湖南省岳阳市汨罗市第一中学2023-2024学年高三下学期5月期中数学试题(含答案)

这是一份湖南省岳阳市汨罗市第一中学2023-2024学年高三下学期5月期中数学试题(含答案)，共12页。试卷主要包含了已知向量，，若，则＝，已知函数f，已知椭圆C，已知复数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合A＝{x|x＞4}，B＝{x∈Z|3＜x＜7}，则A∩B＝（ ）
A．{4，6}B．{4，7}C．{4，5，6，7}D．{5，6}
2．已知集合A＝{1，2}，B＝{0，2}，若定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则集合A*B的所有元素之和为（ ）
A．6B．3C．2D．0
3．已知向量，，若，则＝（ ）
A．B．C．D．
4．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||＝（ ）
A．B．C．D．4
5．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在着陆场预定区域成功着陆，三名航天员安全出舱．神舟十三号返回舱外形呈钟形钝头体，若将其近似地看作圆台，其高为2.5m，下底面圆的直径为2.8m，上底面圆的直径为1m，则可估算其体积约为（ ）（π≈3.14）
A．3.6m3B．7.6m3C．22.8m3D．34.4m3
6．已知函数f（x）＝cs2x+cs3x，x∈（0，π），若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），则（ ）
A．B．x2＝2x1
C．D．
7．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去某地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（x1，y1），Q（﹣x1，﹣y1）在椭圆C上，其中x1＞0，y1＞0，若|PQ|＝2|OF2|，||，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．（0，]B．（0，﹣2]C．（，]D．（0，﹣1]
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
（多选）9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．|z|＝5
B．z的虚部为﹣1
C．z在复平面内对应的点在第一象限
D．z的共轭复数为2+i
（多选）10．如图，在边长为的等边三角形ABC中，圆D1与△ABC的三条边相切，圆D2与圆D1相切且与AB、AC相切，⋯，圆Dn+1与圆Dn相切且与AB、AC相切，设圆Dn的半径为rn，圆Dn的外切正三角形的边长为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列{rn}是首项为2，公比为的等比数列，且
C．当圆Dn的半径小于时，n的最小值为4
D．数列{rn}的前n项和小于3
（多选）11．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是
B．各项的系数和是64
C．第4项二项式系数最大
D．奇数项二项式系数和为﹣32
（多选）12．已知函数f（x）＝x（ex﹣a），则（ ）
A．当a＝1时，方程f′（x）＝x+ln（1+x）无解
B．当a＝2时，存在实数k使得函数h（x）＝f（x）+k（x+1）2有两个零点
C．若1+x+lnx≤f（x）恒成立，则a≤0
D．若方程[f′（x）]2﹣5f′（x）+6＝0有3个不等的实数解，则﹣2﹣e﹣2＜a＜﹣2
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．已知f（x）是定义域在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x2+2x，则f（﹣1）＝ ．
14．（x﹣）（2x+）5的展开式中，常数项为 ．
15．若直线2x﹣y+a＝0被圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1截得的弦长为2，则实数a的值为 ．
16．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体．在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，且下底面边长为4，上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为2，则该拟柱体的体积为 ．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．已知公差不为0的等差数列{an}中，a1＝1，且a2，a4﹣2，a6成等比数列．（10分）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，PB＝PD，，PA＝2．（12分）
（1）证明：PA⊥BD．
（2）若，求平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值．
19．为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%．（12分）
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？
（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：，其中n＝a+b+c+d．
20．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）（12分）
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．则这些折痕所围成的图形是一个椭圆．
现取半径为的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以向量的方向为x轴正方向，线段EF中点为原点建立平面直角坐标系．
（1）求折痕围成的椭圆Γ的标准方程；
（2）已知点M是圆x2+y2＝10上任意一点，过点M作椭圆Γ的两条切线，切点分别是A，B，求△MAB面积的最大值，并确定此时点M的坐标．
注：椭圆：上任意一点P（x0，y0）处的切线方程是：．
21．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且经过点．（12分）
（1）求椭圆C的方程；
（2）过A作两直线与抛物线y＝mx2（m＞0）相切，且分别与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2．
①求证：为定值；
②试问直线PQ是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
22．设（X，Y）的所有可能取值为（xi，yi），称pij＝P（X＝xi，Y＝yi）（i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，m）为二维离散随机变量（X，Y）的联合分布列，用表格表示为：（12分）
仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义，对于固定的j，若p•i＞0，则称为给定Y＝yi条件下的X条件分布列．
离散随机变量的条件分布的数学期望（若存在）定义如下：．
（1）设二维离散随机变量（X，Y）的联合分布列为
求给定X＝1条件下的Y条件分布列；
（2）设（X，Y）为二维离散随机变量，且E（X）存在．证明：E（X|Y＝yi）•p•；
（3）某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分钟可走出迷宫；第二个门通一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走70分钟也回到原处．假定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1-5：DACCB 6-8:CCC
二．多选题（共4小题）
9 BD．10：ABD．11：AC．12：BCD．
三．填空题（共4小题）
13．﹣3．14：﹣40．15：﹣1．16：．
四．解答题（共6小题）
17．
【解答】解：（1）由已知得，即，，
又因为a1＝1，所以d2﹣3d+1＝1，解得d＝3或d＝0（舍去），
所以an＝3n﹣2．
（2）由（1）得，因为，
所以{bn}是以b1＝1为首项，以27为公比的等比数列，
所以．
18．
【解答】解：（1）证明：连接AC，与BD交于点N，连接PN．
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵PB＝PD，N为BD的中点，∴BD⊥PN．
∵AC∩PN＝N，AC⊂平面PAC，PN⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
又PA⊂平PAC，∴PA⊥BD．
（2）解：过P作AC的垂线，垂足为O，由题意知PO⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，过O且平行于AB，AD的直线分别为x轴，y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
由，得AC＝4，因为PA＝2，，
所以PA⊥PC，则，AO＝1，CO＝3，
则，，，．
由，得，，．
设平面ADM的法向量为，
由，令，得，
由图可知是平面ABCD的一个法向量，
，
∴平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值为．
19．
【解答】解：（1）列联表如下：
K2＝≈0.4082＜2.072，
所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；
（2）由题意可知X的取值可能为0，1，2，3，
则P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
故X的分布列为：
数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．
20．
【解答】解：（1）设P（x，y）为椭圆上一点，
则，
所以P点轨迹是以F，E为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆的方程为，
所以，则b2＝a2﹣c2＝2，
所以椭圆方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，
切线MA方程：，切线MB方程：，两直线都经过点M，
所以，得，，
从而直线AB的方程是：，
由，得，
由韦达定理，得，
＝＝，
点M到直线AB的距离，
∴，其中，
令，则，∴，
令，则，
∴f（t）在上递增，
∴，即时，△MAB的面积取到最大值，此时点．
21．【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，
所以，
又过点，
则，
联立，解得，
所以椭圆C的方程为；
（2）①证明：设过与抛物线y＝mx2相切的直线方程为（k≠0），
联立，消去y得：，
则，化简可得k2﹣4mk﹣6m＝0，
设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，
则k1，k2是方程k2﹣4mk﹣6m＝0的两根，
由根与系数的关系可得，k1+k2＝4m，k1k2＝﹣6m，
则；
②设直线PQ：x＝ty+n，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，消去x得：（3t2+4）y2+6tny+3n2﹣12＝0，
由根与系数的关系可得，，，
又，
则，即，
化简可得，即4n2+24n＝9t2+48t+28，
所以4（n+3）2＝（3t+8）2．
所以或，
当时，，PQ恒过定点与A重合，舍去，
当时，，PQ恒过定点，
综上所述，直线PQ恒过定点．
22．【解答】解：（1）因为P（X＝1）＝p．＝0.6，所以用第一行各元素分别除以0.6，可得给定X＝1 条件下的Y条件分布列：
（2）二维离散随机变量（X，Y）的概率为P（X＝x，Y＝y3）＝p0（i＝1，2，…，n，
j＝1，2，…，m），由p甲＝p乙•p•
E（X）＝2x•p＝x•（2p）＝2（x•p）＝22（x•p∥），
于是，E（X）＝2{xi•pi}•pi，j＝（xipi+j）•pi，
由p1：x＝E（X|Y＝y1） 有，
（3）由（2）知，对于二维离散随机变量（X，Y），，
设他需要X小时离开迷宫，记Y表示第一次所选的门，事件{Y＝i}表示选第i个门，
由题设有，
因为选第一个门后30分钟可离开迷宫，所以E（X|Y＝1）＝30，
又因为选第二个门后50分钟回到原处，所以E（X|Y＝2）＝50+E（X），
又因为选第三个门后70分钟也回到原处，所以E（X|Y＝3）＝70+E（X），
所以，
解得E（X）＝150，即他平均要150分钟才能离开迷宫．
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12
女生
5
合计
30
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
YX
y1
y2
…
yk
…
ym
p
x1
p11
p12
…
p1k
…
p1m
p1•
x2
p21
p22
…
p2k
…
p2m
p2•
…
…
…
…
…
…
…
…
xk
pk1
pk2
…
pkk
…
pkm
Pk•
…
…
…
…
…
…
…
…
xn
pn1
pn2
…
pnk
…
pnm
pn•
p
p•1
p•2
…
p•k
…
p•m
1
YX
1
2
p•
1
0.1
0.3
0.2
0.6
2
0.05
0.2
0.15
0.4
0.15
0.5
0.35
1
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12
4
16
女生
9
5
14
合计
21
9
30
X
0
1
2
3
P
Y|X＝1
1
2
3
P