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江苏省兴化中学2024-2025学年高二上学期阶段性测试（一） 数学试题（含解析）
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这是一份江苏省兴化中学2024-2025学年高二上学期阶段性测试（一） 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学科：数学
命题人：邹日昶 时间：2024年9月
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知经过两点和的直线的斜率大于1，则的取值范围是（ ）
A．(2，8)B．(8，+∞)C．(11，+∞)D．(−∞，11)
2．若直线和直线平行，则的值为（ ）
A．1B．C．1或D．
3．若直线过点，倾斜角为，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在同一平面直角坐标系中表示直线与，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．“”是“两点到直线的距离相等”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知直线及两点，.若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则实数的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1)∪(1,+∞)B．
C．D．
7．若动点分别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．若等边三角形一边所在直线的斜率为，则该三角形另两条边所在直线斜率为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．关于直线，下列说法正确的有（ ）
A．过点B．斜率为
C．倾斜角为60°D．在轴上的截距为1
10．已知直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，则下列表述正确的有（ ）
A．直线l2的斜率为
B．若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝﹣18
C．直线l1倾斜角的正切值为3
D．若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2
11．若直线m被两平行直线：x－y＋1＝0与：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（ ）
A．15°B．30°C．60°D．75°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为 .
13．直线过点，且在轴上的截距为轴上的截距的倍，则直线的方程为 ．
14．在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知直线过定点．
(1)求点的坐标；
(2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值．
16．已知直线.
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时l的方程.
17．的顶点A，B的坐标分别为．
(1)求线段AB的中垂线在x轴上的截距；
(2)若点C的坐标为，求△ABC垂心的坐标．
18．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为.
(1)求直线的方程和点C的坐标；
(2)求的面积．
19．如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k.
(1)用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标；
(2)求锯成的的面积的最小值.
1．C
【解析】利用斜率公式列式可解得结果.
【详解】由题意得，解得.
故选：C
2．A
【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可.
【详解】直线和直线平行，
，
解得或，
经检验不符合题意，
∴
故选：A．
3．C
【分析】利用点斜式写出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由倾斜角为得直线的斜率为，
求得直线的方程为，
则点到直线的距离，
故选：C.
【点睛】本题考查了点斜式方程、点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题.
4．D
【分析】结合一次函数参数的几何意义判断即可
【详解】过坐标原点，直线的倾斜角为45°，A，B选项中图象不合题意；
对于选项C，过坐标原点，且，则直线在y轴上的截距应该大于零，选项中图象不合题意；
对于选项D，过坐标原点，且，则直线在y轴上的截距应该小于零，选项中图象符合题意．
故选：D
5．A
【分析】两点到直线距离相等分两种情况，或过的中点，结合斜率和中点公式即可求解，再由命题的充分、必要条件判断即可.
【详解】“两点到直线的距离相等”“或过的中点”.
当时，由得，；
当过的中点时，由的中点为得，.
所以“两点到直线的距离相等”“”，
故选：A.
6．B
【分析】直线过定点，求出直线PQ、MQ的斜率，数形结合可求得直线斜率的取值范围.
【详解】直线过定点，作出图像如下图所示：
，，直线的斜率为，
若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则，即.
故选：B
7．B
【解析】设点所在直线的方程为，结合点到直线的距离公式，求得点所在直线的方程，利用原点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】根据题意，可得的集合为与直线和距离都相等的直线，
则到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，
设点所在直线的方程为，
由，可得，解得，可得，
所以到原点的距离的最小值为.
故选：B.
8．C
【分析】根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为，且，由直线的到角公式即可求出.
【详解】根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为，且，
则有，解得，，
故另两条边所在直线斜率为，.
故选：C.
【点睛】关键点睛：解题的关键是正确利用直线的夹角公式.
9．BC
【分析】A. 当时，，所以该选项错误；
B. 直线的斜率为，所以该选项正确；
C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；
D. 当时，，所以该选项错误.
【详解】A. 当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误；
B. 由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确；
C. 由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；
D. 当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误.
故选：BC
10．BD
【分析】利用直线l1的方程，考虑斜率不存在的情况可判断选项A，利用两条直线垂直的充要条件可判断选项B，利用倾斜角与斜率的关系可判断选项C，利用两条直线平行的充要条件可判断选项D．
【详解】解：直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，
当m＝0时，直线l2的斜率不存在，故选项A错误；
当直线l1垂直于直线l2，则有3×6+1×m＝0，解得m＝﹣18，故选项B正确；
直线l1的斜率为﹣3，故倾斜角的正切值为﹣3，故选项C错误；
当直线l1平行于直线l2，则，解得m＝2，故选项D正确．
故选：BD．
11．AD
【分析】求两平行线之间的距离，根据三角函数，得到直线与平行线的夹角，再结合外角定理，可得答案.
【详解】因为，所以直线，间的距离．
设直线m与直线，分别相交于点B，A，则，
过点A作直线l垂直于直线，垂足为C，则，
则在Rt△ABC中，，所以∠ABC＝30°，
又直线的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°．
故选：AD．
12．
【分析】求出过原点与已知直线垂直的直线方程，联立已知方程求解可得.
【详解】易知，当垂直于直线时，取得最小值，
此时，所在直线方程为，
联立解得，即.
故答案为：
13．或
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，结合直线截距式可求得结果.
【详解】当直线过原点时，满足题意，则，即；
当直线不过原点时，可设，，解得：，
，即；
综上所述：直线方程为：或.
故答案为：或.
14．
【分析】求出点关于和直线的对称点，结合光的反射原理列方程组求解可得.
【详解】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，
则直线方程为，
设关于和直线的对称点分别为，则，
记，则，解得，
因为为的重心，，所以，
由光的反射原理可知，三点共线，所以，
即，解得（舍去）或.
故答案为：
15．(1)
(2)或2
【分析】（1）利用直线求定点的方法直接列方程求解即可.
（2）首先得出，然后根据截距相等列方程求解即可.
【详解】（1）直线，
则，
定点.
（2）由直线在轴和轴上的截距相等，显然不为0（否则直线在坐标轴上的截距不相等，与题意矛盾），
令，可得，
令，可得，
由直线在轴和轴上的截距相等，有，解得或2，
故或2．
16．（1）；（2）最小值是4，方程为．
【分析】（1）由直线过定点可得斜率的范围；
（2）求出两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值．
【详解】（1）直线方程为：，它过定点，在第二象限，因此直线不过第四象限，则
∴的取值范围是；
（2）易知，令得，令，得，即，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴最小值是4，此时方程为，即．
【点睛】本题考查直线方程的一般式，第（1）小题由直线方程确定直线过定点是解题关键；第（2）小题，用基本不等式求最值是关键．
17．(1)-3；
(2)
【分析】（1）求出AB的中点和直线AB的斜率，再求出线段AB中垂线的斜率，即可得到答案；
（2）求出AB边上的高所在直线的斜率，得到AB边上的高所在直线的方程，同理可得AC边上的高所在直线的方程，两条方程联立即可得到答案
【详解】（1）∵△ABC的顶点A，B的坐标分别为，
∴AB的中点是，直线AB的斜率是，
∵线段AB中垂线与线段AB垂直，
∴线段AB中垂线的斜率是，
∴线段AB的中垂线方程是，即x－3y＋3＝0，
令y＝0，得x＝－3，即线段AB的中垂线在x轴上的截距为-3；
（2）∵，∴AB边上的高所在直线的斜率为，
∵，∴AB边上的高所在直线的方程为，即x－3y=0，
∵，∴AC边上的高所在直线的斜率为，
∵，∴AC边上的高所在直线的方程为，即2x＋3y-19=0，
联立x－3y=0和2x＋3y-19=0，得，，
∴△ABC垂心的坐标为
18．(1)，，
(2).
【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标，再求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程，联立方程组求出点坐标.
（2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积.
【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上，
于是，解得，即点，
设关于直线的对称点为，则有，解得，即，
显然点在直线上，直线的斜率为，
因此直线的方程为，即，
由，解得，则点，
所以直线的方程为，点C的坐标为.
（2）由（1）得，点到直线的距离，
所以的面积.
19．(1)，，.
(2).
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标；
（2）先由题意确定的范围，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）设直线，
因为直线过点，所以，即，
所以，
又因为，，易得直线，直线，
联立，解得；联立，解得，
故，.
（2）因为，，所以，所以，
因为，
设M到直线的距离为d，则，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以S的最小值为.
学科：数学
命题人：邹日昶 时间：2024年9月
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知经过两点和的直线的斜率大于1，则的取值范围是（ ）
A．(2，8)B．(8，+∞)C．(11，+∞)D．(−∞，11)
2．若直线和直线平行，则的值为（ ）
A．1B．C．1或D．
3．若直线过点，倾斜角为，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在同一平面直角坐标系中表示直线与，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．“”是“两点到直线的距离相等”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知直线及两点，.若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则实数的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1)∪(1,+∞)B．
C．D．
7．若动点分别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．若等边三角形一边所在直线的斜率为，则该三角形另两条边所在直线斜率为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．关于直线，下列说法正确的有（ ）
A．过点B．斜率为
C．倾斜角为60°D．在轴上的截距为1
10．已知直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，则下列表述正确的有（ ）
A．直线l2的斜率为
B．若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝﹣18
C．直线l1倾斜角的正切值为3
D．若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2
11．若直线m被两平行直线：x－y＋1＝0与：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（ ）
A．15°B．30°C．60°D．75°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为 .
13．直线过点，且在轴上的截距为轴上的截距的倍，则直线的方程为 ．
14．在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知直线过定点．
(1)求点的坐标；
(2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值．
16．已知直线.
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时l的方程.
17．的顶点A，B的坐标分别为．
(1)求线段AB的中垂线在x轴上的截距；
(2)若点C的坐标为，求△ABC垂心的坐标．
18．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为.
(1)求直线的方程和点C的坐标；
(2)求的面积．
19．如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k.
(1)用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标；
(2)求锯成的的面积的最小值.
1．C
【解析】利用斜率公式列式可解得结果.
【详解】由题意得，解得.
故选：C
2．A
【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可.
【详解】直线和直线平行，
，
解得或，
经检验不符合题意，
∴
故选：A．
3．C
【分析】利用点斜式写出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由倾斜角为得直线的斜率为，
求得直线的方程为，
则点到直线的距离，
故选：C.
【点睛】本题考查了点斜式方程、点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题.
4．D
【分析】结合一次函数参数的几何意义判断即可
【详解】过坐标原点，直线的倾斜角为45°，A，B选项中图象不合题意；
对于选项C，过坐标原点，且，则直线在y轴上的截距应该大于零，选项中图象不合题意；
对于选项D，过坐标原点，且，则直线在y轴上的截距应该小于零，选项中图象符合题意．
故选：D
5．A
【分析】两点到直线距离相等分两种情况，或过的中点，结合斜率和中点公式即可求解，再由命题的充分、必要条件判断即可.
【详解】“两点到直线的距离相等”“或过的中点”.
当时，由得，；
当过的中点时，由的中点为得，.
所以“两点到直线的距离相等”“”，
故选：A.
6．B
【分析】直线过定点，求出直线PQ、MQ的斜率，数形结合可求得直线斜率的取值范围.
【详解】直线过定点，作出图像如下图所示：
，，直线的斜率为，
若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则，即.
故选：B
7．B
【解析】设点所在直线的方程为，结合点到直线的距离公式，求得点所在直线的方程，利用原点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】根据题意，可得的集合为与直线和距离都相等的直线，
则到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，
设点所在直线的方程为，
由，可得，解得，可得，
所以到原点的距离的最小值为.
故选：B.
8．C
【分析】根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为，且，由直线的到角公式即可求出.
【详解】根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为，且，
则有，解得，，
故另两条边所在直线斜率为，.
故选：C.
【点睛】关键点睛：解题的关键是正确利用直线的夹角公式.
9．BC
【分析】A. 当时，，所以该选项错误；
B. 直线的斜率为，所以该选项正确；
C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；
D. 当时，，所以该选项错误.
【详解】A. 当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误；
B. 由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确；
C. 由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；
D. 当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误.
故选：BC
10．BD
【分析】利用直线l1的方程，考虑斜率不存在的情况可判断选项A，利用两条直线垂直的充要条件可判断选项B，利用倾斜角与斜率的关系可判断选项C，利用两条直线平行的充要条件可判断选项D．
【详解】解：直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，
当m＝0时，直线l2的斜率不存在，故选项A错误；
当直线l1垂直于直线l2，则有3×6+1×m＝0，解得m＝﹣18，故选项B正确；
直线l1的斜率为﹣3，故倾斜角的正切值为﹣3，故选项C错误；
当直线l1平行于直线l2，则，解得m＝2，故选项D正确．
故选：BD．
11．AD
【分析】求两平行线之间的距离，根据三角函数，得到直线与平行线的夹角，再结合外角定理，可得答案.
【详解】因为，所以直线，间的距离．
设直线m与直线，分别相交于点B，A，则，
过点A作直线l垂直于直线，垂足为C，则，
则在Rt△ABC中，，所以∠ABC＝30°，
又直线的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°．
故选：AD．
12．
【分析】求出过原点与已知直线垂直的直线方程，联立已知方程求解可得.
【详解】易知，当垂直于直线时，取得最小值，
此时，所在直线方程为，
联立解得，即.
故答案为：
13．或
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，结合直线截距式可求得结果.
【详解】当直线过原点时，满足题意，则，即；
当直线不过原点时，可设，，解得：，
，即；
综上所述：直线方程为：或.
故答案为：或.
14．
【分析】求出点关于和直线的对称点，结合光的反射原理列方程组求解可得.
【详解】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，
则直线方程为，
设关于和直线的对称点分别为，则，
记，则，解得，
因为为的重心，，所以，
由光的反射原理可知，三点共线，所以，
即，解得（舍去）或.
故答案为：
15．(1)
(2)或2
【分析】（1）利用直线求定点的方法直接列方程求解即可.
（2）首先得出，然后根据截距相等列方程求解即可.
【详解】（1）直线，
则，
定点.
（2）由直线在轴和轴上的截距相等，显然不为0（否则直线在坐标轴上的截距不相等，与题意矛盾），
令，可得，
令，可得，
由直线在轴和轴上的截距相等，有，解得或2，
故或2．
16．（1）；（2）最小值是4，方程为．
【分析】（1）由直线过定点可得斜率的范围；
（2）求出两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值．
【详解】（1）直线方程为：，它过定点，在第二象限，因此直线不过第四象限，则
∴的取值范围是；
（2）易知，令得，令，得，即，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴最小值是4，此时方程为，即．
【点睛】本题考查直线方程的一般式，第（1）小题由直线方程确定直线过定点是解题关键；第（2）小题，用基本不等式求最值是关键．
17．(1)-3；
(2)
【分析】（1）求出AB的中点和直线AB的斜率，再求出线段AB中垂线的斜率，即可得到答案；
（2）求出AB边上的高所在直线的斜率，得到AB边上的高所在直线的方程，同理可得AC边上的高所在直线的方程，两条方程联立即可得到答案
【详解】（1）∵△ABC的顶点A，B的坐标分别为，
∴AB的中点是，直线AB的斜率是，
∵线段AB中垂线与线段AB垂直，
∴线段AB中垂线的斜率是，
∴线段AB的中垂线方程是，即x－3y＋3＝0，
令y＝0，得x＝－3，即线段AB的中垂线在x轴上的截距为-3；
（2）∵，∴AB边上的高所在直线的斜率为，
∵，∴AB边上的高所在直线的方程为，即x－3y=0，
∵，∴AC边上的高所在直线的斜率为，
∵，∴AC边上的高所在直线的方程为，即2x＋3y-19=0，
联立x－3y=0和2x＋3y-19=0，得，，
∴△ABC垂心的坐标为
18．(1)，，
(2).
【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标，再求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程，联立方程组求出点坐标.
（2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积.
【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上，
于是，解得，即点，
设关于直线的对称点为，则有，解得，即，
显然点在直线上，直线的斜率为，
因此直线的方程为，即，
由，解得，则点，
所以直线的方程为，点C的坐标为.
（2）由（1）得，点到直线的距离，
所以的面积.
19．(1)，，.
(2).
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标；
（2）先由题意确定的范围，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）设直线，
因为直线过点，所以，即，
所以，
又因为，，易得直线，直线，
联立，解得；联立，解得，
故，.
（2）因为，，所以，所以，
因为，
设M到直线的距离为d，则，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以S的最小值为.
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