山东省日照实验高级中学2024-2025学年高二上学期阶段性检测数学试卷(含答案)

这是一份山东省日照实验高级中学2024-2025学年高二上学期阶段性检测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数,则z的虚部是( )
A.2B.2iC.D.
2．设x,,向量,,且,,则( )
A.B.C.D.
3．已知m为实数,直线,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知向量，的夹角为钝角，则实数t的取值范围为( )
A.B.C.D.
5．如图，在正四棱锥中，，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6．如图,在平行六面体中,,,,,,则的长为( )
A.B.C.D.
7．已知点在直线,点在直线上,且,的最小值为( )
A.B.C.D.5
二、多项选择题
8．对于直线，下列选项正确的是( )
A.直线l恒过点
B.当时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为
C.若直线l不经过第二象限，则
D.坐标原点到直线l的距离的最大值为
9．在复平面内,下列说法正确的是( )
A.复数,则在复平面内对应的点位于第一象限
B.若复数,则
C.若复数,满足,则
D.若复数z满足,则复数z对应的点所构成的图形面积为
10．已知正三棱柱的所有棱长都为2，P是空间中的一动点，下列选项正确的是( )
A.若，则的最小值为2
B.若，则三棱锥的体积为定值
C.若，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D.若，则平面截三棱柱所得的截面面积为
三、填空题
11．计算:________.
12．在棱长为2的正四面体ABCD中,点M满足,点N满足,则点M与平面BCD的位置关系是________;当最小且最小时,________.
13．已知点,,,点是内(包含边界)一动点,请你结合所学向量的知识,求出的最大值为________.
四、解答题
14．如图,在四棱锥中,,,,,底面ABCD为正方形,M,N分别为AD,PD的中点.
（1）求证:平面MNC;
（2）求点B到平面MNC的距离.
15．(1)已知直线l过定点,且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍,求直线l的方程;
(2)已知入射光线经过点,且被直线反射,反射光线经过点,求反射光线所在直线的方程.
16．已知顶点,边AC上的高BH所在直线方程为,边AB上的中线CM所在的直线方程为.
（1）求直线AC的方程:
（2）求的面积.
17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过B作，交于O，连.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)在线段上存在一点M，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
18．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个顶点,定义多面体M在点P处的离散曲率为,其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点,且平面,平面,…,平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.
（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和;
（2）如图,已知在三棱锥中,平面ABC,,,三棱锥在顶点C处的离散曲率为.
①求直线PC与直线AB所成角的余弦值;
②若点Q在棱PB上运动,求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,
所以z的虚部为.
故选:D.
2．答案：D
解析：因为,则,解得,则,
因为,则,解得,即,
所以,,因此,.
故选:D.
3．答案：B
解析：若,则有,解得,
当时,,,不重合,符合要求;
当时,,,不重合,符合要求;
故“”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
4．答案：B
解析：由，解得
当，共线时，由，即解得，
所以当，夹角为钝角时，
故选：B
5．答案：B
解析：连接交于O，连接，
由四棱锥是正四棱锥，则平面，且.
以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由，不妨设，则，，
在中，，
则，，，，，则，
，，
则，
由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为.
故选：B.
6．答案：A
解析：平行六面体中,,
因为,,,,
所以
,
所以,即的长为.
故选:A.
7．答案：D
解析：由已知表示点到点的距离,
表示点到点的距离,
所以,
过点A作,垂足为,
因为直线的方程为,,
所以,
又直线与直线平行,,
所以,所以,
所以四边形AMNC为平行四边形,所以,
所以,
又,当且仅当三点共线时等号成立,
所以当点N为线段CB与直线的交点时,
取最小值,最小值为,
因为过点与直线垂直的直线的方程为,
联立,可得,
所以点C的坐标为,所以,
所以的最小值为5,
故选:D.
8．答案：ABD
解析：可变形为，由得所以直线l恒过点，故A正确；
当时，直线l在x，y轴上的截距分别为1，1，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，故B正确；
当时，直线l的方程为，直线l也不经过第二象限，故C不正确；
因为直线l过定点，所以坐标原点到直线l的距离的最大值为，故D正确.
故选：ABD
9．答案：ABD
解析：A选项,复数,则,
故在复平面内对应的点为,位于第一象限,A正确;
B选项,设,,,
则,即,
故,,
两边平方得,
故,所以,
即,故,
其中,,故,B正确;
C选项,设复数,,满足,
但,C错误;
D选项,表示原点为圆心,1为半径的圆的外部,
表示原点为圆心,为半径的圆的内部,
则复数z对应的点所构成的图形为如图所示的圆环（包括边界）,
故面积为,D正确.
故选:ABD
10．答案：BCD
解析：如图，建立空间直角坐标系，则，，，
，，.
因为，所以，
所以，
所以.
当，时，，所以A错误；
因为，
所以，
因为平面的法向量为，
所以点P到平面的距离为为定值，
即三棱锥的体积为定值，所以B正确；
因为，
平面的一个法向量为，设与平面所成的角为θ，
所以，，
当时，，所以C正确；
因为，所以，
由图可知平面截三棱柱所得的截面为，
，所以D正确.
故选：BCD.
11．答案：
解析：.
故答案为:
12．答案：平面BCD,
解析：由四点共面定理及三点共线定理可知:
,平面BCD,直线AC,
当最小且最小时,则是等边的中心,是边中点.
所以,,
又因为N是AC边中点,所以
故.
故答案为:平面BCD,
13．答案：
解析：如图,设与x轴的夹角为,因点是内(包含边界)一动点,
由图知,当点P与点B重合时,直线OP的斜率最小,为,此时,
故,因,
故,,则,,
于是,
因,则,由正弦函数的图象可得,,
即,当且仅当时,即时,取得最大值,此时点P与点B重合.
故答案为:.
14．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:在中,因为M,N分别为AD,PD的中点,可得,
因为平面MNC,且平面MNC,所以平面MNC.
（2）因为,,且,DA,平面ABCD,
所以平面ABCD,
以D为原点,以DA,DC,DP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
如图所示,因为,且四边形ABCD为正方形,
可得,,,,,,
所以,,,
设平面MNC的法向量为,则,
取,可得,所以,
设点B到平面MNC的距离为d,则,
即点B到平面MNC的距离为.
15．答案：(1);
(2)
解析：(1)因为直线的斜率为,则直线的倾斜角为,
故所求直线的倾斜角为,直线斜率为,
所求直线的方程为,即.
(2)设关于直线对称的点为,
则解得
因为反射光线经过点,
所以所在直线的斜率为,
故反射光线所在直线方程为,即.
16．答案：（1）
（2）20
解析：（1）边AC上的高BH所在直线方程为,
直线的斜率为1,所以直线AC的斜率为,
所以直线AC的方程为.
（2）边AB上的中线CM所在的直线方程为,
由解得,即.
设,则,
所以,解得,即.
,到的距离为,
所以三角形ABC的面积为.
17．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3).
解析：（1）因为，因为，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
（2）以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，取.
设平面的法向量为，，
由，取，
.
二面角是钝角，
二面角的正弦值为.
（3）设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，
解得，.
18．答案：（1）2
（2）①;
②
解析：（1）由离散曲率的定义得:,
,
,
,
四个式子相加得:.
（2）①如图,分别取AC,BC,AP的中点D,E,F,连接AE,DE,DF,EF,显然有,,
所以为异面直线AB与PC的夹角或其补角,设,因为,所以,,
因为平面ABC,AB,AC,AE,平面ABC,所以,,,,
因为,,所以平面PAC,又因为平面PAC,所以,
由C点处的离散曲率为可得
,
所以,,,
而,,
所以,故异面直线AB与PC的夹角的余弦值为.
②如图,过Q点做交AB与G,连接CG,因为平面ABC,所以平面ABC,
则为直线CQ与平面ABC所成的角,设,
在中,
因为,所以,所以,
故,
当分母最小时,最大,即最大,此时,即（与重合）,,所以的最大值为.