2023-2024学年广东省清远市高二下学期期末教学质量检测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省清远市高二下学期期末教学质量检测数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.通过计算样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数r，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是( )
A. r=0.93B. r=0.82C. r=0.04D. r=−0.05
2.以下求导计算正确的是( )
A. (sinπ6)′=csπ6B. ( x)′=2 xC. (lnx)′=1xD. (e2x)′=e2x
3.某市高二数学统考,满分为150分.假设学生考试成绩X~N(100,102),如果从高到低按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩分为A,B,C,D四个等级,则A等级分数线大概为（）(参考数据:若X~N(μ,δ2),则P(μ-δ≤X≤μ+δ)≈0.6827,P(μ-2δ≤X≤μ+2δ)≈0.9545,P(μ-3δ≤X≤μ+3δ)≈0.9973)
A. 134B. 120C. 116D. 110
4.曲线f(x)=−2x3+1在点(1,−1)处的切线方程为( )
A. 6x+y+5=0B. 6x+y−5=0C. 5x−y−6=0D. 5x+y−4=0
5.生活经验告诉我们，儿子身高与父亲身高是线性相关的.有人调查了5位学生的身高和其父亲的身高，得到的数据如表：
并利用相关知识得到儿子身高y关于父亲身高x的经验回归方程为y=1.2x+a.根据该经验回归方程，已知某父亲身高为175cm，预测其儿子身高为( )
A. 176cmB. 177cmC. 178cmD. 179cm
6.在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为X，则X的方差D(X)=( )
A. 1.5B. 7.5C. 20.5D. 37.5
7.甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为23，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是( )
A. 3281B. 827C. 1681D. 12
8.现要对三棱柱ABC−A1B1C1的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有( )
A. 264种B. 216种C. 192种D. 144种
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示：
则下列选项中正确的是( )
A. q=0.6B. q=0.4C. E(X)=1.58D. D(X)=0.5636
10.已知函数f(x)=x3−3x+4，x∈[0,2]，则下列选项中正确的是( )
A. f(x)的值域为[2,6]
B. f(x)在x=1处取得极小值为2
C. f(x)在[0,2]上是增函数
D. 若方程f(x)=a有2个不同的根，则a∈[2,4]
11.现有数字0，1，1，1，2，3，4，5，下列说法正确的是( )
A. 可以组成600个没有重复数字的六位数
B. 可以组成288个没有重复数字的六位偶数
C. 可以组成3240个六位数
D. 可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=ex−ex+2024的单调递减区间为 ．
13.在x(x+y)5的展开式中，含x3y3项的系数为 ．
14.若函数f(x)=ax2+lnxx有两个极值点，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名;接受乙种疗法的患者中治愈的有85名．
(1)根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表(单位：人)
并依据小概率值α=0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好;
(2)根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
16.(本小题12分)
如图，在正四棱锥P−ABCD中．
(1)求证：BD⊥PC;
(2)若PA=AB=2 2，求平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”．
(1)若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为X，求X的分布列及数学期望;
(2)若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率．
18.(本小题12分)
设函数f(x)=12ae2x−(a+1)ex+x．
(1)当a=0时，求f(x)在[−1,1]上的最大值;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)若a>0，证明f(x)只有一个零点．
19.(本小题12分)
若各项为正的无穷数列{an}满足：对于∀n∈N∗，lnan+1−lnan=d，其中d为非零常数，则称数列{an}为指形数列;若数列{cn}满足：m+n=2k(m,n,k∈N∗，且m≠n)时，有cm+cn>2ck，则称数列{cn}为凹形数列．
(1)若an=10n，判断数列{an}是不是指形数列?若是，证明你的结论，若不是，说明理由;
(2)若a1=e，证明指形数列{an}也是凹形数列;
(3)若指形数列{an}是递减数列，令a1=ed，bn=a2n−1，n∈N∗，求使得i=1nbi≥89⋅ed1−e2d成立的最小正整数n0．
答案简析
1.A
【简析】解：当r>0时，样本数据正相关，
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强．
故选A．
2.C
【简析】解：A. (sinπ6)′=0，故A错误；
B.( x)′=x12′=12x−12=12 x，故B错误；
C.(lnx)′=1x，故C正确；
D.(e2x)′=2e2x，故D错误．
故选C．
3.D
【简析】解：因为P(X≥110)=1−P(100−10≤X≤100+10)2≈1−0.68272≈0.16,
所以A等级分数线约为110,
故选D.
4.B
【简析】解：∵f(x)=−2x3+1，
∴f′(x)=−6x2，
∴曲线在点(1,−1)处的切线的斜率为：
k=f′1=−6，
∴切线方程为：y+1=−6×(x−1)，
即：6x+y−5=0
5.C
【简析】解：由表可知x=166+169+170+172+1735=170，
y=168+170+171+175+1765=172，
将样本中心(170,172)代入回归方程172=1.2×170+a，解得a=−32，
所以当x=175时，y=1.2×175−32=178．
故选C．
6.D
【简析】解：设该同学答对题目数量为Y,
则Y~B(8,0.25),
故D(Y)=8×0.25×0.75=1.5,
因为X=5Y,
所以D(X)=D(5Y)=52×1.5=37.5,
故选D.
7.B
【简析】解：依题意知甲通过4局比赛获得胜利，
则甲在前3局比赛中应该胜2局输1局，并且在第4局比赛中取得胜利，
故其胜利的概率为P=C32×(23)2×13×23=827．
故选B．
8.A
【简析】解：分两类情况完成：
(1)使用3种颜色，第1步选色有C43=4种，
第2步涂ABC三个顶点有A33=6种，
第3步涂A1B1C1三个顶点有2种，
所以共有C43×A33×2=48种;
(2)使用4种颜色，第一步涂ABC三个顶点有A43=24种，
第2步涂第4种颜色有3种，
第3步涂剩下的两个顶点有3种，
所以共有A43×3×3=216种．
所以共有48+216=264种．
故选A．
9.BCD
【简析】解：依题意知q2+ 0.5−q+ 0.74= 1，解得q= 0.4或0.6，
又因为0≤0.5−q≤1，所以q= 0.6舍去，故q=0.4，所以B正确，A错误;
因为E(X)=0×0.16+1×0.1+2×0.74=1.58，所以C正确;
因为D(X)=02×0.16+12×0.1+22×0.74−(1.58)2=0.5636，所以D正确．
故选BCD．
10.AB
【简析】解：因为f′(x)=3x2−3，
所以令f′(x)>0得1令f′(x)<0得0≤x<1，
所以f(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增.C错误;
又因为f(0)=4，f(1)=2，f(2)=6，所以f(x)的值域为[2,6]，A正确;
由上面计算可知，f(x)在x=1处取得极小值为2，B正确;
在同一坐标系中画出函数f(x)=x3−3x+4，x∈[0,2]及y=a的图象，
可知a∈(2,4]，D错误，
故选AB．
11.ACD
【简析】解：对于A，没有重复数字的六位数应由0，1，2，3，4，5组成，共有C51A55=600个，A正确;
对于B，没有重复数字的六位偶数有两类情况，
末位为0的有A55=120个，
末位不为0的有C21C41A44=192个，
共有120+192=312个，B错误;
对于C，没有重复数字的六位数有600个，
有两个1的六位数有A64+C43C51A53=1560个，
有三个1的六位数有C43A63+C42C51A52=1080个，
共有600+1560+1080=3240个，C正确;
对于D，先排0，2，3，4，5，首位为0的有A44个，首位不为0的有C41A44个，
再插入1，1，1，共有A44C52+C41A44C63=240+1920=2160个，D正确，
故选ACD．
12.(−∞,1)
【简析】解：函数f(x)=ex−ex+2024，则f′(x)=ex−e，
令f′(x)=ex−e<0，解得x<1，
所以函数f(x)的单调递减区间为(−∞,1)．
故答案为：(−∞,1)．
13.10
【简析】解：二项式(x+y)5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅x5−r⋅yr，
令r=3
则xT4=xC53⋅x2⋅y3
所以含x3y3项的系数为C53=10，
故答案为：10．
14.0,16e4
【简析】解：fx 的定义域为 0,+∞ ，
f′x=2ax+1−lnxx2 ，
令 f′x=0 ，得 a=lnx−12x3 ．
令 gx=lnx−12x3 ，则 g′x=4−3lnx2x4 ．
令 g′x0=0 ，则 3lnx0=4 ，即 lnx0=43 ，即 x03=e4 ．
当 00,gx 单调递增；当 x>x0 时， g′x<0,gx 单调递减．
∴g(x)max=gx0=lnx0−12x03=43−12e4=16e4 ，
又当 x 趋近于0时， gx 趋近于 −∞ ；当 x 趋近于 +∞ 时， gx 趋近于0，
作出 gx 的草图如图，
由图可知，当 015.解：(1)根据所给数据，可得列联表(单位：人):
零假设H0:疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．
根据列联表中的数据，可得χ 2=200×(35×85−15×65)250×150×100×100≈10.667>7.879，
根据小概率值α=0.005的独立性检验，
我们推断出H0不成立，即认为疗法有差异，可知乙种疗法的效果比甲种疗法好．
(2)按照分层抽样，未治愈患者应抽取8×50200=2人，治愈患者应抽取8×150200=6人，
X的可能取值为0，1，2．
P(X= 0) =C20C62C82=1528，
P(X= 1) =C21C61C82=1228=37，
P(X= 2)=C22C60C82=128，
故X的分布列为
X的数学期望为E(X)=0×1528+1×37+2×128=12．
【简析】
(1)先完成列联表，由公式得出χ2，对照临界值表可得结论；
(2)易得X的可能取值为0，1，2，得出对应概率，可得X的分布列及数学期望．
16.(1)证明：如图，连接AC交BD于O，连接PO，
∵在正四棱锥P−ABCD中，PO⊥平面ABCD，
ABCD是正方形，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD，BD⊥AC．
又∵PO，AC⊂平面PAC，且PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．
∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC．
(2)解：∵在正四棱锥P−ABCD中，PO⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，
∴OB，OC，OP两两垂直.以O为原点，OB，OC，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
∵PA=AB=2 2，∴OB=OC=OP=2，
∴B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(−2,0,0)，P(0,0,2)，
则PC=(0,2,−2)，PD=(−2,0,−2)．
设平面CPD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则2y−2z=0−2x−2z=0，令x=1，得y=−1，z=−1，所以n=(1,−1,−1)，
又因为平面PBD的一个法向量为m=(0,1,0)，
所以有cs=1×(−1) 3=− 33，
所以平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值为|cs|= 33．

【简析】
(1)先得出BD⊥平面PAC，再由线面垂直的性质即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，得出平面CPD的一个法向量和平面PBD的一个法向量，利用空间向量求解即可．
17.解:(1)X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C30×(37)0×(47)3=64343,
P(X=1)=C31×(37)1×(47)2=144343,
P(X=2)=C32×(37)2×(47)1=108343,
P(X=3)=C33×(37)3×(47)0=27343,
​​​​​​​所以X的分布列为
由于X~B(3,37),所以X的数学期望为E(X)=3×37=97.
(2) 设事件A为“从乙同学的粽子中任取1个,取出的这个粽子是绿豆馅”,
事件B1为“从甲同学的粽子中取出的2个粽子都是蛋黄馅”,
事件B2为“从甲同学的粽子中取出的2个粽子都是绿豆馅”,
事件B3为“从甲同学的粽子中取出的2个粽子为1个蛋黄馅和1个绿豆饱，
则事件B1,B2,B3彼此互斥,
P(B1)=C42C72=621=27,P(B2)=C32C72=321=17,
P(B3)=C41C31C72=1221=47,P(A|B1)=27,
P(A|B2)=47,P(A|B3)=37,
所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
​​​​=27×27+17×47+47×37=2049,
所以取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率为2049.
【简析】
（1）易得X的可能取值为0,1,2,3,得出对应概率，可得X的分布列及数学期望;
（2）根据全概率公式可得结果.
18.解：(1)当a=0时，f(x)=−ex+x，则f′(x)=−ex+1，
x∈[−1,0)时，f′(x)>0;x∈(0,1]时，f′(x)<0．
∴x∈[−1,0)时，f(x)为增函数;x∈(0,1]时，f(x)为减函数．
∵f(0)=−1，∴当a=0时，f(x)在[−1,1]上的最大值为−1．
(2)∵f(x)=12ae2x−(a+1)ex+x，
∴f′(x)=ae2x−(a+1)ex+1=(aex−1)(ex−1)．
①当a≤0时，x∈(−∞,0)时有f′(x)>0，x∈(0,+∞)时有f′(x)<0，
故a≤0时，f(x)在(−∞,0)上为增函数，f(x)在(0,+∞)上为减函数;
②当a=1时，f′(x)=(ex−1)2≥0，则f(x)在R上为增函数;
③当00，在区间(0,−lna)上有f′(x)<0，
故当0 ④当a>1时，在区间(−∞,−lna)及(0,+∞)上有f′(x)>0，在区间(−lna,0)上有f′(x)<0，
故当a>1时，f(x)在(−∞,−lna)及(0,+∞)上为增函数，在(−lna,0)上为减函数．
(3)由(2)可知：
①当a=1时，f(x)在R上为增函数，且f(0)=−32，f(2)=12e4−2e2+2>0，
故当a=1时，f(x)在R上只有一个零点;
②当0故f(x)的极大值为f(0)=−12a−1<0，
且f(2a)=12ae2·2a−(a+1)e2a+2a=e2a(12ae2a−a−1)+2a．
令g(a)=12ae2a−a−1，a∈(0,1]，
则g′(a)=12e2a+a2e2a⋅(−2a2)−1=e2a(12−1a)−1<0，a∈(0,1]，
∴g(a)在(0,1]上为减函数．
∵g(1)=12e2−2>0，∴a∈(0,1)时，g(a)>0，即12ae2a−a−1>0，
f(2a)=e2a(12ae2a−a−1)+2a>0，
故当0 ③当a>1时，f(x)在(−∞,−lna)及(0,+∞)上为增函数，在(−lna,0)上为减函数，
故f(x)的极大值为f(−lna)=−(12a+lna+1)<0，
且f(a+1)=a2e2a+2−(a+1)ea+1+(a+1)=ea+1(a2ea+1−a−1)+(a+1)．
令ℎ(a)=a2ea+1−a−1，a∈[1,+∞)，且ℎ(1)=12e2−2>0，
则ℎ′(a)=a+12ea+1−1>0，则ℎ(a)在[1,+∞)上为增函数，
故a∈(1,+∞)时有ℎ(a)>ℎ(1)>0，即f(a+1)=ea+1(a2ea+1−a−1)+(a+1)>0，
故当a>1时，f(x)只有一个零点．
综上所述，当a>0时，f(x)只有一个零点．
【简析】
(1)当a=0时，求f′(x)，判断f′(x)正负，得函数单调性，可得函数最大值；
(2)求得f′(x)，讨论a及f′(x)，可得函数单调性；
(3)讨论a=1时，01时，函数零点，可证结论．
19.解：(1)数列{an}是指形数列．
当an=10n时，lnan=ln10n=nln10，lnan+1=ln10n+1=(n+1)ln10，
∴lnan+1−lnan=(n+1)ln10−nln10=ln10，
即数列{an}是指形数列．
(2)方法1:若{an}是指形数列，且a1=e，则lnan+1−lnan=d，
此时数列{lnan}是以lna1=1为首项，d为公差的等差数列，
∴lnan=1+(n−1)d，∴an=end+1−d．
当m+n=2k(m,n,k∈N∗，且m≠n)时，
∴am+an=emd+1−d+end+1−d≥2 emd+1−d⋅end+1−d=2 e(m+n)d+2−2d
=2e(m+n2)d+1−d=2ekd+1−d=2ak，
∵m≠n，∴等号不成立，∴am+an>2ak，
即若a1=e，则指形数列{an}也是凹形数列．
方法2:若{an}是指形数列，且a1=e，则lnan+1−lnan=d，
∴lnan+1−lnan=lnan+1an=d，∴an+1an=ed，
此时数列{an}是以a1=e为首项，ed为公比的等比数列，
∴an=e⋅(ed)n−1=end+1−d．
下同方法1．
(3)若{an}是指形数列，且a1=ed，则lnan+1−lnan=d，
此时数列{lnan}是以lna1=d为首项，d为公差的等差数列，
∴lnan=d+(n−1)d=nd，
∵该指形数列{an}是递减数列，
∴an>an+1即end>e(n+1)d，
∴ed<1得d<0，
∴bn=a2n−1=e(2n−1)d．
i=1nbi=b1+b2+b3+b4+⋯+bn=a1+a3+a5+a7+⋯+a2n−1
=ed+e3d+e5d+e7d+⋯+e(2n−1)d=ed−e(2n+1)d1−e2d≥89⋅ed1−e2d
∵d<0，e2d<1，∴1−e2nd≥89，∴nd≤−ln3，∴n≥−ln3d(d<0)．
令[−ln3d]等于不大于−ln3d的最大正整数，
当[−ln3d]=−ln3d时，n0=[−ln3d];
当[−ln3d]<−ln3d时;n0=[−ln3d]+1．
【简析】
(1)由题意和对数运算可得lnan+1−lnan=ln10为定值，结合新定义可得结论；
(2)由新定义和对数运算，分别从{lnan}为等差数列，或{an}为等比数列两种角度有两种证法；
(3)由题意和新定义可得bn=e(2n−1)d，由求和公式以及解不等式可得n≥−ln3d，可得n0．父亲身高x/cm
166
169
170
172
173
儿子身高y/cm
168
170
171
175
176
X
0
1
2
P
q2
0.5−q
0.74
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
乙
合计
α
0.15
0.10
0.05
0.005
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
7.879
10.828
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
35
65
100
乙
15
85
100
合计
50
150
200
X
0
1
2
P
1528
37
128
X
0
1
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