黑龙江省伊春市2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题

这是一份黑龙江省伊春市2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题，共17页。试卷主要包含了 本试卷满分 150分， 圆， 已知直线等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1. 本试卷满分 150分。考试用时 120分钟。
2. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡指定区域内。写在本试卷上无效。
一、单选题：(本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的)
1. 直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b, 则( )
A. a=2,b=5 B. a=2,b=-5
C. a=-2,b=5 D. a=-2,b=-5
2. 已知椭圆的左、右焦点分别为F₁， F₂，P为C上一点，若△F₁PF₂的面积为3，则C的短轴长为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 已知直线交椭圆于A,B两点,且线段AB的中点为(-1,1),则直线的斜率为( )
A. -2 C. 2 D.
4. 已知椭圆上的点Ｍ到该椭圆一个焦点Ｆ的距离为２，Ｎ是ＭＦ的中点，Ｏ为坐标原点，那么线段 ON的长是( )
A. 2 B. 4 C. 8 D.
5. 圆: x²+y²=4与直线：x+(λ-1)y-λ=0交于M、 N，当|MN|最小时， λ的值为( )
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
6.已知椭圆的左、右焦点分别为F₁,F₂,点P是椭圆C上的动点,=|PF₁|,=|PF₂|,则的最小值为( )
B.
7. 已知直线： 2x+y+m=0上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆(C: x²+y²-2x-4y+2=0分别切于点 M， N，且∠MAN＝120°，则实数m的取值范围是（）
8. 点A(2,0)到直线的距离为1,且直线与圆C:(x+2)²+(y-3)²=r²(r>0)相切，若这样的有四条，则r的取值范围是( )
A. (0, 2) B. (0, 3) C. (0, 4) D. (0, 5)
二、多选题：(本题共4小题，每小题5分，共20分. 全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选得0分)
9. 已知直线:(a+1)x+ay+2=0, :ax+(1-a)y-1=0,则( )
A. 恒过点(2,-2) B. 若//，则
C. 若⊥,则 a²=1 D.当0≤a≤1时,不经过第三象限
10. 已知圆²+y²=4上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是( )
A. -y+1=0 D. =-1
11. 设椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 离心率
B. |PF₁|·|PF₂|的最小值为4
C. △PF₁F₂面积的最大值为
D. 以线段 F₁F₂为直径的圆与直线相切
12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A， B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”. 在平面直角坐标系xOy中, A(-2,0), B(4,0), 点P满足设点P的轨迹为C, 则( ).
A. 轨迹C的方程为(x+4)²+y²=9
B. 在x轴上存在异于A， B的两点D， E，使得
C. 当A, B, P三点不共线时, 射线PO是∠APB的角平分线
D. 在C上存在点M, 使得|MO|=2|MA|
三、填空题： (本题共4小题，每小题5分，共20分.)
13．已知直线：ax+2y―3＝0，：3x+(a+1)y―a=0，若⊥则a的值为.
14. 已知点M(2,0), 椭圆与直线y=k(x+2)交于点A,B, 则△ABM 的周长为.
15. 已知椭圆C的左、右焦点分别为F₁，F₂，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x-5)²+(y-3)²=1.上任意一点, 则|MN|-|MF₁|的最小值为.
16. 已知A、 B是椭圆长轴的两个端点，P、 Q是椭圆上关于轴对称的两点, 直线 AP, BQ的斜率分别为k₁, k₂(k₁k₂≠0).若椭圆的离心率为则|k₁|+|k₂|的最小值为.
四、解答题：(共70分，解答需要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)
17. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴在轴上，长轴的长为12，离心率为
(2)经过点P(0,5)和
18. 已知圆G过三点A(1,3), B(4,2), C(1,-7).
(1)求圆G的方程;
(2)设直线经过点M(6，1)，且与圆Ｇ相切，求直线的方程.19. 已知圆x²+y²-4x+2y=0, x²+y²-2y-4=0.
(1)求过两圆交点的直线方程；
(2)求过两圆交点，且圆心在直线2x+4y-1=0上的圆的方程.
20.在平面直角坐标系xOy中, 已知点B(2,0)、 C(-2,0),设直线AB、 AC的斜率分别为k₁、k₂,且记点A的轨迹为E.
(1)求E的方程;
(2)若直线:y=x+1与E相交于P、Q两点, 求△POQ的面积.
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，斜率不为0的直线过点F₁，与椭圆交于A，B两点，当直线垂直于轴时， |AB|=3，椭圆的离心率
(1)求椭圆M 的方程;
(2)在轴上是否存在点P，使得为定值？若存在，求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由.
22. 已知椭圆的离心率为且点P(2,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程：
参考答案：
1．B
【分析】根据截距的定义进行求解.
【详解】中，令，解得，令，，
故.
故选：B
2．D
【分析】利用椭圆的定义，余弦定理以及面积公式即可求解.
【详解】由椭圆的定义知，所以，
又，即，
两式相减，得，因为的面积为，
即，所以，解得，所以短轴长为6．
故选:D．
3．D
【分析】设出A，B坐标，列出坐标所满足的方程，将两方程相减得到l的斜率与线段AB中点坐标的关系，由此求解出直线l的斜率.
【详解】设，，因为A，B都在椭圆上，
所以，两式相减，得，
得，
又因为线段AB中点坐标为，，，
所以，
故选：D.
4．B
【分析】不妨设点M到该椭圆左焦点F的距离为2，设右焦点为，作出图象，根据椭圆的定义可求出，再根据中位线定理即可求出线段ON的长.
【详解】不妨设点M到该椭圆左焦点F的距离为2，如图所示：
设椭圆左焦点为F，右焦点为.
∵，，∴.
又∵为MF的中点，O为的中点，
∴.
故选：B.
5．B
【分析】首先求出直线恒过定点，依题意当时弦最小，求出直线的斜率，即可得解.
【详解】直线：，即，令，解得，
即直线恒过定点，又，所以点在圆内，

所以当时弦最小，因为，所以，即，解得.
故选：B
6．A
【分析】根据椭圆定义得，再利用基本不等式求解最值即可.
【详解】因为点P是椭圆上的动点，，，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
故选：A.
7．C
【分析】根据题意求出，转化为直线上存在与C距离为2的点，利用点到直线距离建立不等式求解即可.
【详解】由可得，
圆心，半径，
过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，
连接，如图，
由知，，又，
所以，
由题意，只需直线上存在与圆心距离为的点即可，
即圆心到直线的距离，
解得，
故选：C
8．C
【分析】直线到点的距离为1等价于直线与圆相切，问题转化为两圆公切线有四条，两圆外离.
【详解】由直线到点的距离为1，所以直线与圆相切，
直线与圆，圆都相切且这样的有四条，
所以圆与圆外离，圆心距大于半径之和，
即，解得，
故选：C.
9．BD
【分析】对于A，由直接求解即可；对于BC，根据，时系数系数间的关系解决即可；对于D，分类讨论即可.
【详解】对于选项A：直线的方程可化为：，
令得：，
所以直线恒过点，
故选项A错误，
对于选项B：若时，显然不平行，
若时，显然不平行，
所以若，则，
且，
解得，
故选项B正确，
对于选项C：若，则，
解得，
故选项C错误，
对于选项D：若直线不经过第三象限，
当时，直线，符合题意，
当时，则，解得，
综上，，故选项D正确，
故选：BD.
10．BCD
【分析】将圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，转化为圆心到直线的距离，根据圆心到直线距离公式计算即可.
【详解】由题知，圆，圆心为，半径为，
因为圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，
所以圆心到直线的距离，
对于A，圆心为到直线的距离，故A错误；
对于B，圆心为到直线的距离，故B正确；
对于C，圆心为到直线的距离，故C正确；
对于D，圆心为到直线的距离，故D正确；
故选：BCD
11．CD
【分析】根据椭圆的方程求，由此可求离心率，判断A，根据椭圆的定义和基本不等式求的最值，判断B，根据椭圆的性质，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，即可判断C项，利用圆心到直线的距离即可判断D项.
【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
因为椭圆的方程为，
故，所以离心率，故A错误；
由椭圆的定义可知，
所以，当且仅当时等号成立；
所以的最大值为4，B错误；
由已知，，
当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，
最大值为，故C正确；
以线段为直径的圆的方程为，圆心为，半径为，
又直线方程为，故圆心到直线的距离为，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故D正确.
故选：CD.
12．BC
【分析】利用求轨迹方程的方法确定轨迹的方程可判断A；设，，由两点间的距离公式结合轨迹的方程可判断B；由角平分线的定义可判断C；设，由求出点的轨迹方程与联立，可判断D.
【详解】对于A，在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，化简得，
即，所以A错误；
对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
化简得，
由轨迹的方程为，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正确；
对于C，当，，三点不共线时，，
可得射线是的角平分线，所以C正确；
对于D，若在上存在点，使得，可设，
则，化简得，
与联立，方程组无解，故不存在点，所以D错误．
故选：BC．
13．/-0.4
【分析】由两一般式直线垂直条件可得答案.
【详解】因两直线互相垂直，则，得.
故答案为：.
14．
【分析】由题意可得点为椭圆的右焦点，直线过椭圆的左焦点，再根据椭圆的定义即可得解.
【详解】解：由椭圆，
得点为椭圆的右焦点，
直线过定点，是椭圆的左焦点，
则的周长为.
故答案为：.
15．
【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案.
【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，
故，

故，当且仅当共线时取等号，
所以
，
当且仅当共线时取等号，
而,
故的最小值为，
故答案为：
16．
【分析】设出点，，，的坐标，表示出直线，的斜率，作和后利用基本不等式求最值，利用离心率求得与的关系，则答案可求．
【详解】解：设，，，，，，，，
，，
，
当且仅当，即时等号成立．
，是椭圆长轴的两个端点，，是椭圆上关于轴对称的两点，，，即，
的最小值为，
椭圆的离心率为，
，即，得，
的最小值为．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由长轴长及离心率求椭圆参数，进而求参数，即可写出椭圆方程
（2）分椭圆焦点在轴还是上，设出椭圆的方程，代入两点坐标即可求解.
【详解】（1）由已知可知焦点在轴上，故设椭圆方程为 ，
则，得：，从而.
所以椭圆的标准方程为
（2）当焦点在轴上时，设椭圆方程为，
带入两点得： ，解得不合题意，舍去，
当焦点在轴上时，设陏圆方程为，
代入两点得：，解得，
所以椭圆方程为
18．(1)
(2)或
【分析】(1)利用三点坐标可确定圆方程;(2)利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径建立等式即可求解.
【详解】（1）设圆G的方程为，
因为圆过三点，，，
所以 ，解得,
圆G的方程为.
（2）由(1)知圆是以为圆心，以为半径的圆，
（i）若直线的斜率不存在，
则此时的方程为到圆心的距离为，满足与圆相切;
（ii）若直线的斜率存在，
则设直线方程为 即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，
解得,所以切线方程为.
综上，切线方程为或.
19．(1)
(2)
【分析】（1）两圆方程直接作差即可整理得到所求直线方程；
（2）将过两圆交点的直线方程与圆的方程联立可得交点坐标；采用待定系数法，代入交点坐标和圆心所满足的直线方程可构造方程组求得圆心和半径，由此可得圆的方程.
【详解】（1）将两圆方程作差得：，即，
过两圆交点的直线方程为.
（2）由得：或，
即两圆交点的坐标为和；
设过两圆交点的圆的方程为，
则，解得：，
过两圆交点的圆的方程为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）设点，利用斜率公式结合已知条件化简可得出曲线的方程；
（2）设、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，求出，以及原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】（1）解：设点，则，，
因为，则，整理得，
由题意可知，所以的方程.
（2）解：设、，由，消去得到，
则，所以，
则，
点到直线的距离为，
因此，的面积为.
21．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据椭圆离心率、通径长、列方程即可求得的值，从而求得椭圆方程；
（2）设，，，直线，联立直线与椭圆得交点坐标关系，利用数量积的坐标运算，检验是否为定值.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，①
将代入椭圆方程得：，解得，所以，②
又，③
综合①②③解得：，，，
所以椭圆M的方程为．
（2）存在．
设，，，直线，

联立方程：，得，
所以，，
，，
，
当，即时，为定值，
所以存在点，使得为定值．
22．(1)；
(2)2.
【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可；
（2）设出直线l方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理表示出弦长和点P到直线AB的距离为，进而写出面积的表达式，求最值即可.
【详解】（1）由题意得，所以；又点在椭圆C上，所以；解得，，
所以椭圆C的标准方程为：；
（2）设直线l的方程为，，
联立方程得：，由，得且，且，
所以，弦长
又P到直线AB的距离为，
所以
当且仅当时取等号，所以面积的最大值为2．