2025年中考数学一轮复习：函数基础知识 练习题汇编（含答案解析）

这是一份2025年中考数学一轮复习：函数基础知识 练习题汇编（含答案解析），共32页。
A．B．
C．D．
2．（2024•武汉模拟）函数（a是常数）的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，若以固定流量向蓄水池里注水，那么下列哪个图能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024•瑶海区三模）已知等腰直角△ABC的斜边AB＝4，正方形DEFG的边长为，把△ABC和正方形DEFG如图放置，点B与点E重合，边AB与EF在同一条直线上，将△ABC沿AB方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点A与点E重合时停止移动．在移动过程中，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积S与移动时间t（s）的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024春•莒南县期末）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024•礼县模拟）如图1，在△ABC中，CA＝CB，直线l经过点A且垂直于AB．现将直线l以1cm/s的速度向右匀速平移，直至到达点B时停止运动，直线l与边AB交于点M，与边AC（或CB）交于点N．设直线l移动的时间是x（s），△AMN的面积为y（cm2），若y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的周长为（ ）
A．16cmB．17cmC．18cmD．20cm
7．（2024春•贵州期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速
B．在一定温度范围内，温度越高，声速越快
C．当空气温度为30°C时，声音5s可以传播1740m
D．当温度升高到31°C时，声速为354m/s
8．（2024春•五华区期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024•广平县模拟）如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC＝BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024春•西城区期末）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P是边BC上的一个动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，连接DE．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ）
A．点P与B的距离为x，点P与C的距离为y
B．点P与B的距离为x，点D与E的距离为y
C．点P与D的距离为x，点P与E的距离为y
D．点P与D的距离为x，点D与E的距离为y
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋•赤峰月考）甲、乙两人在直线道路上同起点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发30秒，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲跑步时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙的速度为 米/秒．
12．（2024春•丰满区校级期中）如图1，已知长方形ABCD，动点P沿长方形ABCD的边以B→C→D的路径运动，记△ABP的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 ．
13．（2024春•阳新县期末）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽，水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满．
14．（2023秋•寿光市期末）根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入m＝3，n＝2时，则输出y的值是 ．
15．（2024•南山区校级开学）已知图形ABCDEF的相邻两边垂直，AB＝8cm．当动点M以2cm/s的速度沿图①的边框按B→C→D→E→F→A的路径运动时，△ABM的面积S随时间t的变化如图②所示．回答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）EF＝ cm；
（3）当点M运动到DE上时，请用含t的代数式表示出DM的长度，并直接写出S与t的关系式．
三．解答题（共5小题）
16．（2024春•商水县校级期中）为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7m3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m3的部分每立方米收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（m3），应交水费为y（元）．
（1）写出用水未超过7m3时，y与x之间的函数关系式；
（2）写出用水多于7m3时，y与x之间的函数关系式．
17．（2024•两江新区校级开学）如图，在长方用ABCD中，AB＝16，AD＝6，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿C→D方向运动，点Q从点D以每秒1个单位长度的速度沿D→A→B方向运动，当点P到达终点D时，点Q也随之停止运动，连接DQ．PQ．设点P的运动时间为x秒，△DPQ的面积为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数y的图象，请直接写出该函数图象与直线y'＝kx+16有两个交点时k的取值范围： ．
18．（2024春•三门县期末）如图1，是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变AC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（单位：cm）随AC的长度x（单位：cm）的变化规律如图2所示．
（1）指出图中点P坐标的实际意义；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）直接写出B，D之间距离的变化范围．
19．（2024•迎泽区开学）如图表示了甲、乙两辆汽车同时从A点出发，去往距离100千米的B点的行驶情况．
请根据图中信息回答问题．
（1）甲车出发 分钟后追上乙车，比乙车早 分钟到达B点．甲车平均每分钟行 千米，乙车后40分钟平均每小时行 千米．
（2）如果甲、乙两车同时到达B点，乙车驾驶员可以怎么做呢？（可以用文字或算式表示你的想法）．
20．（2024春•吉水县期末）如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，OA与BC分别表示它们与甲地距离s（千米）与时间t（小时）的关系，则：
（1）摩托车每小时走 千米，自行车每小时走 千米；
（2）自行车出发后多少小时，它们相遇？
（3）摩托车出发后多少小时，他们相距10千米？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024春•荔城区校级期中）亮亮每天都要坚持体育锻炼，某天他跑步到离家较近的体育场，在那里锻炼了一段时间，然后沿着原路散步走回家，下列最符合亮亮离家的距离s与时间t之间的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】C
【分析】根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断．
【解答】解：图象应分三个阶段，第一阶段：跑步到离家较近的体育场，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；
第二阶段：在那里锻炼了一段时间，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变．故A错误，不符合题意；
第三阶段：沿着原路散步走回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故D错误，不符合题意，并且这段的速度小于第一阶段的速度，则B错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查函数的图象，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的斜率判断运动的速度是解决本题的关键．
2．（2024•武汉模拟）函数（a是常数）的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】特殊化方法；函数及其图象；几何直观．
【答案】A
【分析】通过a的取值，判断函数的图象，退出即可．
【解答】解：当a＝0时，函数为y＝，函数的图象可能为D；
当a＝1时，函数为y＝，x＝0时，y＝0；x＞0时，y＞0；x＜0时，y＜0，函数的图象可能为B；
当a＝﹣1时，函数为y＝，此时x≠±1，函数的图象可能为C．
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象，掌握特殊值法解选择题是解题的关键．
3．如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，若以固定流量向蓄水池里注水，那么下列哪个图能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（ ）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】C
【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢．
【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢．
故选：C．
【点评】本题主要考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
4．（2024•瑶海区三模）已知等腰直角△ABC的斜边AB＝4，正方形DEFG的边长为，把△ABC和正方形DEFG如图放置，点B与点E重合，边AB与EF在同一条直线上，将△ABC沿AB方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点A与点E重合时停止移动．在移动过程中，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积S与移动时间t（s）的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】分别求出0＜t≤1，1＜t≤2，2＜t≤3，3＜t≤4的函数关系式即可判断．
【解答】解：①当0＜t≤1时，S＝＝t2，函数为开口方向向上的抛物线；
②当1＜t≤2时，如图，
设BC交FG于H，则FH＝BF＝，
则GH＝﹣BF＝2，
S＝S正方形DEFG﹣S△HMG＝＝﹣t2+4t﹣2，函数为开口方向向下的抛物线；
③当2＜t≤3时，S＝2；
④当3＜t≤4时，同理可得S＝＝﹣t2+6t﹣7，函数为开口方向向下的抛物线；
故只有选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意得出相应的函数关系式是解答本题的关键．
5．（2024春•莒南县期末）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】B
【分析】根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可．
【解答】解：当点P由点A向点D运动，即0＜x≤4时，y的值为0；
当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大；
当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变；
当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
6．（2024•礼县模拟）如图1，在△ABC中，CA＝CB，直线l经过点A且垂直于AB．现将直线l以1cm/s的速度向右匀速平移，直至到达点B时停止运动，直线l与边AB交于点M，与边AC（或CB）交于点N．设直线l移动的时间是x（s），△AMN的面积为y（cm2），若y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的周长为（ ）
A．16cmB．17cmC．18cmD．20cm
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据函数图象得到AB的值及△AMN的面积最大时AM的值，再结合勾股定理即可求解．
【解答】解：依题意得：直线l运动到点B停止，且当直线l运动到点C时，△AMN的面积最大，
∴AB＝8cm，且当AM＝4cm时，S△AMN＝6cm2，
∵l⊥AB，
∴S△AMN＝AM•MN，
∴AM＝4cm时，MN＝MC＝3cm，
在Rt△AMC中，CA＝＝＝5（cm），
∵CA＝CB，
∴C△ABC＝CA+CB+AB＝5+5+8＝18（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是动点问题的函数图象、勾股定理，解题关键是掌握如何从图象中获取信息．
7．（2024春•贵州期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速
B．在一定温度范围内，温度越高，声速越快
C．当空气温度为30°C时，声音5s可以传播1740m
D．当温度升高到31°C时，声速为354m/s
【考点】函数的表示方法；常量与变量．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】D
【分析】根据自变量、因变量的定义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．其定义是在一个变化过程种，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是因变量，也是函数．
【解答】解：A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，正确，不符合题意；
B．在一定温度范围内，温度越高，声速越快，正确，不符合题意；
C．当空气温度为30°C时，声音5s可以传播1740m，正确，不符合题意；
D．当温度升高到40°C时，声速为354m/s，错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的理解，函数的计算，读懂题意，正确处理信息是解题的关键．
8．（2024春•五华区期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】函数的概念．
【专题】函数及其图象；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据函数的定义，在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，即一一对应，即可求解．
【解答】解：根据函数定义中一一对应关系，
只有D，当x＞0，x取一个确定的值时，y有两个数值与x对应，故D不能表示y是x的函数．
故选：D．
【点评】本题考查的是函数的定义，其核心是：函数y和自变量x是一一对应关系．
9．（2024•广平县模拟）如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC＝BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】数形结合．
【答案】D
【分析】分别延长AE，BF交于点H，则可证得四边形EPFH为平行四边形，利用平行四边形的性质：对角线相互平分，可得G为EF的中点，也是PH的中点，所以G的运动轨迹是三角形HCD的中位线，所以点G到直线AB的距离为y是一个定值，问题得解．
【解答】解：如图，分别延长AE，BF交于点H，
∵∠A＝∠FPB＝60°，
∴AH∥PF，
∵∠B＝∠EPA＝60°，
∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分，
∴G为HP的中点，
∵EF的中点为G，
∴P从点C运动到点D时，G始终为PH的中点，
∴G运动的轨迹是三角形HCD的中位线MN，
又∵MN∥CD，
∴G到直线AB的距离为一定值，
∴y与P点移动的时间x之间函数关系的大致图象是一平行于x轴的射线（x≥0）．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，利用到的是三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半．对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
10．（2024春•西城区期末）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P是边BC上的一个动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，连接DE．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ）
A．点P与B的距离为x，点P与C的距离为y
B．点P与B的距离为x，点D与E的距离为y
C．点P与D的距离为x，点P与E的距离为y
D．点P与D的距离为x，点D与E的距离为y
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】B
【分析】先由勾股定理得到BC＝＝5，如图所示，连接AP，过点A作AF⊥BC于F，由等面积法得到AF＝，则BF＝，再证明四边形ADPE是矩形，得到DE＝AP，则当AP⊥BC时，AP最小，即此时DE最小，即DE的最小值为，再由而点P到点E的距离可以无限小，得到点D与E的距离为y，点P到点D的距离可以无限性，得到点P与B的距离为x，据此可得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
如图所示，连接AP，过点A作AF⊥BC于F，
∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AF，
∴S△ABC＝×3×4＝×5AF，
∴AF＝，
∴BF＝＝，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴四边形ADPE是矩形，
∴DE＝AP，
∴当AP⊥BC时，AP最小，即此时DE最小，
∴DE的最小值为，
而点P到点E的距离可以无限小，
∴由函数图象可知点D与E的距离为y，而点P到点D的距离可以无限性，
∴由函数图象可知点P与B的距离为x．
故选：B．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，画出图是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋•赤峰月考）甲、乙两人在直线道路上同起点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发30秒，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲跑步时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙的速度为 3 米/秒．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】3．
【分析】由已知可知甲30分钟走了75米，速度为米/秒，乙用180﹣30＝150秒走了同样的路程米，求出乙的速度．
【解答】解：甲的速度：（米/秒），
乙的速度：（米/秒）．
故答案为：3．
【点评】本题考查了函数图象，关键是由函数图象信息得出两人运动的时间和路程．
12．（2024春•丰满区校级期中）如图1，已知长方形ABCD，动点P沿长方形ABCD的边以B→C→D的路径运动，记△ABP的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 12 ．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】动点型；函数及其图象；数据分析观念．
【答案】12．
【分析】从图（2）看，BC＝6，CD＝4，则当x＝6时，点P在点C处，则m＝y＝×AB×BC，即可求解．
【解答】解：从图（2）看，BC＝6，CD＝4，
则当x＝6时，点P在点C处，则m＝y＝×AB×BC＝6×4＝12，
故答案为：12．
【点评】解决本题的关键是读懂图意，得到相应的矩形中各边之间的关系．此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．
13．（2024春•阳新县期末）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽，水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过 4 秒恰好将水槽注满．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数图象和图象中的数据，可以求得如果将正方体铁块取出，又经过多少秒恰好将水槽注满．
【解答】解：由图形可知，
圆柱体的高是20cm，正方体铁块的高是10cm，圆柱体一半注满水需要28﹣12＝16（秒），
故如果将正方体铁块取出，又经过16﹣12＝4（秒）恰好将水槽注满，
故答案为：4．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答．
14．（2023秋•寿光市期末）根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入m＝3，n＝2时，则输出y的值是 4 ．
【考点】函数值．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】判断m与n的大小关系，确定计算程序计算哪个函数的值，将对应变量代入这个函数并计算即可．
【解答】解：∵m＝3，n＝2，
∴m＞n，
∴y＝3n﹣2＝3×2﹣2＝4，
∴输出y的值是4．
故答案为：4．
【点评】本题考查函数值，熟练计算函数值是本题的关键．
15．（2024•南山区校级开学）已知图形ABCDEF的相邻两边垂直，AB＝8cm．当动点M以2cm/s的速度沿图①的边框按B→C→D→E→F→A的路径运动时，△ABM的面积S随时间t的变化如图②所示．回答下列问题：
（1）a＝ 48 ，b＝ 8.5 ；
（2）EF＝ 3 cm；
（3）当点M运动到DE上时，请用含t的代数式表示出DM的长度，并直接写出S与t的关系式．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；几何直观；推理能力．
【答案】（1）48；8.5；
（2）3；
（3）DM＝2t﹣17，S＝﹣8t+116（8.5＜t≤12.5）．
【分析】（1）由图2图象求出BC，再利用三角形面积公式计算即可；
（2）先求出EF，再用AB﹣EF即可求出CD，再计算出时间t即可；
（3）分析出当点M在DE上时点M的路程，再减去BC+CD即可表示出DM，求出AF，设出关系式，代入两点列出方程组计算即可．
【解答】解：（1）由图2得，5段函数分别是当点M在BC、CD、DE、EF、FA上时，
第一段当0＜t≤6时，点M在BC上，
∴BC＝6×2＝12（cm），
当点M在点C处时，S＝AB•BC＝48cm2，即a＝48，
第四段当12.5＜t≤14时，点M在EF上，
∴EF＝（14﹣12.5）×2＝3（cm），
∴CD＝AB﹣EF＝5cm，
∴t＝5÷2＝2.5（s），
∴b＝6+2.5＝8.5，
故答案为：48，8.5；
（2）由（1）求出EF＝3cm，
故答案为：3；
（3）当点M在DE上时，点M的路程为2t cm，
∵BC+CD＝17cm，
∴DM＝（2t﹣17）cm；
当点M在E上时，点M路程为12.5×2＝25（cm），
∴DE＝8cm，
∴AF＝BC﹣DE＝4cm，
∴当点M在EF上时，S＝AB•AF＝16cm2，
设S＝kt+b（8.5＜t≤12.5），把（8.5，48）（12.5，16）代入得：
，
∴，
∴S＝﹣8t+116（8.5＜t≤12.5）．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2024春•商水县校级期中）为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7m3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m3的部分每立方米收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（m3），应交水费为y（元）．
（1）写出用水未超过7m3时，y与x之间的函数关系式；
（2）写出用水多于7m3时，y与x之间的函数关系式．
【考点】分段函数．
【答案】见试题解答内容
【分析】设某户每月用水量为x（立方米），应交水费为y（元）
（1）因为每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费；所以未超出7立方米时：y＝x×（1+0.2）；（2）超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费，超出7立方米时：y＝7×1.2+（x﹣7）×（1.5+0.4）
【解答】解：（1）未超出7立方米时：y＝x×（1+0.2）＝1.2x；
（2）超出7立方米时：y＝7×1.2+（x﹣7）×（1.5+0.4）＝1.9x﹣4.9．
【点评】本题考查分段函数．首先读懂题意，然后根据题意列出函数关系式．
17．（2024•两江新区校级开学）如图，在长方用ABCD中，AB＝16，AD＝6，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿C→D方向运动，点Q从点D以每秒1个单位长度的速度沿D→A→B方向运动，当点P到达终点D时，点Q也随之停止运动，连接DQ．PQ．设点P的运动时间为x秒，△DPQ的面积为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数y的图象，请直接写出该函数图象与直线y'＝kx+16有两个交点时k的取值范围： ﹣2≤k≤0 ．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数的综合应用；应用意识．
【答案】（1）．
（2）画图见解答，性质：当4＜x＜8时，抛物线和直线的y值都随x的增大而减小．
（3）﹣2≤k≤0．
【分析】（1）根据点P的运动速度有两种情况，再根据面积计算即可．
（2）画图见解答，其中性质有：当4＜x＜8时，抛物线和直线的y值都随x的增大而减小．
（3）抛物线y＝﹣x2+8x的顶点坐标为（4，16），故直线a：y＝16和图象有两个交点，故k＝0．当x＝8时，图象中抛物线与直线交于一点（8，0），把（8，0）代入得k＝﹣2，故k的取值范围是﹣2≤k≤0．
【解答】解：（1）依题意得：
．
（2）画图如下：
当4＜x＜8时，抛物线和直线的y值都随x的增大而减小．
（3）如图：
抛物线y＝﹣x2+8x的顶点坐标为（4，16），
故直线a：y＝16和图象有两个交点，
故k＝0．
当x＝8时，图象中抛物线与直线交于一点（8，0），
把（8，0）代入直线b：直线y'＝kx+16得k＝﹣2，
综上所述，k的取值范围是﹣2≤k≤0．
故答案为：﹣2≤k≤0．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正确掌握几何图形与函数图形的关联是解题关键．
18．（2024春•三门县期末）如图1，是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变AC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（单位：cm）随AC的长度x（单位：cm）的变化规律如图2所示．
（1）指出图中点P坐标的实际意义；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）直接写出B，D之间距离的变化范围．
【考点】动点问题的函数图象；勾股定理；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）当AC的长度为18cm时，千斤顶的高度为24cm；
（2）
（3）大于等于cm，小于等于cm．
【分析】（1）根据题意可得点P的坐标的实际意义为当AC的长度为18cm时，千斤顶的高度为24cm；
（2）连接 BD交AC于O，当AC＝18cm时，BD＝24cm，由菱形的性质得到，则由勾股定理得到，当AC＝x cm时，则OA＝AC＝x cm，由勾股定理得OB＝cm，则y＝BD＝2OB＝；
（3）根据（2）所求分别求出当x＝2和x＝28时的函数值即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意得，点P的坐标的实际意义为当AC的长度为18cm时，千斤顶的高度为24cm；
（2）如图1所示，连接 BD交AC于O，
当AC＝18cm时，BD＝24cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC＝9cm，OB＝BD＝12cm，
在Rt△ABO中，由勾股定理得AB＝＝15cm；
由于菱形的边长不发生变化，
∴AB＝15cm是定值，
当AC＝x cm时，则OA＝AC＝x cm，
在Rt△ABO中，由勾股定理得OB＝＝cm，
∴y＝BD＝2OB＝＝，即y＝（2≤x≤28）；
（3）在y＝（2≤x≤28）中，当x＝2时，y＝＝8；当x＝28时，y＝＝2；
∴B，D之间距离的变化范围为大于等于cm，小于等于cm．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理，正确读懂函数图象是解题的关键．
19．（2024•迎泽区开学）如图表示了甲、乙两辆汽车同时从A点出发，去往距离100千米的B点的行驶情况．
请根据图中信息回答问题．
（1）甲车出发 40 分钟后追上乙车，比乙车早 10 分钟到达B点．甲车平均每分钟行 1 千米，乙车后40分钟平均每小时行 1.5 千米．
（2）如果甲、乙两车同时到达B点，乙车驾驶员可以怎么做呢？（可以用文字或算式表示你的想法）．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】（1）40，10，1，1.5；
（2）见解析（答案不唯一）．
【分析】（1）由图可知，甲车和乙车的路程在出发40分钟后有相交点，说明甲车出发40分钟后追上乙车；甲车出发100分钟后到达B点，乙车出发110分钟后到达B点，所以甲车比乙车提前（110﹣100）分钟到达B点；根据速度＝路程÷时间，甲车的速度为：100÷100＝1（千米/分）．最后40分钟，乙车走了（100﹣40）千米，则用（100﹣40）÷40即可求出乙车后40分钟的速度．
（2）乙车在出发20到70分钟的这段时间，路程不变，说明乙车在行程途中休息了（70﹣20）分钟，若少休息10分钟，则可以提前10分钟到达，也就是100分钟可以到达．（答案不唯一）
【解答】解：（1）110﹣100＝10（分钟），
100÷100＝1（千米/分），
（100﹣40）÷40
＝60÷40
＝1.5（千米/分）．
答：甲车出发40分钟后追上乙车，比乙车早10分钟到达B点．甲车平均每分钟行1千米，乙车后40分钟平均每小时行1.5千米．
故答案为：40，10，1，1.5；
（2）乙车在行程途中休息了（70﹣20）分钟，若少休息10分钟，则可以提前10分钟到达，此时甲乙两车同时到达B点．（答案不唯一）．
【点评】本题考查函数图像，读懂题干信息是解题的关键．
20．（2024春•吉水县期末）如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，OA与BC分别表示它们与甲地距离s（千米）与时间t（小时）的关系，则：
（1）摩托车每小时走 40 千米，自行车每小时走 10 千米；
（2）自行车出发后多少小时，它们相遇？
（3）摩托车出发后多少小时，他们相距10千米？
【考点】函数的图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用总路程除以各自用的时间即是各自的速度；
（2）设自行车出发后x小时，它们相遇，根据等量关系“自行车x小时走的路程＝摩托车用（x﹣3）小时走的路程”列方程解答即可；
（3）分三种情形讨论即可；
【解答】解：（1）摩托车每小时走：80÷（5﹣3）＝40（千米），
自行车每小时走：80÷8＝10（千米）．
故答案为：40，10；
（2）设自行车出发后x小时，它们相遇，
10x＝40（x﹣3）
解得x＝4．
（3）设摩托车出发后t小时，他们相距10千米；
①相遇前：10（t+3）﹣40t＝10，
解得t＝；
②相遇后：40t﹣10（t+3）＝10，
解得：t＝，
③摩托车到达终点10（t+3）＝70，解得t＝4
答：摩托车出发后或4小时，他们相距10千米．
【点评】本题考查了函数的图象，学会看函数图象，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题．
考点卡片
1．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
2．函数的概念
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
3．函数值
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
4．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
5．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
6．函数的表示方法
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
7．分段函数
（1）一次函数与常函数组合的分段函数．
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数．（注意：在解决分段函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．）
（2）由文字图象信息确定分段函数．
根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：
①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量．
②关于某个具体点，要求向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标．
③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．
【规律方法】用图象描述分段函数的实际问题需要注意的四点
1．自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示．
2．当两个阶段的图象都是一次函数（或正比例函数）时，自变量变化量相同，而函数值变化越大的图象与x轴的夹角就越大．
3．各个分段中，准确确定函数关系．
4．确定函数图象的最低点和最高点．
8．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
9．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）温度（℃）
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