四川省南充市阆中中学2024-2025学年高三上学期开学检测数学试题（Word版附解析）

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（满分：150分 时间：120分钟）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集合，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或x≥1，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
2. 命题“”的否定形式是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据特称命题的否定为全称命题，写出答案.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“”的否定是：或，
故选：D．
3. 下列不等式正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，，且，则
【答案】D
【解析】
【分析】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确.
【详解】对于A，当，，时满足，但，所以A错误；
对于B，当，，时，满足，但，所以B错误；
对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误；
对于D，，所以，故D正确．
故选：D．
4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意可知函数的定义域为，即，
故，则的定义域为，
则对于，需满足，
即的定义域为，
故选：C
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先将等式变形化简，再分析推出关系可得.
【详解】，
又，即，
但，如时满足，但.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 已知，，且，则的最小值是（ ）
A. 4B. 5C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】将式子变形为，即可利用不等式求解，或者将式子变形为，结合不等式即可求解.
【详解】方法一：因为，故，解得，
故,当且仅当 ，即，时等号成立.
方法二：因，则，且，故，
故，当且仅当 ，
即，时等号成立.
故选：C.
7. 已知定义在上的函数对任意的实数都有，则 （ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先用赋值法求出，结合对数运算性质可解.
【详解】赋值法知道，，解得.
.
故选：C.
8. 已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，分别求出两函数在给定区间上的最小值，然后解不等式可求得答案.
【详解】因为，，使得，所以，
由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为在上递增，
所以，所以，解得，
即实数的取值范围是.
故选：B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.）
9. 已知函数，下列关于函数的结论正确的是（ ）
A. 的定义域是B. 的值域是
C. 若，则D. 的图象与直线有一个交点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的定义域、值域、由函数值求自变量、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，的定义域是，所以A选项错误.
B选项，当时，，
当时，，
所以的值域是，所以B选项正确.
C选项，由B选项的分析可知，若，
则，解得，所以C选项正确.
D选项，画出的图象如下图所示，由图可知，D选项正确.
故选：BCD
10. 已知关于不等式的解集为，则（ ）
A.
B. 点在第二象限
C. 的最大值为
D. 关于的不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的解与方程根的关系，一元二次不等式的解法求解.
【详解】的解等价于.
因为解集为，所以，故A正确.
因为，则点在第三象限，故B错误.
，
由于的最小值为，且，
则有最大值为，故C正确.
化为，由于，
则，解得，则D正确.
故选：ACD.
11. 已知，则下列关系正确的是（ ）
A. ea−b>1B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项.
【详解】因为，
所以，
对A选项，，所以，故A正确；
对B选项，，
所以，故B选项不正确；
对C选项，因为，，
所以，
而，故上述不等式等号不成立，则，故C不正确；
对D选项，
,故D正确.
故选：AD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若函数，则______ .
【答案】##
【解析】
【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算性质先计算的值，继而计算的值，即得答案.
【详解】由题意可得，故，
则.
故答案为：
13. 已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________ .
【答案】
【解析】
【分析】运用等式性质变形，结合基本不等式求出最小值，再解一元二次不等式即可.
【详解】，则同号，又，则只能同正.
，变形得到.
则.
当且仅当，且，则取等号.
由于恒成立，则，解得.
故答案为：.
14. 定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，满足f(x0)＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________．
【答案】(0,2)
【解析】
【分析】设x0为均值点，由已知可得：关于x0的方程＝f(x0)有实数根，整理求得：x0＝1或x0＝m－1，结合题意列不等式可得：－1＜m－1＜1，问题得解.
【详解】因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，
设x0为均值点，所以＝m＝f(x0)，
即关于x0的方程－＋mx0＋1＝m在(－1,1)内有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1.
所以必有－1＜m－1＜1，即0＜m＜2，
所以实数m的取值范围是(0,2)．.
【点睛】本题主要考查了新概念知识的理解及方程思思，还考查了转化能力及计算能力，属于难题．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，点为边上一点，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，由线线垂直可得平面，进而得，结合已知可证平面，可证结论；
（2）以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，点竖直向上方向所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，又是平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得二面角的余弦值.
【小问1详解】
如图所示，连接，，
因为底面为正方形，所以，
因为底面，底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
由题得，且，，平面，
则平面，又平面，
所以平面平面；
【小问2详解】
如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，点竖直向上方向所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，A2,0,0，，，，
因为，
所以由勾股定理可得，
即①，
且②，
联立①②两式，可得，点为上靠近点的三等分点，
所以，，，
由题意可知，是平面的一个法向量，
设平面一个法向量为，
有，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设二面角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
16. 设数列an前项和为，且满足.
（1）求an的通项公式；
（2）设，数列bn的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而可得通项公式；
（2）由（1）可知：，利用错位相减法可得，结合恒成立问题分析求解即可.
【小问1详解】
因为，
当时，由，解得；
当时，则，
两方程相减得，即；
可知数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知：，
则，
，
两式相减得，
可得，即.
因为，
可知是单调递增数列，且，可得，
因为对任意的恒成立，可得，解得，
所以的取值范围为.
17. 健身运动可以提高心肺功能，增强肌肉力量，改善体态和姿势，降低患病风险.这些好处吸引着人们利用空闲的时间投入到健身运动中，以改善自己的身体状况，增强一下体质.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表：
（1）试根据小概率值的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；
（2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取5人填写调查问卷.记抽取5人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：
，其中.
【答案】（1）周平均锻炼时长与年龄有关联
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）首先求出周平均锻炼时长少于4小时、不少于4小时的人数，依题意所有可能的取值为，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【小问1详解】
零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联.
由列联表中的数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.
由列联表中的数据计算，50岁以下周平均锻炼时长少于4小时和不少于4小时的频率分别为和，
由列联表中的数据计算，50岁以上（含50）周平均锻炼时长少于4小时和不少于4小时的频率分别为和，
因为，所以50岁以上（含50）周平均锻炼时长不少于4小时的比率比50岁以下高出15个百分点，
所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.
【小问2详解】
抽取的10人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，
不少于4小时的有人，
所以所有可能的取值为，
所以，，，，，
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
18. 已知椭圆C：（），，，，四点中恰有三点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，点为直线上任意一点，求证：直线，，的斜率成等差数列．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据对称点判断在椭圆的三点，然后可求得椭圆方程；
（2）设Mx1,y1，Nx2,y2，，设直线的方程为：，联立直线与椭圆的方程得，计算可得，，进而得出证得结果.
【小问1详解】
根据椭圆的对称性，必过点，点，必不过点，
代入点得，，代入点得，，
∴椭圆的标准方程为：；
【小问2详解】
证明：设Mx1,y1，Nx2,y2，，
设直线的方程为：，
由，得，
，，，
，
因为，所以，
所以直线，，的斜率成等差数列．
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）讨论函数的零点个数.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解.
（2）求出函数的导数，分类讨论函数的单调性，结合零点存在性定理及函数最值情况探讨零点即可.
【小问1详解】
当时，，求导得，则，而，
于是曲线在点处的切线为，即，
直线交轴于点，交于点，
所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积.
【小问2详解】
函数的定义域为，
求导得，
当时，则，函数在上单调递减，
显然，当时，，，
则，，，
于是，因此函数有唯一零点；
若，由得，
当时，，当时，，
则在单调递减，在单调递增，，
显然函数在上单调递增，
当时，，函数无零点；
当时，，函数有唯一零点；
当时，，当时，，，
则，，，于是，函数在上有一个零点，
当时，显然，，
，
因此，令，求导得，
即在上单调递增，，于是，
从而函数在上有一个零点，
于是当时，函数有两个零点，
所以当或时，函数有1个零点；当时，有两个零点；当时，无零点.
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
年龄
周平均锻炼时长
合计
周平均锻炼时间少于4小时
周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下
40
60
100
50岁以上（含50）
25
75
100
合计
65
135
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3
4
5