江苏省梁丰高级中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性检测数学试题

这是一份江苏省梁丰高级中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性检测数学试题，共20页。试卷主要包含了“”是“直线和直线平行”的，下列说法正确的是，已知点，且点在直线上，则等内容，欢迎下载使用。
总分：150分 时间：120分钟
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.“”是“直线和直线平行”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
3.在四面体中，为的重心，在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知两条平行直线间的距离为3，则等于（ ）
A. B.48 C.36或48 D.或48
5.若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A. B. C.4 D.2
7.如图，在三棱锥中，已知，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题
9.下列说法正确的是（ ）
A.若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为
B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C.当点到直线的距离最大时，的值为
D.已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
10.已知点，且点在直线上，则（ ）
A.存在点，使得
B.存在点，使得
C.的最小值为
D.若，则的最小值为2
11.如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的是（ ）
A.三棱锥的体积为定值.
B.存在线段，使平面平面.
C.为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小.
D.若平面与棱有交点，记交点分别为，则的取值范围是.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量.若平面，则的值是__________.
13.的顶点坐标分别为，则角的平分线所在的直线方程为__________.
14.直四棱柱的所有棱长都为，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为__________.
四､解答题
15.已知平面内两点.
（1）求过点且与直线垂直的直线的方程.
（2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程.
（3）已知直线过点，且点到的距离为4，求直线的方程.
16.如图，在正四棱柱中，.点分别在棱上，.
（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求.
17.在斜三棱柱中，.
（1）证明：在底面上的射影是线段的中点；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
18.如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，.
（1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率；
（2）若，求的面积的最大值：
（3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标.
19.如图，直角梯形中，分别为边的中点，将沿边折起到的位置，为边的中点.
（1）证明：平面：
（2）当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面与平面夹角的正切值.
梁丰高中2024—2025学年第一学期10月阶段性检测
高二数学解析答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.选B
【解答】解：直线的倾斜角为，
则，
直线的倾斜角为，
直线的斜率为，
直线在轴上的截距为3，
直线的方程为，即.
2.选A
【分析】分别当时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求的范围.
【解答】解：当时，两直线分别为：，
两直线斜率相等，则平行且不重合.
若两直线平行且不重合，则
或，
综上所述，是两直线平行的充分不必要条件.
3.选C
【详解】延长交于点，则点为的中点，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
4.选D
【解析】将改写为，
因为两条直线平行，所以.
由，解得或，
所以或48.
5.选B
【详解】因为直线恒过点，
直线与坐标轴的交点分别为，
直线的斜率，此时倾斜角为；
直线的斜率不存在，此时倾斜角为；
所以直线的倾斜角的取值范围是.
6.选C
【详解】由二面角的平面角的定义知，
，
由，得，又，
，
所以，即.
7.A
【详解】
取的中点为，连接
因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面
所以平面
因为
所以
如图建立空间直角坐标系，则
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
8.选C
【详解】在正三棱柱中，在平面内过作，显然射线两两垂直，
以点为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
因正三棱柱的所有棱长均为1，则，
，因动点在线段上，则令，
即有点，因此点到直线的距离
，当且仅当时取等号，
所以线段上的动点到直线的距离的最小值为.
二､多选题
9.选ACD
【详解】对于A选项，若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为，A对；
对于B选项，方程表示过点，且斜率为的直线，但不包括直线B错；
对于C选项，将直线方程变形为，由可的，
所以，直线过定点，
当直线与垂直时，点到直线的距离最大时，因为，则，C对；
对于D选项，如图，
，所以由图可知，或，
则斜率的取值范围是，D对.
10.选BCD
【解析】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，
与不垂直，同理时与不垂直，
当且时，
若，则，
去分母整理得，方程无解，故与不垂直，故A错误；
对于B：设，若，则，即，由，所以方程有解，
则存在点，使得，故B正确；
对于C：如图设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以，
当且仅当三点共线时取等号（在线段之间），故C正确：
11.选ACD
【解析】易知侧面，所以上的点到侧面的距离始终不变，
即正方体的棱长2，而对于三棱锥的体积，故A正确：
如图所建立的空间直角坐标系，则，
可设，则，
设平面的一个法向量为，则，
取，即，显然，
若平面平面，则，
此时G不在线段上，即B不成立；
易知，设直线与所成角为，
则，
显然时，，即取得最小值，此时，故C正确：
如图所示，要满足题意需靠近些，过作，延长交延长线于，连接交于，设，易知，
所以，
由，所以D正确；
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】5
【详解】平面，
存在，使得，
，解得.
13.
14.【答案】
【详解】
取交点于点，
因为直四棱柱的所有棱长都为，
所以，
以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
所以，
，
设平面的法向量为，
则有，令，则，所以，
因为点在四边形及其内部运动，所以设，
又因为，所以，
即，则，
设点到平面的距离为，则有，
又因为，所以时，，
即点到平面的距离的最小值为.
故答案为：.
四､解答题
15.【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，
即.
（2）的中点坐标为，
由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，即.
因为是以为顶点的等腰直角三角形，
所以点在直线上，
故设点为，
由可得：，
解得或，
所以点坐标为或，
则直线的方程为或.
（3）或
16.【小问1详解】
以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
【小问2详解】
设，
则，
设平面的法向量，
则，
令，得，
，
设平面的法向量，
则，
令，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
17.【详解】（1）法一：取线段的中点，连接，
由题意，故，则，于是，
而，则为等边三角形且为的中点，故，
，且面，则面面，
，
且为的中点，
，又，且面，
面面，则，
又，且面，
平面，即在底面上的射影是线段中点；
法二：取线段的中点，设，
由题意得，故，
由，故，则，
，
，代入化简，得，
，即，
同理，又面，
平面，即在底面上的射影是线段中点：
（2）法一：设，作平面，连接，
则即为直线与平面所成角，
在中，，
，
由（1）得，
，由（1）易知：平面与之间的距离为1，
由，则，解得，
在中，
，直线与平面所成角的余弦值为.
法二：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，故，
设面的法向量，则，令，即，
又，
设线与面所成角为且，则，
，直线与平面所成角的余弦值为.
18.【解析】解：（1）因为为坐标原点且，则所在直线方程为，当直线斜率不存在时，直线方程为，点坐标为，
的面积为，
当直线斜率存在时，设直线为，由题意可得，
令，解得，
联立，可得，
由得或，由得或，所以或.
所以的面积
令，则，
则
因为，所以当时，面积最小，
此时，即，则，所以的面积的最小值时所在的直线的斜率为.
（2）下面用弧度表示角，设，则，
由正弦定理得，
所以，
因此
当即时，的面积的最大，最大值为.
（3）因为，所以，
所以当直线斜率不存在时，即时，直线方程为①，
当直线斜率存在时，即时，直线方程为，
整理可得（②）①满足②，所以对②都成立），
同时除以得，
又因为，所以代入③整理得
，对于任意都成立，
所以，解得，
所以直线过定点，定点坐标为.
19.【详解】（1）取的中点的中点，由题意知，，
直角梯形中四边形为正方形，
为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
平面不在面内，
平面
（2）连接，则，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
面，
平面，
，
二面角为锐二面角，为等边三角形，
则，
设为平面的法向量，易知为平面的法向量，
，令
设平面与平面的夹角为，
平面与平面的夹角的正切值为.