江西省乐平中学2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题

这是一份江西省乐平中学2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量a=(4,-2),b=(x-1,2)，若a⊥b，则x=（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．麒麟山位于三明市区中部，海拔262米，原名牛垄山．在地名普查时，发现山腰有一块“孔子戏麒麟”石碑，故更现名．山顶的麒麟阁仿古塔造型是八角重檐阁．小李为测量麒麟阁的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC=30∘，∠DBC=45∘，AB=18米，则麒麟阁的高度CD约为（参考数据：2≈1.414，3=1.732）（ ） A．20.6米 B．22.6米 C．24.6米D．26.6米
3．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'=2，那么原三角形ABO面积是（ ）
A．22 B．1C．2D．22
4．对于不同直线a,b,c以及平面α，下列说法中正确的是（ ）
A．如果a//α,b//α，则a//bB．如果a//b,a⊥α，则b⊥α
C．如果a⊥α,a⊥b，则b//αD．如果a⊥b,b⊥c，则a⊥c
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F为棱上的中点，则异面直线EF与BD所成角的大小为（ ）
A．90° B．60°C．45° D．30°
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角C1-AB-D的平面角等于（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°
7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2，AD=4，则该四棱锥外接球的体积为（ ）
A．24π B．26π C．20πD．86π
8．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点M,N分别在棱AA1,A1D1上，满足AA1=3AM,A1D1=3D1N，点Q在正方体的面BCC1B1内，且A1Q//平面C1MN，则线段A1Q长度的最小值为（ ）
A．10B．3 C．362D．382
二、多选题
9．已知函数f(x)=cs2x-23sinxcsx，则下列命题正确的是（ ）
A．f(x)的最小正周期为π；
B．函数f(x)的图象关于x=π3对称；
C．f(x)在区间-2π3,-π6上单调递减；
D．将函数f(x)的图象向左平移5π12个单位长度后所得到的图象与函数y=2sin2x的图象重合．
10．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a=2，AB⋅AC=23S，下列选项正确的是（ ）
A．A=π3
B．若b=3，则△ABC有两解
C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是23,4
D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2+3
11．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E,F，且EF=12，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC//A1F
B．EF//平面ABCD
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
三、填空题
12．法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：rcsθ+isinθn=rncsnθ+isinnθ．据此公式，复数2csπ4+isinπ43的虚部为 ．
13．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是AB,CC1的中点．
①EF//AC1；
②A1F与BD所成角为90°；
③A1E⊥平面ADF；
④A1F与平面ABCD所成角的正弦值为223．
其中所有正确说法的序号是 ．

14．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，平面FBC⊥平面ABCD，△FBC中BC边上的高FH=2，EF=32．则该几何体的体积为 ．
四、解答题
15．已知m=3sinx,csx,n=csx,-csx，函数fx=m⋅n+12.
(1)求fx的单调递增区间；
(2)当x∈π4,5π12时，求fx的值域.
16．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，过点A分别作AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足．
(1)求证：平面 PAC⊥平面PBC；
(2)求证：EF⊥PB．
17．已知a,b,c分别为△ABC的内角A､B､C的对边，且asinB=3bcsA.
(1)求角A；
(2)若a=21,b=4，求出c边并求出△ABC的面积
18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为PD、BC的中点，平面PAB∩平面PCD=l.
(1)证明：l∥AB；
(2)证明：EF∥平面PAB；
(3)在线段PD上是否存在一点G，使FG//平面ABE？若存在，求出PGGD的值；若不存在，请说明理由.
19．如图，在平面五边形ABCDE中，AB=5，BC=CD=1，∠BCD=∠CDE=2π3，BE=23，△ABE的面积为6.现将五边形ABCDE沿BE向内进行翻折，得到四棱锥A-BCDE.
(1)求线段DE的长度；
(2)求四棱锥A-BCDE的体积的最大值；
(3)当二面角A-BE-C的大小为时，求直线AC与平面BCDE所成的角的正切值.
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量a=(4,-2),b=(x-1,2)，
因为a⊥b，可得a⋅b=4(x-1)+(-2)×2=0，解得x=2.
故选：D.
2．C
【分析】由∠DBC=45∘得BC=CD，再根据tan∠DAC=CDAC=CDBC+AB=CDCD+AB=tan30∘=33可求出结果.
【详解】因为∠DBC=45∘，DC⊥AC，所以BC=CD，
又∠DAC=30∘，所以tan∠DAC=CDAC=CDBC+AB=CDCD+AB=tan30∘=33，
又AB=18米，所以CDCD+18=33，解得CD=183-1 ≈181.732-1 ≈24.6米.
故选：C.
3．C
【分析】求出△A'B'O'的面积，再利用直观图与原图形面积关系求出结果.
【详解】在△A'B'O'中，∠A'O'B'=45∘,A'B'⊥O'B'，由O'A'=2，得A'B'=O'B'=1，
因此△A'B'O'的面积S△A'B'O'=12×1×1=12，
所以原三角形ABO面积是S△ABO=22S△A'B'O'=2.
故选：C
4．B
【分析】根据线线、线面平行和垂直有关定理，对四个选项逐一分析，即可得出正确选项.
【详解】对于A，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB//平面A1B1C1D1，BC//平面A1B1C1D1，但AB⊥BC，故A错误；
对于B，由线面垂直的判定定理，
知，如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，故B正确；‌
对于C，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB⊥平面BB1C1C，AB⊥BB1，但BB1⊂平面BB1C1C，故C错误；
对于D，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB⊥BC,BC⊥CD，但AB//CD，故D错误.
故选：B.
5．B
【分析】由异面直线所成角的概念求解
【详解】由题意得EF//BA1，故异面直线EF与BD所成角即为∠DBA1，
而△DBA1是等边三角形，故∠DBA1=60°，
故选：B
6．B
【分析】结合正方体的结构特征，作出二面角的平面角，即∠C1BC，直接求解即可．
【详解】因为AB⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，
所以AB⊥BC1，
又因为AB⊥BC，平面ABD∩平面C1AB=AB，
所以∠C1BC即为二面角C1-AB-D的平面角，
因为∠C1BC=45°，所以二面角C1-AB-D的大小是45°．
故选：B．
7．D
【分析】根据几何体结构特征补形为长方体得外接球球心在PC中点处，求出PC即可得球的半径，进而由球的体积公式V=43πR3即可得解.
【详解】根据几何体结构特征，将几何体补形为长方体ABCD-PB1C1D1，
显然四棱锥P-ABCD的外接球即为长方体ABCD-PB1C1D1的外接球，
所以外接球球心在PC中点处，
又PC=AB2+AD2+PA2=26，故外接球半径R=6，
所以V=43πR3=86π.
故选：D.
8．D
【分析】在B1B,B1C1上取点E,F，使得BB1=3EB1,B1C1=3B1F，证得平面A1EF//平面C1MN，得到点Q的轨迹为线段EF，在等腰三角形A1EF中，求得底边EF上的高，即可求解.
【详解】在B1B,B1C1上取点E,F，使得BB1=3EB1,B1C1=3B1F，
分别连结EF,BC1,AD1，
因为A1D1=3D1N，可得A1N//C1F，且A1N=C1F，
所以四边形A1FC1N为平行四边形，所以C1N//A1F，
由BB1=3EB1且B1C1=3B1F，可得EF//BC1，
又由AA1=3AM且A1D1=3D1N，所以MN//AD1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得AD1//BC1，所以EF//MN
因为A1F⊄平面C1MN，且C1N⊂平面C1MN，所以A1F//平面C1MN，
同理可证EF//平面C1MN，
又因为A1F∩EF=F，且A1F,EF⊂平面A1EF，所以平面A1EF//平面C1MN，
因此点Q的轨迹为线段EF，
在等腰三角形A1EF中，A1F=A1E=10,EF=2，
可得底边EF上的高为A1F2-(EF2)2=382，此即为A1Q长度的最小值.
故选：D.
9．AB
【分析】根据二倍角的正弦公式和辅助角公式可得f(x)=2cs(2x+π3)，结合余弦函数的图象与性质依次判断选项即可求解.
【详解】f(x)=cs2x-23sinxcsx=cs2x-3sin2x=2cs(2x+π3).
A：函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，故A正确；
B：f(π3)=2cs(2×π3+π3)=2csπ=-2，为f(x)的最小值，故B正确；
C：由-2π3≤x≤-π6，得-π≤2x+π3≤0，所以函数f(x)在[-2π3,-π6]上单调递增，故C错误；
D：将函数f(x)图象向左平移5π12个单位长度，
得y=2cs[2(x+5π12)+π3]=2cs(2x+7π6)=-2sin(2x+2π3)图象，
与函数y=2sin2x的图象不重合，故D错误；
故选：AB
10．BCD
【分析】由数量积的定义及面积公式求得A角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用AD=12(AB+AC)，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D．
【详解】因为AB⋅AC=23S，所以bccsA=23S=23×12bcsinA，tanA=33，又A∈(0,π)，所以A=π6，A错；
若b=3，则bsinA