2024-2025学年河北省石家庄市高二上学期期末数学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市高二上学期期末数学质量检测试题（附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知四面体是的重心，若，则（ ）
A．4B．C．D．
2．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知为等比数列且各项均为正数，公比为q，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知圆与圆相交于两点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（ ）
A．B．6C．D．
7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线上的一点，目，射线平分，交轴于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知直线：被圆截得的弦长为，点是直线上的任意一点，则的值有可能为（ ）
A．B．1C．2D．3
10．在正三棱柱中，已知，空间点满足，则（ ）
A．当时，为正方形对角线交点
B．当时，在平面内
C．当时，三棱锥的体积为
D．当，且时，有且仅有一个点，使得
11．设数列的前项和为，满足且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．数列为等差数列
C．当时，取最大值
D．设，则当或时，数列的前项和取最大值
12．已知、是椭圆的左、右顶点，是直线上的动点（不在轴上），交椭圆于点，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若点，则
C．是常数D．点在一个定圆上
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知数列满足，，则的通项公式是 .
14．已知向量且共面，则 .
15．设为的导函数，若，则曲线在点处的切线方程为 .
16．已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点A、B在x轴的上方，A、B两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的渐近线方程是 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知数列的前项和为，且是首项为1，公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
18．已知圆C过点且圆心在直线上
(1)求圆C的方程，并求过点的切线方程．
(2)若过点的直线与圆C交于A，B两点，且三角形ABC的面积为10，求直线l的方程．
19．已知函数.
(1)在上是增函数，求a的取值范围；
(2)讨论函数的单调性．
20．如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面．

(1)求证：；
(2)若，在棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21．在平面直角坐标系中，动点Р到点的距离与到直线的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过作两条垂直直线，分别交曲线C于和，且分别为线段的中点，证明直线过定点，并求出定点的坐标.
22．已知椭圆：的离心率为，的左右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，满足.抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点.
(1)若直线与椭圆相交于，两点，且的中点为，求直线的方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
答案
1．【正确答案】B
【详解】取的中点，
所以
，
又，
可得，所以.
故选：B.
2．【正确答案】A
【详解】设直线的倾斜角为，
,
所以，即，
由题意知：，
解得：或．
倾斜角的取值范围是
故BCD错误，A正确，
故选：A
3．【正确答案】A
【详解】因为为等比数列且各项均为正数，所以，
当时，；
当时，；
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
4．【正确答案】D
【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为．
∵直线过点，∴，
化简得．∵切线有2条，
∴，则的取值范围是，
故选：D
5．【正确答案】A
【详解】联立,相减可得直线：，
所以到直线的距离为，
利用圆与直线相交可得：，
所以.
故选：A.
6．【正确答案】A
【详解】由于椭圆的焦点为，所以且焦点在轴上，则，
且，，所以椭圆方程为，
所以，设左焦点为，
根据椭圆的定义得，
当是的延长线与椭圆的交点时等号成立，
所以的最大值为.
故选：A

7．【正确答案】C
【详解】由题意，不妨设P在双曲线右支上，
因为射线平分，，
∴，
由双曲线定义知：，则，，
在中，由余弦定理得：，
得，
∴双曲线的离心率,
故选：C
8．【正确答案】D
【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)，
由直线PQ过抛物线的焦点，则，
圆C2：圆心为(2,0)，半径1，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为13.
故选：D
9．【正确答案】BCD
【详解】圆的圆心为，半径为2，
故到直线的距离为，
由垂径定理得，解得，
即，解得，
则点在直线，
故，
则，
故A错误，BCD正确.
故选：BCD
10．【正确答案】ACD
【详解】对于A，，∴
∴为正方形对角线交点，故A对；
对于B，，时，，平面，故B错.
对于C，时，，∴
∴平面，，，故C对.
对于D，如图建系，，，，，，

，
，，则，点为正方形对角线交点，
点唯一，故D对.
故选：ACD.
11．【正确答案】BD
【详解】对于A，当时，，又，解得，
当时，①，②，①-②得，，
即，化为，
不能对任意的恒成立，，
，故为等差数列，公差为，首项为通项公式为，故A错误；
对于B，，故，
则当时，，故为等差数列，故B正确：
对于C，当时，取得最大值，故C错误；
对于D，令得，令得，则当时，，
当时，，当时，，
当时，，又，
则当或时，数列的前项和取最大值，故D正确，
故选:BD.
12．【正确答案】BCD
【详解】如下图所示：
对于A选项，设点，易知点、，
所以，不是定值，A错；
对于B选项，当点的坐标为，，
则直线的方程为，即，
联立，可得，解得或，即，
所以，，B对；
对于C选项，设直线的方程为，
联立可得，解得或，
则，，
即点，
联立可得，即点，
所以，，C对；
对于D选项，设点，其中，且，则，
，
，则，所以，，
则，所以，，取线段的中点，连接，
由直角三角形的几何性质可知，
所以，点在以线段的直径的圆上，D对.
故选：BCD.
13．【正确答案】
【详解】因为①
所以，
当时，②，
①-②可得，，
所以，
所以数列的通项公式是.
故 .
14．【正确答案】
【详解】若共面，则存在非零实数满足，
则，
即，解得，
所以，则，
所以.
故答案为.
15．【正确答案】
【详解】由题设，则，
所以，则，
综上，点处的切线方程为，即.
故
16．【正确答案】
【详解】设，依题意，设的中点为，
由于，所以，所以，，
由于，所以，
所以，所以或，
由于在双曲线的渐近线上，
所以，两式相减并化简得，，
若，则不符合题意，舍去.
若，则，所以，
所以渐近线方程为.
故
17．【正确答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）当时，，解得.
当时，，两式相减得，
即，
所以是首项､公比均为2的等比数列，故.
又，故.
（2）因为，所以①，②，
①-②得.
所以.
不等式对一切恒成立，转化为对一切恒成立.
令，则，
又，
当时，，当时，，
所以，则.
所以实数的取值范围为.
18．【正确答案】(1)，切线方程为
(2)或或
【详解】（1）由对称性可知圆心C在线段的垂直平分线上，
线段的中点坐标为，
又，故的垂直平分线的斜率为，
故的垂直平分线方程为，即，
联立与，解得，
故圆心坐标为，半径为，
故圆C的方程为，
当过点的直线斜率不存在时，不是圆C的切线，
设过点的切线方程为，
则，解得，
故过点的切线方程为，即；
（2）将代入圆C，，
故点在圆C外，
当过点的直线斜率不存在时，此时直线与圆无交点，舍去，
设过点的直线方程为，
则圆心到直线的距离，
又半径，故由垂径定理得，
又三角形ABC的面积为10，
所以，
解得或，
由于，故或均满足要求，
当时，，解得或，
当时，，解得，
综上，直线l的方程为或或.
19．【正确答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，所以的定义域为，
则，
因为在上是增函数，即在上恒成立，
则在上恒成立，
因为在上恒成立，所以在上恒成立，
即在上恒成立，即，
因为，所以，则，
所以，则.
（2）由（1）得，
当时，，则在上是增函数；
当时，，
所以；
或；
，
所以在上是减函数，在和上是增函数.
20．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【详解】（1）在三棱柱中，由平面，平面，得，
在平面内过作于，由平面平面，平面平面，
得平面，而平面，则有，
显然平面，因此平面，又平面，
所以.

（2）过点作，由，得，
由（1）知平面，平面，则，即直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，，
假定在棱上存在一点，使二面角的余弦值为，
令，则，，
设平面的一个法向量，则，
令，得，显然平面的一个法向量，
依题意，，解得，即，
所以在棱上存在一点，使二面角的余弦值为，.
21．【正确答案】(1)；
(2)证明见解析，定点为.
【详解】（1）令，则，两边平方，
得，则，
所以曲线C的方程为.
（2）若两条直线斜率都存在时，设直线，则，
联立，可得，
则，
所以，则，
故，同理可得，
所以，所以，
则，此时过定点；
若一条直线斜率为0，另一条斜率不存在，易知都在轴上，此时也过定点；
综上，直线过定点，得证.

22．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由，得，则.
又椭圆：的离心率为，设椭圆的焦半径为，
则，解得，则，
所以椭圆.
由直线与椭圆相交于，两点，设，，
∴，，
两式作差得：，
即：，
由的中点为，
可得：，，代入上式得，
当时，，，两点重合，不合题意；
当时，直线的斜率，
∴直线的方程为：，即.

（2）由（1）知，则抛物线的焦点为，
所以，抛物线的标准方程为，准线方程为，
由于点是抛物线的准线上任意一点，故可设，
由直线，分别与抛物线相切于点可知，
直线，的斜率存在且都不为，
设过点的直线方程为，
联立消去,
得关于的方程，
若过点的直线与抛物线相切，
则其判别式，
化简得到关于的二次方程，
由题意知，直线，的斜率即该关于的二次方程的两根，即为、，
则由韦达定理知，，
故为定值，且定值为.