河南省周口市恒大中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

这是一份河南省周口市恒大中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题，共16页。试卷主要包含了复数，设向量，满足，，则的最小值为，设复数，已知向量，，，则m的值为，若直线平面，平面，直线，则，已知，其中为虚数单位，则等内容，欢迎下载使用。

试卷考试时间：120分钟 满分：150

第I卷（选择题）
单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．复数（ ）．
A．B．C．D．
2．设向量，满足，，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
3．设复数（是虚数单位），则复数（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，，，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．若直线平面，平面，直线，则 ( )
A．或与异面B．
C．与异面D．与相交
6．2020年11月5日—11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区.现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
8．的内角所对的边分别为，且，则的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．如图，在正方体中，P为棱上的动点，平面，Q为垂足，则（ ）．
A．
B．平面截正方体所得的截面可能为三角形
C．当P位于中点时三棱锥的外接球半径最大
D．线段的长度随线段的长度增大而增大
10．如图(a)，边长为2的正方形 AP₁P₂P₃中，B，C分别是P₁P₂，P₂P₃的中点，AP₂交BC于D，现沿AB，AC及BC把这个正方形折成一个四面体，如图(b)，使P₁，P₂，P₃三点重合，重合后的点记为P，则有（ ）

A．平面PAD⊥平面PBC
B．四面体 P-ABC 的体积为
C．点P到平面ABC的距离为
D．四面体 P-ABC 的外接球的体积为
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，三条中线相交于点.已知，，的平分线与相交于点，则（ ）
A．边上的中线长为
B．内切圆的面积为
C．与面积之比为3:2
D．到的距离为
第II卷（非选择题）
填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到的是 .（填入条件的序号即可）
①；②；③；④.
13．如图，在四边形中，设，，，则可用表示为 ．
14．如图所示，四边形ABCD是梯形，AB//CD，且AB//平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝ .
四、解答题（共5小题，共计77分.）
15．（13分）化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
16．（15分）如图，有一块三棱锥形木块ABCD，其中面ABC内有一点P．
(1)若要在面ABC内过点P画一条线段EF，其中点E在线段AB上，点F在线段AC上，且满足EF与AD垂直，该如何求作？请在图中画出线段EF并说明画法，不必证明．
(2)经测量，AB＝AC＝6cm，AD＝5cm，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝ ，若P恰为三角形ABC的重心，EF为（1）中所求线段，求三棱锥ADEF的体积．
17．（15分）如图，公园有一块边长为2的等边的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（1）设（），，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请说明理由．
18．（17分）已知平面向量，，.
(1)若，求；
(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围.
19．（17分）某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩（单位：分）按照，，…，分成七组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求这次竞赛成绩平均数的估计值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率.
参考答案：
1．B
【解析】根据复数的乘法、除法的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】根据复数的运算法则，可得.
故选：B.
2．B
【分析】先求出，再根据已知求出，即得的最小值.
【详解】由题得，
因为，所以，
因为，
所以当时，，
所以的最小值为1.
故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量的模和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．A
【分析】利用复数除法、复数乘法运算求得正确答案.
【详解】.
故选：A
4．B
【分析】向量垂直的定义及向量的数量积坐标公式计算即可．
【详解】因为，，，故
故选：B
5．B
【分析】过作平面交平面于直线，作平面交平面于直线，由线面平行的性质可证得，由平行关系可得，又线面平行性质可得，由此可得结论.
【详解】
过作平面交平面于直线，
，，，；
过作平面交平面于直线，同理可得：；
，又，，，
，，，又，.
故选：B.
6．C
【解析】先分别对五个专区作标记，列举出总的基本事件，以及满足“选择的两个专区中包括人工智能及软件技术专区”所对应的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.
【详解】分别记“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术” 五个专区为、、、、；
从这五个专区中选择两个专区参观，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个基本事件；
选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区（即专区），所对应的基本事件有：，，，，共个基本事件；
因此，选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是.
故选：C.
7．B
【分析】根据复数的乘、除法运算可得，进而，结合复数的乘法计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，
所以.
故选：B
8．B
【分析】根据正弦定理可得，再结合同角商数关系，平方关系，最后求得.
【详解】由得，又，所以，从而，所以.
故选：B
9．ABD
【分析】对于A，求证即可判断；对于B，由等边即可判断；对于C，由外接球半径和（的外接圆半径为r）即可判断；对于D，由和随AP的增大而变小可判断.
【详解】选项A，连接，CQ，则，，又因为，，
所以，故，选项A正确；
选项B，当P位于点A时，截面为三角形，选项B正确；
选项C，平面DCP，记的外接圆半径为r，
则外接球半径，由正弦定理得，
当P位于AB中点时，，则，
，选项C错误；
选项D，为定值，
过P作于点M，过M作，则，
如图，可知随AP的增大而变小，
所以由为定值可知，随AP的增大而增大，
故选项D正确．
故选：ABD.
10．ABD
【分析】
利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理判断A；利用锥体的体积公式结合等积变换可判断BC；利用三棱锥的外接球即是以2， 1， 1为棱长的长方体的外接球判断D.
【详解】
对于A，由已知可得AP⊥PB， AP⊥PC， PC∩PB=P，PC， PB⊂平面，
则⊥平面，又平面，故平面平面，故A正确；
对于B，因为PA， PB， PC两两垂直，则VP-ABC=VA-PBC=13×12×1×1×2=13，故B正确；
对于C，设到平面ABC的距离为，∵S△ABC=22-12×1×2-12×1×2-12×1×1=32，
VP-ABC=13×32×h=h2=13，解得．点P到平面ABC的距离为，故C错误；
对于D，因PA， PB， PC两两垂直，故三棱锥的外接球即是以2， 1， 1为棱长的长方体的外接球，
故球的半径为4+1+12=62，则球的体积为43π×64×62=6π，故D正确，
故选：ABD．
11．BC
【分析】如图，取边上的中点，则边上的中线为，两边同时平方结合向量数量积即可判断A；设内切圆的为，由，求出即可判断B；由角平分线定理，，可判断C；到的距离为，求出代入可判断D.
【详解】如下图，取边上的中点，
则边上的中线为，则，
，又因为，
则，则.
故A不正确；
因为，设内切圆的为，
，则，则，
内切圆的面积为：，故B正确.
对于C，由角平分线定理知：，所以C正确；
对于D，因为，在三角形和三角形中，
，则，解得：，
所以，所以，
所以，
所以到的距离为：，故D不正确.
故选：BC.
12．①③（或②④）
【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系对选项一一分析即可得出答案.
【详解】选①②，
若，，则可能，不正确；
选①③，
若，，则，正确；
选①④，
若，，则可能，不正确；
选②③，
若，，则可能，不正确；
选②④，
若，，则，正确；
选③④，
若，，则可能，不正确；
故答案为：①③（或②④）
13．
【解析】利用向量的加法与减法法则，在图形中寻找回路即可得到答案.
【详解】.
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量的加法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.
14．
【分析】利用线面平行的性质定理可得，由梯形的中位线即可求解.
【详解】四边形ABCD是梯形，AB//CD，
且AB//平面α，平面平面，
则，
又点M是AD的中点，
所以是梯形的中位线，
所以.
故答案为：
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）按照向量的加法、减法法则计算即得.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
16．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）在AD上任取一点Q；过点Q在平面ABD内作AD的垂线，交AB 于G；过点Q在平面ACD 内作AD的垂线，交AC于H；连接GH，若GH过点P，则GH就是所求线段EF；
若GH不过点P，则过点P作GH的平行线，与AB、AC相交即得线段EF.
（2）取BC中点M，连MA、MD，由余弦定理求得，根据线面垂直的判定证得面MAD，由已知得三棱锥A-DEF的体积为三棱锥A-BCD体积的，根据棱锥的体积公式可求得答案.
【详解】（1）解：如图，在AD上任取一点Q；
过点Q在平面ABD内作AD的垂线，交AB 于G；过点Q在平面ACD 内作AD的垂线，交AC于H；连接GH，若GH过点P，则GH就是所求线段EF；
若GH不过点P，则过点P作GH的平行线，与AB、AC相交即得线段EF.
（2）解：取BC中点M，连MA、MD，因为P为三角形ABC的重心，故P在AM上，且AP=2PM.由题意知，AB＝AC＝6cm，AD＝5cm，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝ ，
所以，所以，，故面MAD，
于是，故三棱锥A-DEF的体积为三棱锥A-BCD体积的，
由题意得，
在中，，所以，所以
所以.
17．（1）；（2）DE为AB中线或AC中线，理由见解析．
【分析】（1）在中，利用余弦定理有，依题意，即，，由此求得；（2）如果DE是水管，利用基本不等式可求得最小值为，此时，即，且时，DE最短．如果DE是参观线路，注意到在时值相等，根据对钩函数的性质可知最大值为.
【详解】（1）在中，，即，①
又，即，所以，②
②代入①得：（），所以（）．
（2）如果DE是水管，，
当且仅当，即时“=”成立，故，
即，且时，最短；
如果是参观线路，记，由对勾函数的性质可知：函数在上递减，在上递增，
故，所以.
即DE为中线或中线时，DE最长．
18．(1)或
(2)
【分析】（1）根据垂直关系可构造方程求得，由向量模长的坐标运算可求得结果；
（2）根据向量共线的坐标表示可求得的值，根据夹角为锐角可构造不等式组求得结果.
【详解】（1），，解得：或，
当时，，；
当时，，；
综上所述：或10
（2）若共线，则，解得：或，
当时，，，此时同向；
当时，，，此时反向；
若与的夹角为锐角，则，解得：且，
的取值范围为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用频率之和为1，列式求解，利用平均数的计算公式求解即可；
（2）根据分层抽样确定第六组和第七组分别抽取的人数，利用古典概型的概率公式计算.
【详解】（1），解得，
这次竞赛成绩平均数的估计值为.
（2）不低于85分的三组频率之比为，用分层随机抽样的方法抽取12人，应从第六组和第七组分别抽取4人和2人，
设第六组的4人为，，，，第七组的2人为甲、乙，
于是从这6人中任选2人的所有情况为：甲乙，甲，甲，甲，甲，乙，乙，乙，乙，，，，，，，共15种，
其中甲、乙至少有1人被选中的有9种，
所以至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
B
B
C
B
B
ABD
ABD
题号
11









答案
BC