2024-2025学年河北省石家庄市高二上学期期末数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市高二上学期期末数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线与直线相互平行，则实数m的值是（ ）
A．或1B．1C．D．6
4．已知等差数列满足，则的值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
5．已知单位向量与的夹角为，则（ ）
A．B．0C．D．1
6．已知是第一象限角，满足，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，则a，b，c大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知数列，是等比数列，那么下列一定是等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知，为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
11．已知函数,下列结论中正确的是（ ）
A．函数的周期是
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的最小值是
D．函数的图象关于点对称
12．已知过点作圆的两条切线，切点分别为，两点，下列说法正确的是（ ）
A．其中一条切线方程是
B．切线长
C．点到圆上一点的距离最小值为
D．四边形的面积为2
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知正数，满足，则的最小值为 .
14．假如，，且与相互独立，则 ．
15．若一个正三棱锥底面边长为，高为，其内切球的表面积为 .
16．已知抛物线的焦点为F，已知第一象限的点A在抛物线上，连接AF并延长交抛物线于另一点B，且，则的面积是 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若的面积为，求a.
18．第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的分位数（精确到）；
(3)在第四、第五两组志愿者中，采用等比例分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
19．已知数列的前n项和满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
20．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，，
（1）求证：平面平面；
（2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值.
21．已知椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为椭圆的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求．
22．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若不等式，恒成立，求实数a的范围.
答案
1．【正确答案】D
【详解】因为，
所以，
故选：D
2．【正确答案】B
【详解】由题知，，
所以，
故选：B
3．【正确答案】C
【详解】根据题意可知，两直线斜率均存在，由两直线平行可得，即，
解得或；经检验，当时，两直线重合，不合题意，舍去；
所以可得.
故选：C
4．【正确答案】C
【详解】在等差数列中，由得，
所以.
故选：C
5．【正确答案】B
【详解】因为单位向量与的夹角为，所以，，
所以.
故选：B
6．【正确答案】B
【详解】因为是第一象限，则为第一象限角或第二象限角，
且，所以，
由题意可得.
故选：B.
7．【正确答案】B
【详解】因为，所以，
又因为点在上，所以，
即，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
又，所以，故，
则，所以，
则，所以，
所以，
所以的方程为.
故选：B.

8．【正确答案】D
【详解】根据式子结构，构造函数，则，
令，则，令，得，
因此在单调递增，在单调递减，
而，，，
因为，所以，即.
故选：D
9．【正确答案】BD
【详解】由题意，可设等比数列的公比为，则，
等比数列的公比为，则，
对于A，当时，显然不是等比数列，故A错误；
对于B，，
∴数列是一个以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
对于C，举出反例：当，时，数列不为等比数列，故C错误；
对于D，，
∴数列是一个以为首项，为公比的等比数列，故D正确；
故选：BD.
10．【正确答案】ABC
【详解】由题意，
A项, 设所在平面, , 只需即满足题设, 故A错误；
B项，设且且, 此时，B错误；
C项，当，，时，可能垂直于，C错误；
D项，当，，，则，故D正确.
故选：ABC.
11．【正确答案】AC
【详解】解:由题知,
,
故选项A正确;
令,
解得: ,
令,
令,
故选项B错误;
因为,
所以,
故选项C正确;
因为对称中心纵坐标为1,
故选项D错误.
故选:AC
12．【正确答案】ABCD
【详解】由题意，切线斜率存在，设切线方程为：，
则圆心到切线距离，解得：或，
所以切线方程为：或，选项A正确；
由切线长定理：，选项B正确；
点P到圆上一点的距离最小值为 ，C选项错；
由知四边形的面积为2，选项D正确．
故选：ABCD
13．【正确答案】
【详解】正数，满足，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】因与相互独立，且，，则，
所以.
故
15．【正确答案】
【详解】如图正三棱锥，设顶点在底面上的投影为，连接，则，
由底面为等边三角形，且边长为，取边中点，连接，，在上且，
所以：，则，
因为平面，所以在中，，
又因为正三棱锥的三个侧面都是全等的等腰三角形且面积为，
底面的面积为，
设内切球的半径为，且设球心为，由等体积法可知
即，解得：，
所以内切球的表面积为.
故答案为.
16．【正确答案】
【详解】抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知：，
过A做，
由，
，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，
∴直线AB的斜率为，直线AB的方程为，
联立直线AB与抛物线的方程可得：，整理得：，
由韦达定理可知：，则，
而原点到直线AB的距离为，
则三角形AOB的面积，
故．

17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，
所以，则，又，所以.
（2）由（1）及已知有，则，
则由余弦定理得，所以.
18．【正确答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为，所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，所以.
（2）前两个分组频率之和为，前三个分组频率之和为，所以分位数在65和75之间,
即为，所以这100名候选者面试成绩的分位数约为；
（3）第四、第五两组志愿者分别有20人、5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a,b,c,d，
第五组志愿者人数为1,设为e，这5人中选出2人，
所有情况有，，，，，，，，，共有10种情况，
记事件A：选出的两人来自不同组，则A中有，，，共4种情况,
故.
19．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）当，，故，
因为，当时，,
两式相减得：，即，
故数列为等比数列，公比，
所以．
（2），
故，
故，
令①，
②，
①-②得
即，
故．
20．【正确答案】(1)见解析；（2）.
【详解】（1）由，，，得，
∴为直角三角形，且
同理为直角三角形，且．
又四边形是正方形，∴．
又∴.
在梯形中，过点作作于，
故四边形是正方形，∴.
在中，，
∴，，
∴，∴，即.
∵，,，
∴平面,又平面，
∴，又，∴平面，
又平面，∴平面平面．
（2）由（1）可得，，两两垂直，以为原点，
，，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
令，则，
∵，∴
∴点.
∵平面，
∴是平面的一个法向量.
设平面的法向量为.
则，即，可得.
令，得．
∴．
由图形知二面角为锐角，
∴二面角的平面角的余弦值为．
21．【正确答案】（1）；（2）
【详解】（1）由题意可得：，
解得：，
椭圆C的标准方程为：；
（2），
由题意可设：直线：，，
联立： 得：，
则，
，


，
又，
，
解得：，
故，
.
22．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，则，所以，，
故在点处的切线方程为：，即.
（2）由题，，
令，则.
①当，即时，，有在上单调递增，
则，得在上单调递增，
此时，故满足题意.
②当，即时，令，得，
则在上单调递减，又，
得在上单调递减，此时，故不合题意.
综上可得.