河北省石家庄二中本部2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题-A4答案卷尾

这是一份河北省石家庄二中本部2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题-A4答案卷尾，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 时长：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．“”是“直线：与直线：垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（ ）
A．B．C．D．
3．已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（ ）
A．
B．（除去两点）
C．（除去两点）
D．（除去两点）
4．已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是( )
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（ ）
（1）四边形PAMB的面积最小值为
（2）最短时，弦AB长为
（3）最短时，弦AB直线方程为
（4）直线AB过定点
A．1B．2C．3D．4
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．以下四个命题为真命题的是（ ）
A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为
B．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为
C．直线与直线之间的距离是
D．点P在直线上运动，，则的最大值是
10．已知，圆，则以下选项正确的有（ ）
A．圆C上到B的距离为2的点有两个
B．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则的最小值为
C．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则弦的中点的轨迹方程是
D．若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，则的最小值为
11．如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，则（ ）
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是 .
13．已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是 .
14．若实数、、、，满足，，，则的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知以点A-1,2为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于
(1)求圆的方程；
(2)当时，求直线的方程．
16．已知一条动直线，
(1)求直线恒过的定点的坐标；
(2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；
(3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.
17．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，长轴长与短轴长之和为6.
(1)求的方程；
(2)设为上一点，.若存在实数使得，求的取值范围.
18．已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为．
(1)求边所在直线方程；
(2)以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程.
19．已知圆，点，为坐标原点.
(1)若，求圆过点的切线方程；
(2)若直线与圆交于，两点，且，求的值；
(3)若圆上存在点，满足，求的取值范围.
1．A
【分析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断．
【详解】若，则，解得或.
所以由可以得到，反之则不然，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．D
【分析】由已知可得椭圆的半焦距，再结合椭圆的长轴可得短轴长度.
【详解】由已知，，
又，即，
所以，解得，
故的短轴长为，
故选：D.
3．B
【分析】设点，由，可得，又点与点不重合且不共线，所以需除去两点．
【详解】设点，
由，得，
即，
又点与点不重合且不共线，所以需除去两点．
故选：B．
4．B
【分析】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解.
【详解】由直线过定点，
又由曲线，可得，
作出曲线与直线的图象，如图所示，
因为直线，可得，
又由，解得，
若直线与曲线有公共点，则，
即实数的取值范围为.
故选：B.
5．A
【分析】结合椭圆的对称性以及椭圆的定义得到，在中结合余弦定理可得，进而结合离心率的公式可以求出结果.
【详解】
取椭圆的右焦点，连接，由椭圆的对称性以及直线经过原点，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又因为，则，而，因此，由于，则，
在中结合余弦定理可得，
故，即，所以，因此，
故选：A.
6．B
【分析】化已知直线为，即有且，解方程可得定点Q，可得M在以PQ为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值．
【详解】解：直线，即，
由，求得，直线经过定点．
由为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，
可得圆心为PQ的中点，半径为，
则与M的最大值为，
则与M的最小值为，
故MN的范围为：，
故选B．
【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．
7．B
【分析】求出圆关于直线的对称圆的方程，由对称圆与圆有公共点可得答案．
【详解】圆的圆心为，
设关于直线的对称点为，
所以，解得，
关于直线的对称点为，
由题意得，以为圆心，以为半径的圆与圆有公共点，
所以，解得：.
故选：B．

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出圆关于直线的对称的圆与圆有公共点，考查了学生思维能力.
8．A
【分析】四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，当最短时，面积最小，当时，最短，求出面积即可得（1）错误；结合（1）和弦长公式以及几何关系可得（2）正确；当短时，由两直线平行得到斜率关系，再求出AB的直线方程，利用点到直线的距离求出，再结合几何关系确定的取值可得直线方程，最后可得（3）错误；设圆上一点，由向量的数量积为零得到关于点的两条直线方程，解方程组即可得到定点坐标，可得（4）错误；
【详解】对于（1），四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即，
最短时，面积最小，故当时，最短，
即，
，故（1）错误；
对于（2），由上述可知，时，最短，故最小，且最小值为，
所以，故（2）正确；
对于（3），当短时，则，又，所以，
可设AB的直线方程为圆心到直线AB的距离，
解得或，
由于直线AB在圆心的右侧，且在直线l的左侧，
所以，所以，即直线AB的方程为，故（3）错误；
对于（4），设圆上一点，
，
易知，由于，
所以，同理，
，，
，即，
令，
解得，所以直线AB过定点为，故（4）错误；
故选：A．
9．CD
【分析】A选项，分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，代入，求出直线方程；B选项，过定点，求出，数形结合得到或，得到答案；C选项，，利用两平行线距离公式求出答案；D选项，求出点B关于的对称点为，数形结合，当A，，P三点共线时，等号成立，所以的最大值为，故D正确．
【详解】对于A，当截距为0时，设直线方程为，将点代入，
，解得，故直线方程为，
若直线两截距不为0时，设，将点代入，
，解得，即，
所以满足条件的直线方程为或，故A错误；
对于B，方程可化为，所以直线过定点，
直线的斜率为k，因为直线和以为端点的线段相交，
所以或，其中，
所以实数k的取值范围为，B错误；
对于C，直线，
与直线之间的距离，故C正确；
对于D，设点B关于的对称点为，
则，解得：，即，
如图，，
当A，，P三点共线时，等号成立，所以的最大值为，故D正确．
故选：CD．
10．BCD
【分析】A由定点到圆心距离及圆的半径判断；B首先判断在圆内，再根据所截弦长最短知直线与垂直，写出直线方程，进而求最小弦长；C由题意的轨迹是以为直径的圆，即可得圆的方程；D根据切线性质判断、和两个切点所成的四边形为正方形，进而可知的轨迹是以为圆心，为半径的圆，最后求定点到圆上点的最小值即可.
【详解】由题设，圆心为且半径，则，故，
所以圆C上到B的距离为2的点有一个，A错误；
由，即在圆内，故过A的直线被圆C所截得的弦长最小，只需直线与垂直，故直线为，此时，B正确；
若过A的直线被圆C所截得的弦的中点为，则，
故的轨迹是以为直径的圆，所以轨迹方程为，C正确；
若D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，结合切线的性质知：、和两个切点所成的四边形为正方形，
所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即，而，
故该圆上点到的最小值为，D正确.
故选：BCD
11．BCD
【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长a，b，再逐项计算、判断作答．
【详解】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，解得，A错误；
显然，则，离心率，B正确；
当以椭圆短轴所在直线为x轴，长轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，C正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D正确.
故选：BCD
12．
【分析】根据余弦函数性质求出斜率范围，然后利用正切函数性质求解可得.
【详解】记直线的倾斜角为，则，
因为，所以，则，
所以.
故答案为：
13．
【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果.
【详解】
设过的两条直线与圆分别切于点，
由两条切线相互垂直，知：，
又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直，
所以，即得，所以，
所以椭圆C1的离心率，又，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：首先假设过P所作的圆C2的两条切线互相垂直求出，再由椭圆的有界性构造含椭圆参数的不等关系，即可求离心率范围.
14．
【分析】设，两点在圆上，，可得到直线的距离，由此利用两平行线的距离，即可求解的最大值。
【详解】设,
因为实数，
所以两点在圆上，且,
所以，所以是等边三角形，，
点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
在第三象限，所在直线与直线平行，
可设，
由圆心到直线的距离为，可得，解得，
即有两平行线之间的距离为，
所以，
所以，
所以的最大值为。
故答案为：。
【点睛】本题主要考查了代数式的最大值的求法，以及圆的性质和点到直线的距离公式等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。
15．(1)
(2)或
【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程；
(2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程
【详解】（1）易知A-1,2到直线的距离为圆A半径r，
所以，
则圆A方程为
（2）过A做,由垂径定理可知，且，
在中由勾股定理易知
当动直线斜率不存在时，设直线的方程为，
经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知，
显然合题意，
当动直线斜率存在时，过点，设方程为：，
由A-1,2到距离为知得，
代入解之可得，
所以或为所求方程．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将直线整理成直线系方程，求出定点坐标即可；
（2）由直线不经过第二象限，分类整合求出m的取值范围即可.
（3）由题意设出直线的截距式方程，代入定点，解出方程再化成一般式即可.
【详解】（1）由题意，
整理得，所以不管取何值时，
直线恒过定点的坐标满足方程组，解得，
即
（2）由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时，
此时直线是，显然满足题意；
当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时，
则纵截距小于或等于零即可，令，则，
即 ，解得；
综上所述：
（3）设直线方程为，则，
由直线恒过定点，得，
由整理得：，
解得或，
所以直线方程为：或，
即或，
又直线的斜率，
所以不合题意，
则直线方程为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合离心率列式解得，即可得椭圆方程；
（2）根据椭圆定义可得，根据两点间距离公式结合椭圆方程列式求解即可.
【详解】（1）因为椭圆的长轴长与短轴长之和为6，则，即①，
又因为，结合可得②，
联立①②解得，所以的方程为.
（2）设Px,y，则，
因为存在实数使得，即，
可得，
又因为，则，可得，
所以的取值范围为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）借助中线的性质与高的性质计算可得、两点坐标，即可得直线方程；
（2）借助切线的性质与面积公式计算可得时，四边形面积最小，结合两圆公共弦的求法可得直线的方程.
【详解】（1）因为边上的高线所在直线的方程为，
且直线的斜率为，则，故直线的方程为，即，
联立直线和直线的方程可得，解得，即点，
设点，则线段的中点为，
由题意可得，解得，
即点，则，即；
（2）因为，
，
，
则，
故圆的半径为，
所以，圆的方程为，
由与圆相切，故,
又，故取最小值，四边形面积最小，
则当为点到直线的距离时，
即时，四边形面积最小，
设，有，
解得，故，由与圆相切，故、、、四点共圆，
切该圆以为直径，圆心为，即，半径为，
即该圆方程为，即，
又圆的方程为，即，
两圆方程作差得，
即直线为.
19．(1)或；
(2)；
(3).
【分析】（1）把代入，设出切线方程，利用点到直线距离公式计算即得.
（2）联立直线与圆的方程，结合韦达定理及给定的数量积计算即得.
（3）求出点的轨迹方程，利用两圆有公共点列出不等式求解即得.
【详解】（1）当时，圆的圆心，半径，
而点到直线的距离为2，因此圆过点的切线斜率存在，设方程为，
则，解得或，
所以所求切线方程为或.
（2）由消去得，，
设，则，
由，得，则，
整理得，则，即，解得，满足，
所以.
（3）设点，由，得，
整理得，即，因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，
依题意，圆与圆有公共点，即，则，
整理得，解得，
所以的取值范围是.