得，说明线段BP与的关系．
19．《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正切值；
(3)求与平面所成角的正弦值．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数的概念，即可求解.
【详解】由复数z满足，可得，
所以复数的虚部为.
故选：D.
2．【答案】B
【分析】由诱导公式和正弦和角公式得，确定，得到答案.
【详解】，
故，
因为，所以，故，所以，
故为直角三角形.
故选：B
3．【答案】C
【分析】设出单位向量，建立等式求解即可.
【详解】设该单位向量为，由题可知 解得 或，即或
故选：C
4．【答案】A
【分析】在直线上任取一点， 过点作直线，在直线上任取一点，过点作直线，直线可以确定一平面，
记该平面为，直线可以确定一平面，记该平面为，讨论点的位置，确定满足条件的平面的个数.
【详解】在直线上任取一点，由已知，
过点作直线，
因为，故直线可以确定一平面，记该平面为，
在直线上任取一点，由已知，
过点作直线，
因为，故直线可以确定一平面，记该平面为，
当点或时，过点不存在与都平行的平面，
当点且时，如图，
过点作，
因为直线，所以直线，可以确定一个平面，记为平面，
因为，，，
所以直线，同理可证，
此时过点有且仅有一个平面与都平行.
故选：A.
5．【答案】D
【分析】由事件包含关系的定义判断选项A；由对立事件互斥事件的定义判断选项BC，由是否成立判断选项D.
【详解】事件A与B包含没有包含关系，A选项错误；
事件，所以A与B不互斥也不对立，BC选项错误；
，，，
，所以事件A与B相互独立，D选项正确.
故选：D.
6．【答案】A
【分析】估计圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍求出圆柱和圆锥的高，求出圆柱的表面积.
【详解】设圆柱和圆锥的高均为，
因为圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍，
所以，
所以，所以圆柱的表面积为.
故选：A.
7．【答案】C
【分析】根据众数、平均数、中位数的计算公式，结合图（1）（2）可以判断出的大小,，进而判断A、B、C、D.
【详解】对于A，图（1）中，众数靠近0这一侧，因此平均数会受到较大值的影响而表现为平均数在中位数的右侧，因此，故A错误；
对于B，图（2）中，众数靠近最大的数这一侧，因此平均数会受到较小值的影响而表现为平均数在中位数的左侧，因此，故B错误；
对于C、D，因为，，由不等式的性质有，故C正确，D错误.
故选：C.
8．【答案】B
【分析】取的中点，的中心为，连接，，，计算即可得出为等腰直角三角形，所以再应用正四棱锥的体积即得,最后应用球O的体积公式计算.
【详解】如图，
取的中点， 的中心为，连接，,
设球的半径为，则，
球与正四棱锥的各棱均相切，则底面正方形棱长为，
过作，则，，
，为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
所以
正四棱锥的体积为，
所以，
球的半径为，则球O的体积为
故选:B
9．【答案】BC
【分析】根据向量相等、平行、加法、减法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】AB选项，若，则，
所以四边形是平行四边形，而E，F分别为AD，BC的中点，
所以，但与是否垂直无法判断，
所以A选项错误，B选项正确.
CD选项，连接，
则，
所以C选项正确，D选项错误.
故选：BC
10．【答案】ACD
【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数模的运算公式、复数模的几何意义逐一判断即可,
【详解】A：，
所以，，因此本选项结论正确；
B：，
，显然不一定恒成立，
因此本选项结论不正确；
C：
，因此本选项结论正确；
D：，则在复平面内对应的点形成的轨迹为：
以原点为圆心，以及半径的两个圆所夹的圆环，包括圆环的边界，
故在复平面内对应的点所在区域的面积为，因此本选项结论正确，
故选：ACD
11．【答案】AD
【分析】由平均数、极差、方差、中位数、众数的定义逐项判断即可.
【详解】对于甲：如果最高命中9环，由极差可知，最低为2环，由于平均数为8，所以总和为48环，48-9-2=37，其它4环最高36环，所以甲一定命中了10环.
对于乙：6次出现的点数为：3,6,8,8,8,9满足中位数为8，平均数为7，故错误；
对于丙：6次出现的点数为：7,8,8,8,8,9满足平均数为8，方差为2，故错误
对于丁：由于中位数为8，所以6次出现的点数按从小到大顺序可能为，或或；
对于，由于众数只有7，所以不能都是9，故，
对于不符合众数只有7，
对于也不符合众数只有7，故丁一定命中了10环.
故选：AD
12．【答案】
【分析】由平面向量共线的坐标表示求解即可.
【详解】向量，，若，
所以，所以.
故答案为：
13．【答案】
【分析】取的中点，得到，把异面直线与所成角，转化为与所成角，在直角中，即可求解.
【详解】如图所示，取的中点，连接，
因为分别为的中点，可得，
所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，设，
在正方体中，因为，且平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
在直角中，由，可得，
所以.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】作出辅助线，设，表达出其他各边，利用列出方程，求出，从而求出山的高度
【详解】由题意得，，
过点作⊥于点，则，
则，，则，
设，则，
由于为等腰直角三角形，故，即，
解得，
故.
故答案为：
15．【答案】(1)答案详见解析
(2)
【分析】（1）利用列举法写出样本空间并求得样本点的个数.
（2）通过计算与，从而作出判断.
【详解】（1）甲摸球试验的样本空间：，样本点个.
乙摸球试验的样本空间：
，
，
样本点个.
（2）由（1）得，所以.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）为的中点，可证，由，得，又，可得证平面PAD；
（2）为的中点，证明是四棱锥的高，体积公式计算四棱锥的体积．
【详解】（1）分别为的中点，连接，
又E为PD的中点，则有且，
由已知，，
所以，，四边形为平行四边形，有，
为正三角形，，则，
又，平面，，
所以平面PAD；
（2），则有，又，
平面，，所以平面，
平面，则，
为的中点，有，
平面，，所以平面，
即是四棱锥的高，
，则，
得四棱锥的体积.
17．【答案】(1)，参加竞赛的同学成绩的第30百分位数估计为
(2)，
【分析】（1）根据在频率直方图所有小矩形的面积之和为，结合第30百分位数的性质进行求解即可；
（2）根据由部分平均数、方差求总体平均数和方差的公式进行求解即可.
【详解】（1）因为在频率直方图所有小矩形的面积之和为，
所以，
于是有，
因为，
所以参加竞赛的同学成绩的第30百分位数估计在60,70，设为，
于是有；
（2）成绩在80,90和成绩在90,100内的学生人数之比为，
所以有，
.
18．【答案】(1)
(2)
(3)线段BP为的中线
【分析】（1）由正余弦展开式结合特殊角的三角函数求出即可；
（2）由三角形的面积公式结合正弦定理得到，再由三角恒等变换化简得到面积为，最后结合锐角三角形中角的范围和正弦函数的值域求出即可；
（3）作出图形，结合正弦定义和平面向量的基本定理求解即可；
【详解】（1）因为，
所以，
整理可得，
又，
所以，
（2）为锐角三角形，且，，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
因为为锐角三角形，，
所以，所以，
所以，
所以，
（3）如图：
作于，取的中点，连接，
由图可得，
所以，
所以与共线，
又点P在边AC上，也在上，
所以重合，
所以线段BP为的中线.
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)二面角的正切值为；
(3)与平面所成角的正弦值为.
【分析】（1）先证明，根据线面平行判定定理证明平面，再证明平面，根据面面平行判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求二面角的余弦值，根据同角关系求结论；
（3）求直线的方向向量和平面的法向量，由线面夹角公式求结论.
【详解】（1）由已知，，
因为为棱的中点，为棱的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
连接，因为，，
因为为棱的中点，为棱的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，，
又，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面.
（2）由已知平面，平面，
所以，又，
所以直线两两垂直，
以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
A3,0,0，，，，，
所以，，
设平面的法向量为m=x,y,z，则
，所以，
取，可得，，
所以为平面的一个法向量，
又为平面的 法向量，
设二面角的平面角为，
所以，
观察可得，所以，
所以，
所以二面角的正切值为.
（3）因为，，
所以，
因为平面平面，为平面的一个法向量，
所以为平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为.
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