江西省乐平中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

这是一份江西省乐平中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知向量a=(4,-2),b=(x-1,2)，若a⊥b，则x=（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．麒麟山位于三明市区中部，海拔262米，原名牛垄山．在地名普查时，发现山腰有一块“孔子戏麒麟”石碑，故更现名．山顶的麒麟阁仿古塔造型是八角重檐阁．小李为测量麒麟阁的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC=30∘，∠DBC=45∘，AB=18米，则麒麟阁的高度CD约为（参考数据：2≈1.414，3=1.732）（ ） A．20.6米 B．22.6米 C．24.6米D．26.6米
3．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'=2，那么原三角形ABO面积是（ ）
A．22 B．1C．2D．22
4．对于不同直线a,b,c以及平面α，下列说法中正确的是（ ）
A．如果a//α,b//α，则a//bB．如果a//b,a⊥α，则b⊥α
C．如果a⊥α,a⊥b，则b//αD．如果a⊥b,b⊥c，则a⊥c
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F为棱上的中点，则异面直线EF与BD所成角的大小为（ ）
A．90° B．60°C．45° D．30°
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角C1-AB-D的平面角等于（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°
7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2，AD=4，则该四棱锥外接球的体积为（ ）
A．24π B．26π C．20πD．86π
8．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点M,N分别在棱AA1,A1D1上，满足AA1=3AM,A1D1=3D1N，点Q在正方体的面BCC1B1内，且A1Q//平面C1MN，则线段A1Q长度的最小值为（ ）
A．10B．3 C．362D．382
二、多选题
9．已知函数f(x)=cs2x-23sinxcsx，则下列命题正确的是（ ）
A．f(x)的最小正周期为π；
B．函数f(x)的图象关于x=π3对称；
C．f(x)在区间-2π3,-π6上单调递减；
D．将函数f(x)的图象向左平移5π12个单位长度后所得到的图象与函数y=2sin2x的图象重合．
10．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a=2，AB⋅AC=23S，下列选项正确的是（ ）
A．A=π3
B．若b=3，则△ABC有两解
C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是23,4
D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2+3
11．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E,F，且EF=12，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC//A1F
B．EF//平面ABCD
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
三、填空题
12．法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：rcsθ+isinθn=rncsnθ+isinnθ．据此公式，复数2csπ4+isinπ43的虚部为 ．
13．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是AB,CC1的中点．
①EF//AC1；
②A1F与BD所成角为90°；
③A1E⊥平面ADF；
④A1F与平面ABCD所成角的正弦值为223．
其中所有正确说法的序号是 ．

14．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，平面FBC⊥平面ABCD，△FBC中BC边上的高FH=2，EF=32．则该几何体的体积为 ．
四、解答题
15．已知m=3sinx,csx,n=csx,-csx，函数fx=m⋅n+12.
(1)求fx的单调递增区间；
(2)当x∈π4,5π12时，求fx的值域.
16．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，过点A分别作AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足．
(1)求证：平面 PAC⊥平面PBC；
(2)求证：EF⊥PB．
17．已知a,b,c分别为△ABC的内角A､B､C的对边，且asinB=3bcsA.
(1)求角A；
(2)若a=21,b=4，求出c边并求出△ABC的面积
18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为PD、BC的中点，平面PAB∩平面PCD=l.
(1)证明：l∥AB；
(2)证明：EF∥平面PAB；
(3)在线段PD上是否存在一点G，使FG//平面ABE？若存在，求出PGGD的值；若不存在，请说明理由.
19．如图，在平面五边形ABCDE中，AB=5，BC=CD=1，∠BCD=∠CDE=2π3，BE=23，△ABE的面积为6.现将五边形ABCDE沿BE向内进行翻折，得到四棱锥A-BCDE.
(1)求线段DE的长度；
(2)求四棱锥A-BCDE的体积的最大值；
(3)当二面角A-BE-C的大小为时，求直线AC与平面BCDE所成的角的正切值.
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量a=(4,-2),b=(x-1,2)，
因为a⊥b，可得a⋅b=4(x-1)+(-2)×2=0，解得x=2.
故选：D.
2．C
【分析】由∠DBC=45∘得BC=CD，再根据tan∠DAC=CDAC=CDBC+AB=CDCD+AB=tan30∘=33可求出结果.
【详解】因为∠DBC=45∘，DC⊥AC，所以BC=CD，
又∠DAC=30∘，所以tan∠DAC=CDAC=CDBC+AB=CDCD+AB=tan30∘=33，
又AB=18米，所以CDCD+18=33，解得CD=183-1 ≈181.732-1 ≈24.6米.
故选：C.
3．C
【分析】求出△A'B'O'的面积，再利用直观图与原图形面积关系求出结果.
【详解】在△A'B'O'中，∠A'O'B'=45∘,A'B'⊥O'B'，由O'A'=2，得A'B'=O'B'=1，
因此△A'B'O'的面积S△A'B'O'=12×1×1=12，
所以原三角形ABO面积是S△ABO=22S△A'B'O'=2.
故选：C
4．B
【分析】根据线线、线面平行和垂直有关定理，对四个选项逐一分析，即可得出正确选项.
【详解】对于A，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB//平面A1B1C1D1，BC//平面A1B1C1D1，但AB⊥BC，故A错误；
对于B，由线面垂直的判定定理，
知，如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，故B正确；‌
对于C，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB⊥平面BB1C1C，AB⊥BB1，但BB1⊂平面BB1C1C，故C错误；
对于D，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB⊥BC,BC⊥CD，但AB//CD，故D错误.
故选：B.
5．B
【分析】由异面直线所成角的概念求解
【详解】由题意得EF//BA1，故异面直线EF与BD所成角即为∠DBA1，
而△DBA1是等边三角形，故∠DBA1=60°，
故选：B
6．B
【分析】结合正方体的结构特征，作出二面角的平面角，即∠C1BC，直接求解即可．
【详解】因为AB⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，
所以AB⊥BC1，
又因为AB⊥BC，平面ABD∩平面C1AB=AB，
所以∠C1BC即为二面角C1-AB-D的平面角，
因为∠C1BC=45°，所以二面角C1-AB-D的大小是45°．
故选：B．
7．D
【分析】根据几何体结构特征补形为长方体得外接球球心在PC中点处，求出PC即可得球的半径，进而由球的体积公式V=43πR3即可得解.
【详解】根据几何体结构特征，将几何体补形为长方体ABCD-PB1C1D1，
显然四棱锥P-ABCD的外接球即为长方体ABCD-PB1C1D1的外接球，
所以外接球球心在PC中点处，
又PC=AB2+AD2+PA2=26，故外接球半径R=6，
所以V=43πR3=86π.
故选：D.
8．D
【分析】在B1B,B1C1上取点E,F，使得BB1=3EB1,B1C1=3B1F，证得平面A1EF//平面C1MN，得到点Q的轨迹为线段EF，在等腰三角形A1EF中，求得底边EF上的高，即可求解.
【详解】在B1B,B1C1上取点E,F，使得BB1=3EB1,B1C1=3B1F，
分别连结EF,BC1,AD1，
因为A1D1=3D1N，可得A1N//C1F，且A1N=C1F，
所以四边形A1FC1N为平行四边形，所以C1N//A1F，
由BB1=3EB1且B1C1=3B1F，可得EF//BC1，
又由AA1=3AM且A1D1=3D1N，所以MN//AD1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得AD1//BC1，所以EF//MN
因为A1F⊄平面C1MN，且C1N⊂平面C1MN，所以A1F//平面C1MN，
同理可证EF//平面C1MN，
又因为A1F∩EF=F，且A1F,EF⊂平面A1EF，所以平面A1EF//平面C1MN，
因此点Q的轨迹为线段EF，
在等腰三角形A1EF中，A1F=A1E=10,EF=2，
可得底边EF上的高为A1F2-(EF2)2=382，此即为A1Q长度的最小值.
故选：D.
9．AB
【分析】根据二倍角的正弦公式和辅助角公式可得f(x)=2cs(2x+π3)，结合余弦函数的图象与性质依次判断选项即可求解.
【详解】f(x)=cs2x-23sinxcsx=cs2x-3sin2x=2cs(2x+π3).
A：函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，故A正确；
B：f(π3)=2cs(2×π3+π3)=2csπ=-2，为f(x)的最小值，故B正确；
C：由-2π3≤x≤-π6，得-π≤2x+π3≤0，所以函数f(x)在[-2π3,-π6]上单调递增，故C错误；
D：将函数f(x)图象向左平移5π12个单位长度，
得y=2cs[2(x+5π12)+π3]=2cs(2x+7π6)=-2sin(2x+2π3)图象，
与函数y=2sin2x的图象不重合，故D错误；
故选：AB
10．BCD
【分析】由数量积的定义及面积公式求得A角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用AD=12(AB+AC)，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D．
【详解】因为AB⋅AC=23S，所以bccsA=23S=23×12bcsinA，tanA=33，又A∈(0,π)，所以A=π6，A错；
若b=3，则bsinA若△ABC为锐角三角形，则0π2，所以π3bsinB=asinA，b=asinBsinA=4sinB∈(23,4)，C正确；
若D为BC边上的中点，则AD=12(AB+AC)，AD2=14(AB+AC)2=14(c2+2bccsA+b2)=14(b2+c2+3bc)，
又a2=b2+c2-2bccsA=b2+c2-3bc=4，b2+c2=4+3bc，
由基本不等式得4=b2+c2-3bc≥2bc-3bc=(2-3)bc，
bc≤42-3=4(2+3)，当且仅当b=c=2+6时等号成立，
所以AD2=14(4+3bc)+3bc=1+32bc≤7+43，所以AD≤2+3，
当且仅当b=c=2+6时等号成立，D正确．
故选：BCD．
【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得sinB，然后根据a,b的大小关系判断B角是否有两种情况即可．
11．AD
【分析】取点F与点B1重合可判断A；利用面面平行可判断B；判断三棱锥的高和△BEF的高是否为定值即可判断C；分别求点A,B到直线EF的距离可判断D.
【详解】对A，不妨取点F与点B1重合，
因为AC∩平面ABB1A1=A，A1B1在平面ABB1A1内，且不过点A，
所以AC,A1B1异面，即此时AC,A1F异面，A错误；
对B，因为B1D1⊂平面A1B1C1D1，且平面A1B1C1D1//平面ABCD，
所以B1D1//平面ABCD，所以EF//平面ABCD，B正确，不符合题意；
对C，易知，点A到平面BB1D1D的距离为定值，又S△BEF=12EF⋅BB1=14，
所以三棱锥A-BEF的体积为定值，C正确；
对D，记AC,A1C1的中点分别为O,O1，连接OO1,O1A，
易知OO1⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，所以OO1⊥AO，
因为B1D1⊥A1C1,B1D1⊥OO1，OO1,A1C1是平面AA1C1C内的两条相交直线，
所以B1D1⊥平面AA1C1C，
又AO1⊂平面AA1C1C，所以AO1⊥B1D1，所以AO1=O1O2+AO2=62，
所以S△AEF=12EF⋅AO1=68，D错误.
故选：AD

12．42
【分析】结合复数定义，借助所给公式计算即可得.
【详解】2csπ4+isinπ43=23cs3π4+isin3π4=8-22+2i2=-42+42i，
故其虚部为42.
故答案为：42.
13．②③
【分析】连接AC1,EF，连接AC,BD交于O，连接OF，易得AC1//OF，由平行公理判断①；利用线面垂直性质及判定判断②③；转化为求A1F与平面A1B1C1D1所成角，结合线面角定义及已知求其正弦值判断④.
【详解】连接AC1,EF，连接AC,BD交于O，连接OF，则O是AC中点，
所以F是CC1的中点，则AC1//OF，而E∈OF，故EF//AC1不成立，①错；

如下图，BD⊥AC，CF⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，则CF⊥BD，
由AC∩CF=C，AC,CF⊂面ACFA1，则BD⊥面ACFA1，A1F⊂面ACFA1，
所以A1F与BD垂直，②对；

如下图，若G为BB1中点，连接AG,GF，显然GF//BC//AD，则面ADF即为面AGFD，
由题设易知：Rt△AEA1≅Rt△BGA，则∠BAG+∠AEA1=90°，即EA1⊥GA，
由AD⊥面ABB1A，EA1⊂面ABB1A，则AD⊥EA1，
GA∩AD=A，GA,AD⊂面AGFD，则EA1⊥面AGFD，即A1E⊥平面ADF，③对；

如下图，由面ABCD//面A1B1C1D1，则A1F与平面ABCD所成角，即为A1F与平面A1B1C1D1所成角，
由C1F⊥面A1B1C1D1，连接A1C1，则∠FA1C1或其补角即为所求线面角，
在Rt△FA1C1中，A1C1=2AB,FA1=A1C12+C1C42=32AB，
所以sin∠FA1C1=FC1FA1=12AB32AB=13，④错.

故答案为：②③
14．152
【分析】先补全多面体ABCDEF，得到三棱柱ADG-BCF，然后求出三棱锥E-ADG的体积，从而求解．
【详解】在多面体ABCDEF中，由EF//AB，EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
得EF//平面ABCD，延长FE到G，使得EG=EF，连接DG、AG，如图：
显然FG=AB=CD，FG//AB//CD，几何体ADG-BCF为三棱柱，
由平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD=BC，AB⊥BC,AB⊂平面ABCD，
得AB⊥平面FBC，则三棱柱ADG-BCF为直三棱柱，
于是三棱锥E-ADG的体积为：13S△ADG⋅EG=13×12×3×2×32=32，
所以原几何体的体积为：12×3×2×3-32=152.
故答案为：152
15．(1)kπ-π6,kπ+π3k∈Z
(2)32,1
【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数，然后利用正弦函数的单调性求解增区间；
（2）先求出2x-π6的范围，然后利用正弦函数的性质求解值域即可.
【详解】（1）由fx=3sinxcsx-cs2x+12 =32sin2x-12cs2x+1+12
=32sin2x-12cs2x =sin2x-π6，
令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2得kπ-π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，
所以fx的单调递增区间为kπ-π6,kπ+π3k∈Z，
（2）因为x∈π4,5π12，所以2x-π6∈π3,2π3，所以32≤sin2x-π6≤1，
故函数f(x)的值域为32,1.
16．(1)A=π3；
(2)c=5，面积为53
【分析】（1）由正弦定理可得答案；
（2）由余弦定理求出c，再利用面积公式求出面积即可.
【详解】（1）因为asinB=3bcsA，
所以由正弦定理得sinAsinB=3sinBcsA，
因为B∈0,π，所以sinB≠0，
所以sinA=3csA，所以tanA=3，
因为A∈0,π，所以A=π3；
（2）在△ABC中，a=21,b=4,A=π3，
所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccsA，
21=16+c2-8c×12,整理得c2-4c-5=0，
解得c=-1（舍去），或c=5，
可得面积为12×5×4sinπ3=53.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由线线垂直可得BC⊥平面PAC，再由线面垂直可证明面面垂直.
（2）根据线面垂直的定义可得线线垂直，进而可得AF⊥平面PBC，进一步可证明PB⊥平面AEF，进而由线面垂直得线线垂直.
【详解】（1）因为PA⊥平面ABC，BC ⊂ 平面ABC，所以PA⊥BC．又BC⊥AC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC．又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
（2）由（1）可知，BC⊥平面PAC，AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF．又AF⊥PC，PC∩BC=C，所以AF⊥平面PBC．
又PB⊂平面PBC，所以AF⊥PB．
又AE⊥PB，AE∩AF=A，，所以PB⊥平面AEF．
又EF⊂平面AEF，所以EF⊥PB．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，3
【分析】（1）根据题意可证AB∥平面PCD，结合线面平行的性质即可得结果；
（2）根据平行关系可得EF∥BM，结合线面平行的判定定理分析证明；
（3）取AD中点N，连接FN，NG，可证平面FNG∥平面ABE，根据面面平行的性质可得AE∥NG，再结合平行线的性质运算求解.
【详解】（1）因为ABCD为平行四边形，则AB∥CD，
且AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，可知AB∥平面PCD，
又因为平面PAB∩平面PCD=l，AB⊂平面PAB，
所以l∥AB.
（2）取PA中点M，连接BM，EM，

则EM∥AD,EM=12AD，且BF∥AD,BF=12AD，
可知EM∥BF,EM=BF，则四边形BFEM为平行四边形，可得EF∥BM，
且EF⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，
所以EF∥平面PAB.
（3）存在G，使FG∥平面ABE，PGGD=3，理由如下：
取AD中点N，连接FN，NG，

则FN∥AB，且FN⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，
所以FN∥平面ABE，
又因为FG∥平面ABE，且FN∩FG=F，FN，FG⊂平面FNG，
所以平面FNG∥平面ABE，
平面PAD∩平面ABE=AE，平面PAD∩平面FNG=NG，
可得AE∥NG，
因为N为AD中点，且G为ED中点，可得EG=GD，
又因为PE=ED，所以PGGD=3.
19．(1)3
(2)7612
(3)77
【分析】（1）延长BC、ED相交于点F，由余弦定理可得答案；
（2）求出四边形BCDE的面积为定值，要向折叠后得到的四棱锥A-BCDE体积最大，则要四棱锥的高最大，即平面ABE⊥平面BCDE时，此时四棱锥的高即为△ABE边BE上的高，求出高可得答案；
（3）做AN⊥BE交BE于N点，得N点为BE的中点，∠ANH=135∘，设翻折前A点为A'，做AM⊥A'N，利用线面垂直的判定定理得AM⊥平面BEF，∠ACM为直线AC与平面BCDE所成的角，求出边长可得答案.
【详解】（1）如图，
延长BC、ED相交于点F，
因为∠BCD=∠CDE=2π3，所以∠FCD=∠FDC=π3，
所以△FCD是边长为1的等边三角形，∠CFD=π3，
所以FE=FD+DE=1+DE，FB=FC+CB=1+1=2，
由余弦定理得BE2=FB2+FE2-2FB×FEcs60∘，
即12=4+DE+12-2⋅2⋅DE+1⋅cs60∘，即DE2=9，
所以DE=3；
（2）
延长BC,ED相交于点F，△FCD是边长为1的等边三角形，
由（1）FE2=FB2+BE2，得∠EBF=90∘，EB⊥BF，
所以S△BEF=12BF⋅BE=12×2×23=23，
S△CDF=12CF⋅DFsin60∘=34，
故四边形BCDE的面积为S△BEF-S△CDF=23-34=734
要向折叠后得到的四棱锥A-BCDE体积最大，则要四棱锥的高最大，
故使平面ABE⊥平面BCDE，此时四棱锥的高即为△ABE边BE上的高，
因为△ABE的面积为6，设BE边上的高为h，
则6=12×23h，解得h=2，
故四棱锥的体积的最大值为13×734×2=7612；
（3）作AN⊥BE交BE于N点，由12BE⋅AN=3AN=6，所以AN=2，
可得BN=AB2-AN2=3，所以N点为BE的中点，
取EF的中点H，连接AH,NH,CH，
则NH//BF，可得NH⊥BE，所以∠ANH=135∘，
设翻折前A点为A'，连接A'N,AA'，则A'N⊥BE，∠ANA'=45∘，A'N=2，
作AM⊥A'N交A'N于M点，连接CM，
因为AN⊥BE，NH⊥BE，AN∩NH=N，AN,NH⊂平面AA'H，
所以BE⊥平面AA'H，AM⊂平面AA'H，所以BE⊥AM，
因为A'N∩BE=N，A'N,BE⊂平面BEF，所以AM⊥平面BEF，
所以∠ACM为直线AC与平面BCDE所成的角，
由于∠ANA'=45∘，AN=2，所以AM=MN=1，
因为C,N分别为BF,BE的中点，所以CN//EF，CN=12EF=2，
∠CNB=30∘,∠ANB=∠HNE=90∘，
由余弦定理得MC2=CN2+MN2-2CN⋅MNcs∠MNC
=4+1-2×2×-12=7，MC=7，
所以tan∠ACM=AMMC=17=77.
【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是利用线面垂直的判定定理得到AM⊥平面BEF，得出∠ACM为直线AC与平面BCDE所成的角.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
B
B
B
D
D
AB
BCD
题号
11









答案
AD