广东省清远市阳山县2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题含解析

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一、单选题，8个小题，每小题5分共40分.
1. 点关于平面对称的点的坐标是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果.
【详解】由空间直角坐标系的性质可知，
点关于平面对称的点的坐标是.
故选：A
2. ，，若，则（）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量共线求出m，n的值作答.
【详解】因为，，，则存在，使得，
即，于是，解得，
所以.
故选：C
3. 某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是（）
A. 至多投中一次B. 两次都投中
C. 只投中一次D. 两次都没投中
【答案】D
【解析】
【分析】根据对立事件的定义判断.
【详解】至少投中1次的反面是没有一次投中，因此选项D正确．
故选：D．
4. 已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（）
A. -3或1B. 3或
C. -3D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的模的坐标表示结合即可求得x的值，再根据，列出方程，即可求得y，从而可得答案.
【详解】因为，所以，又，所以，
所以，所以，
所以当时，，则，当时，，则，
所以或.
故选：A.
5. 在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案.
【详解】设，
因为与的中点相同，所以，
解得，所以.
故选：A.
6. 利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率．甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负，若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．利用计算机产生1~5之间的随机整数，约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜，由于要比赛3局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数如下：
354 151 314 432 125 334 541 112 443 534 312 324 252 525 453 114 344 423 123 243，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分析随机数中表示甲获胜的数目，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜有：151，125，112，312，252，114，123，共7种情况，
所以可估计甲选手最终赢得比赛的概率为，
故选：B
7. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（）
AB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由空间向量夹角的坐标表示求，再根据点到直线距离为即可求结果.
【详解】由题设，则，
所以，而，
故到l的距离为.
故选：C
8. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得，进而结合二次函数性质求得，利用三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】以点为空间直角坐标系的原点，分别以，，所在直线为，，轴，
建立空间直角坐标系，
则点，，所以．
因为，，所以,
因为，所以，所以．
因为，所以，
所以,因为，
所以当时，．
因为正方体中，平面，平面,故，
所以，
故选：B．
二、多选题，4个小题，每小题5分共20分，有错选不得分，少选且正确得2分.
9. 已知向量，，则下列说法正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算并判断.
【详解】对于A，向量，，则，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，由数量积的定义得，C错误；
对于D，，所以，D正确.
故选：AD.
10. 设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（）
A. ，，两两不共线，但两两共面
B. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使得
C. ，，能构成空间另一个基底
D. 若，则实数，，全为零
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可.
【详解】因为构成空间的一个基底，所以，，两两不共线，但两两共面，故A正确；
对空间任一向量，总存在有序实数组，使得，故B正确；
因为，所以，，共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误；
根据空间向量基本定理可知，若，则实数，，全为零，故D正确；
故选：ABD
11. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（）
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果与互斥，那么
D. 如果与相互独立，那么
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐个分析判断即可
【详解】对于选项A，设一个盒子里有标号为 1 到 10 的小球，从中摸出一个小球，记下球的编号，
记事件A=“球的编号是偶数”，事件B=“球的编号是1，2，3” ，事件C=“球的编号是奇数” 满足，但是选项A错误；
对于选项B，如果，那么，选项B正确；
对于选项C，如果与互斥，那么，所以选项C正确；
对于选项D，如果与相互独立，那么
，所以选项D正确.
故选：BCD
12. 如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（）
A.
B. 存在一点，使得
C. 三棱锥的体积为
D. 若，则的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设点，其中，，利用空间向量法判断A、B、D，根据锥体的体积公式判断C.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、，
设点，其中，，
对于A选项，，，则，
所以，故A正确；
对于B选项，，，
若，则，解得，不符合题意，
所以不存在点，使得，故B错误；
对于C选项，，点到平面的距离为，
所以，故C正确；
对于D选项，，
若，则，可得，
由，可得，
所以，
当且仅当时取等号，故D错误；
故选：AC
三、填空题，4个小题，每小题5分共20分.
13. 从长度为的条线段中任取条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果.
【详解】从条线段中任取条，则有，，，，，，，，，，共个基本事件；
其中三条线段能够成三角形的基本事件有：，，，共个；
所求概率.
故答案为：.
14. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的模是___________
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，求出投影向量，再求出模作答.
【详解】向量，，则，，
因此向量在向量上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量的模是.
故答案为：
15. 已知，，，若，，三向量共面，则实数等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意设，列方程组能求出结果．
【详解】解：，，，，4，，，2，，且，，三向量共面，
设，
，2，，，，
，
解得，，．
故答案为：．
16. 点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，计算出正四面体内切球的半径，由此可求得，由空间向量数量积的运算性质得出，进而可知当点为正四面体的顶点时，取得最大值，即可得解.
【详解】如下图所示：
正四面体的棱长为，其内切球球心为点，连接并延长交底面于点，
则为正的中心，且平面，
连接并延长交于点，则为的中点，且，
，，
平面，平面，，则，
面积为，
正四面体的体积为，
设球的半径为，则，
，，
，，
，
当点位于正四面体的顶点时，取最大值，
因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查空间向量数量积的最值的计算，同时也考查了正四面体内切球半径的计算，考查计算能力，属于较难题.
四、解答题，6个小题，第17题10分，第18-22每题12分，共70分.
17. ，，.
（1）若，求.
（2）若，求的值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得，即可求出，再根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算计算可得.
【小问1详解】
解：因为，且，
所以，即，即，即，
所以，
所以.
【小问2详解】
解：因为，且，
所以，解得，
所以，
所以，，
所以.
18. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.求下列事件的概率.
（1）“两个骰子的点数之和是5”；
（2）“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用列举法，结合古典摡型概率计算公式，即可求解；
（2）利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
【小问1详解】
解：由抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个不同的结果，
因为“两个骰子的点数之和是5”，可得事件，
所以，所以.
【小问2详解】
解：因为“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”，
可得事件，即，
所以.
19. 如图，已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点.
（1）求证：；
（2）求的值.
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解计算即可.
【小问1详解】
连接，
因为ABCD是正四面体，所以是等边三角形，
又因为点E是AD的中点，所以，
而平面，因此平面，
而平面，因此；
【小问2详解】
因为点E是AD的中点，
所以有，
由（1）同理可证明，即，
因为ABCD是正四面体，
所以是等边三角形，且边长是2，
因此.
20. 近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数BMI=衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<23.9为正常：24≤BMI<27.9为偏胖；BMI>28为肥胖．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI的样本数据的80%分位数；
（2）现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到2人的BMI值不在同一组的概率．
【答案】（1），80%分位数为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积和为求出，再根据频率分布直方图求百分位数步骤求解即可；
（2）先按照分层抽样在，分别抽取人和人，再应用古典概型计算可解.
【小问1详解】
根据频率分布直方图可知组距为，所有矩形面积和为，
所以，解得
因为，，三组频率之和为，
而，，，，四组的频率之和为，
故样本数据的80%分位数在内，设为，
则，解得，
即该社区居民身体质量指数的样本数据80%分位数为.
【小问2详解】
由频率分布直方图可知的频数为，的频数为，
所以两组人数比值为，
按照分层抽样抽取人，则在，分别抽取人和人，
记这组两个样本编号为，这组编号为，
故从人随机抽取人所有可能样本的构成样本空间：
设事件“从6个人中随机抽取2人，抽取到2人的值不在同一组”，
则
故，即从这6个人中随机抽取2人，抽取到2人的值不在同一组的概率为.
21. 如图，在直三棱柱中，，．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后利用它们的数量积为零可证异面直线的垂直.
（2）求出平面的法向量和的坐标后可求点面距.
【小问1详解】
建立直角坐标系，其中为坐标原点.
依题意得，
因为，所以.
【小问2详解】
设是平面的法向量，
由得
所以，令，则，
因为，所以到平面的距离为.
22. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点，且．记的中点为，若在线段上（异于、两点）．
（1）若点是中点，证明：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取线段的中点，连接、，然后证明四边形为平行四边形，从而，从而平面.
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出线段的长.
【小问1详解】
证明：取线段的中点，连接、，
因为，，因为为的中点，则且，
因为为的中点，则且，
因为、分别为、的中点，所以，且，
所以，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，所以，平面.
【小问2详解】
连接，
因为，，为的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，且，
因为，则，又因为，则，
因为，为的中点，则，
因为，，，所以，，
所以，，则，
又因，、平面，所以，平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、，
设，则，
，，设平面的法向量为，
则，取，可得，
，若直线与平面所成角的正弦值为，
则，整理可得，
因为，解得，故.