长春汽车经济技术开发区第三中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份长春汽车经济技术开发区第三中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．圆的圆心坐标是( )
A.B.C.D.
2．从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是( )
A.3个都是男生B.至少有1个男生C.3个都是女生D.至少有1个女生
3．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现偶数点”，事件“出现3点或4点”，则事件A与B的关系为( )
A.相互独立事件B.相互互斥事件
C.即相互独立又相互互斥事件D.既不互斥又不相互独立事件
4．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412，451，312，533，224，344，151，254，424，142
435，414，335，132，123，233，314，232，353，442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为( )
A.0.4D.0.6
5．直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为( )
A.B.C.D.
6．过点与圆相切的直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
7．集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为a，则直线与直线平行的概率为( )
A.B.C.D.
8．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有( )
A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D.小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
10．以下四个命题为真命题的是( )
A.过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为
B.直线的倾斜角的范围是
C.直线与直线之间的距离是.
D.点P在直线上运动，，，则时的最大值是
11．平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点P的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”.已知平面内点，，，动点P满足，记点P的轨迹为，则下列命题正确的是( )
A.点p的轨迹的方程是
B.过点的直线被点P的轨迹所截得的弦的长度的最小值是
C.直线与点P的轨迹相离
D.已知点M是直线上的动点，过点M作点P的轨迹的两条切线，切点为C，D，则四边形面积的最小值是4
三、填空题
12．圆的半径为________.
13．在一段线路中并联两个自动控制的常用开关,只要其中有一个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,则这段时间内线路正常工作的概率为_________________.
14．如下图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为________m.
四、解答题
15．某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求m的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；
(2)若认定评分在内的学生为“运动爱好者”，评分在内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.
16．已知矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求矩形外接圆的标准方程.
17．已知圆，直线.
(1)若直线l被圆截得弦长为，求直线l的方程；
(2)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦的中点M的轨迹方程.
18．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为.
(1)求直线的方程和点C的坐标；
(2)求的面积.
19．甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.
(1)求甲在一局中得2分的概率；
(2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率；
(3)求游戏经过两局就结束的概率.
参考答案
1．答案：D
解析：圆，即，
所以圆心为.
故选：D
2．答案：B
解析：从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件，故选：B.
3．答案：A
解析：由于表示“出现的点数为4”，所以事件A与B不是互斥事件，
由，，，有，
所以事件A与B是相互独立事件，不是互斥事件.
故选：A
4．答案：C
解析：由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：
533，224，344，254，424，435，335，233，232，353，442共11组，
因此，所求概率为.
故选：C.
5．答案：B
解析：方法一直线的一个方向向量为，，
直线的方程为，即.
方法二由题意知直线的一个法向量为，
直线的方程可设为，将点代入得，
故所求直线的方程为.
故选：B
6．答案：B
解析：因为，所以P在圆O上，则P为切点，
所以切线的斜率k满足，
设切线的倾斜角，，则，即.
故选：B
7．答案：B
解析：从A，B中各任意取一个数相加，有种情况，
当直线，则，则，
当时，从A，B中取一个数相加为的有，，2种情况，
当时，从A，B中取一个数相加为的有，，2种情况，
所以满足条件的有4种情况，
所以满足条件的概率.
故选：B
8．答案：C
解析：记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，
且，.
恰好能答对两道题为事件，，，且，，两两互斥，
所以
，
整理得，他三道题都答错为事件，
故.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平；
对于B，恰有一枚正面向上包括(正，反)，(反，正)两种情况，而两枚都正面向上仅有(正，正)一种情况，
所以游戏不公平；
对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平；
对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：，，，；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平.
故选：ACD.
10．答案：BD
解析：A.过点，且过点的直线方程为，
若直线不过原点，设，，得，即，
所以满足条件的直线方程为或，故A错误；
B.直线的斜率，因为，
所以，则倾斜角的范围是，故B正确；
C.直线，即与直线之间的距离，故C错误；
D.设点B关于的对称点为，
则，解得：，即，
如图，，当A，B，P三点共线时，等号成立，
所以的最大值为，故D正确.
故选：BD
11．答案：ACD
解析：对于选项A：设点，
因为，整理可得，故A正确；
对于选项B：因点P的轨迹方程是，圆心是O，半径是，
且，可知点在圆O内，
过点的直线被圆O所截得的弦最短时，点是弦的中点，
根据垂径定理得弦的最小值是，故B错误；
对于选项C：圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，故C正确；
对于选项D：因为四边形面积，
由数形分析可知：当时，取到最小值，
所以四边形面积取最小值，故D正确；
故选：ACD.
12．答案：
解析：易知，所以半径为.
故答案为：
13．答案：0.91
解析：线路不能正常工作的概率为：,
能够正常工作的概率为,
故答案为：0.91.
14．答案：
解析：以圆拱拱顶为坐标原点，以水平与圆拱相切的直线为横轴，以过拱顶的竖线为纵轴，建立直角坐标系，如下图所示：
由题意可知：设圆的方程为：(其中为圆的半径)，因为拱顶离水面2m，水面宽12m，所以设，代入圆的方程中得：，所以圆的方程为：，当水面下降1m后，设代入圆的方程中得：.
故答案为：
15．答案：(1)，中位数是73.3分；
(2)
解析：（1）依题意，，解得.
前三组的频率为，
所以中位数为分.
（2）的频率为0.25，的频率为0.05，两者的比例是，
所以抽取的6名学生中，中的有5人，记为1，2，3，4，5；
在中的有1人，记为6；
从中抽取2人，基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，
共15种，其中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的是：
16，26，36，46，56，共5种，故所求概率为.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为边所在直线的方程为，且与垂直，
所以直线的斜率为
又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，
即
（2）由，解得点A的坐标为
因为矩形两条对角线的交点为
所以M为矩形外接圆的圆心.
又，
从而矩形外接圆的方程为
17．答案：(1)或；
(2)
解析：（1）圆化为标准方程为，
圆心，半径，
设圆心到直线l的距离为d，因为弦长为，则，解得，
所以，解得，故直线方程为或.
（2）直线，直线过定点，且斜率存在，
设弦的中点，
则，所以，即，
点也满足方程，此时点P与点M重合，直线l的斜率不存在，不合题意，
所以弦的中点M的轨迹方程为.
18．答案：(1)，；
(2).
解析：（1）由点B在上，设点B的坐标是，
则的中点在直线上，
于是，解得，即点，
设A关于直线的对称点为，则有，解得，即，
显然点在直线上，直线的斜率为，
因此直线的方程为，即，
由，解得，则点，
所以直线的方程为，点C的坐标为.
（2）由（1）得，点A到直线的距离，
所以的面积.
19．答案：(1)；
(2)；
(3)
解析：（1）根据题意，画出树状图，如图：
所以每局中共有27种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：
（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、
（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、
（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、
一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率.
（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：
①第一局甲得2分，第二局甲得1分：
则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
此时概率为种情况，
②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，
则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
此时概率为，
综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率.
（3）游戏经过两局就结束总共有4种情况：
①仅1人得3分，记事件为A，则；
②有2人得分为3分，记事件为B，
③仅1人得4分，记事件C：
一人得4分，另两人各负2分：，
一人得4分，一人得负2分，一人得1分：，
一人得4分，另两人各1分：，
；
④有2人分别得4分，记为事件D：则
综上所述：游戏经过两局就结束的概率.