湖南省岳阳市汨罗市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

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1．平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
2．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
3．如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
4．若直线平分圆的周长，则等于（ ）
A．9B．C．1D．
【答案】B
5．已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
6．已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（ ）
A．20B．16C．18D．14
【答案】C
7．已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由直线过定点，
又由曲线，可得，
作出曲线与直线的图象，如图所示，
因为直线，可得，
又由，解得，
若直线与曲线有公共点，则，
即实数的取值范围为.
故选：B.
8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取点，推理证明得，把问题转化为求点M到定点B，N距离和的最小值作答.
【详解】如图，点M在圆上，取点，连接，有，
当点不共线时，，又，因此∽，
则有，当点共线时，有，则，
因此，当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取等号，
所以的最小值为.
故选：C
【点睛】方法点睛：圆及圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
二、多选题
9．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点B．若，则或
C．若，则或2D．当时，始终不过第三象限
【答案】ACD
【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确；
选项B：当时，，重合，故B错误；
选项C：当时，由，得或2，故C正确；
选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.
故选：ACD
10．在棱长为2的正方体中，点分别是线段，线段，线段上的动点（包含端点），且．则下列说法正确的有（ ）
A．平面
B．异面直线与所成的最大角为
C．三棱锥的体积为定值
D．当四棱锥的体积最大时，该四棱锥外接球的表面积为
【答案】ACD
【详解】选项A：连结，因为在正方体中，，
所以又易知四边形为矩形，所以所以，
又因为平面，平面，所以平面，故选项A正确.
选项B：又，因此，
因此直线MN与AP所成的角就是直线与AP所成的角，
当P为中点时，直线与AP所成的角最大为90°，故选项B错误.
选项C：观察可知，三棱锥的体积为，
故三棱锥的体积为定值，故选项C正确.
选项D：由正方体的性质可知，当四棱锥的体积最大时，与重合，
此时四棱锥的外接球为正方体的外接球，表面积为，故选项D正确.
故选：ACD.
11．已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
三、填空题
12．若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为 .
【答案】
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为
【答案】/0.5
14．已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是
【答案】或．
【详解】圆，则圆心为，半径，
设两切点为，则，因为，在中，，所以,
因此只要直线上存在点，使得即可满足题意．
圆心，所以圆心到直线的距离，解得或．
故答案为：或．

四、解答题
15．已知圆和圆．
(1)求证：圆和圆相交；
(2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)公共弦方程为，公共弦的长为.
【详解】（1）由题设，则，
，则，
所以，即圆和圆相交；
（2）由（1）结论，将两圆方程作差得，即公共弦方程为，
又到的距离，
所以公共弦的长为.
16．已知动点与两个定点，的距离的比是2.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设点，
动点与两个定点，的距离的比是，
，即，
则，
化简得，
所以动点的轨迹的方程为；
（2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
直线被曲线截得的弦长为，
圆心到直线的距离，
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
化简得，解得或，
此时直线的方程为或.
综上，直线的方程是或.
17．已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P为C上一点，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以，
则，，
由椭圆的定义可得，所以，
故椭圆的标准方程为.
（2）因为，
所以，所以，
所以.
18．在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；
（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
19．已知椭圆：的右焦点为F（1，0），短轴长为2.直线过点F且不平行于坐标轴，与有两个交点A，B，线段的中点为M.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段与椭圆交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由题意可知，，，
，，
椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，，，，
联立，消去得，，
则，
为线段的中点，，，
，
为定值．
（3）若四边形为平行四边形，则，
，，
点在椭圆上，，解得，即，
当四边形为平行四边形时，直线的斜率为．