山东省名校考试2025届高三上学期10月阶段性检测数学试卷(含答案)

这是一份山东省名校考试2025届高三上学期10月阶段性检测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,,则( )
A.B.C.D.
2．幂函数的图象大致为( )
A.B.C.D.
3．把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是,空气的温度是,那么tmin后物体的温度（单位:）可由公式求得,其中k是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数.现有的物体,放到的空气中冷却,1min后物体的温度是,已知,则k的值大约为( )
A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5
4．如图所示,一个组合体的上面部分是一个高为0.5m长方体,下面部分是一个正四棱锥,公共面是边长为1m的正方形,已知该组合体的体积为,则其表面积为( )
A.B.C.D.
5．若,是一元二次方程的两个正实数根,则的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
6．已知等差数列和等比数列的前n项和分别为和,且,则( )
A.9B.10C.11D.12
7．已知函数，若是函数的唯一极小值点，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知函数在上有且仅有3个零点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知为数列的前n项和,若,则( )
A.B.数列为等比数列
C.D.
10．已知幂函数的图象过点,则( )
A.
B.为偶函数
C.
D.不等式的解集为
11．已知函数及其导函数的定义域均为R,记,若的图象关于直线对称,且,则( )
A.是偶函数B.是奇函数
C.3为的一个周期D.
三、填空题
12．已知函数,则曲线在处的切线方程是________.
13．已知且,函数,若关于x的方程恰有3个不相等的实数解,则实数a的取值范围是________.
14．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,若,,球O的半径为,则三棱锥体积的最大值为________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）求在上的单调递增区间;
（2）已知的内角A,B,C的对边长分别是a,b,c,若,,求面积的最大值.
16．已知函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）当时,证明:当时,.
17．已知函数.
（1）若为奇函数,求a的值;
（2）当时,函数在上的值域为,求a的取值范围.
18．已知函数.
（1）若在R上单调递减,求a的最大值;
（2）证明:曲线是中心对称图形;
（3）若,求a的取值范围.
19．若存在1,1,2,2,…,n,n的一个排列,满足每两个相同的正整数之间恰有k个正整数,则称数列为“有趣数列”,称这样的n为“有趣数”.例如,数列,6,1,7,1,4,3,5,6,2,3,7,2,5为“有趣数列”,7为“有趣数”.
（1）判断下列数列是否为“有趣数列”,不需要说明理由;
①,1,2,2;
②,1,2,1,3,2.
（2）请写出“有趣数列”的所有可能情形;
（3）从1,2,...,4n中任取两个数和,记i和j均为“有趣数”的概率为,证明:.
参考答案
1．答案：D
解析：由,可得或,又,所以,所以;
由,可得,解得,所以,
所以.
故选:D.
2．答案：B
解析：由函数,可得函数的定义域为R,关于原点对称,
且,所以函数为偶函数,
所以函数的图象关于y轴对称,
又由幂函数的性质得,当时,函数单调递增,
结合选项,选项B符合题意.
故选:B.
3．答案：C
解析：由题意知是,,
代入公式,可得,
则,两边同时取对数得,
即,则,故C正确.
故选:C.
4．答案：B
解析：由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成,且该组合体的体积为,
长方体的体积为,则正四棱锥体积为,
所以正四棱锥的高为,所以正四棱锥斜面上的高,
所以正四棱锥的一个侧面积为,
所以组合体的表面积为,故B正确.
故选:B.
5．答案：C
解析：由若,是一元二次方程的两个正实数根,
所以,,则
所以
,
当且仅当时取等号,故C正确.
故选:C.
6．答案：C
解析：由等差数列和等比数列的前n项和分别为和,
所以可设,,,
所以可得,故C正确.
故选:C.
7．答案：A
解析：
8．答案：D
解析：
,
因为,,
由函数在上有且仅有3个零点,
可得,解得,所以的取值范围是.
故选:D.
9．答案：BCD
解析：A:当时,,解得,故A错误;
B:因为,当时,,
将两式相减可得,即,
则,因,则,
数列为首项为,公比为的等比数列,故B正确;
C:由B可得,所以,故C正确;
D:,故D正确.
故选:BCD.
10．答案：ABC
解析：因为函数为幂函数,所以,解得,
当时,幂函数的图象不可能过点,故,
当,幂函数的图象过点,
则,解得,故AC正确;
的定义域为,且,故为偶函数,故B正确;
函数在上单调递减,
由,可得,
所以,解得且,故D错误.
故选:ABC.
11．答案：ACD
解析：A:因为的图象关于直线对称,故将的图象向右平移2个单位后变为的图象,
此时关于对称,所以是偶函数,故A正确;
B:因为是偶函数,所以关于对称且c为常数,当时,,
又因为,,所以,所以关于对称,故B错误;
C:因为关于对称,所以,所以,
所以①,故②,则①②两式相减得,
即,所以3是的一个周期,故C正确;
D:因为,两边求导得,且的周期为3,
又因为,所以,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：因为,所以.
根据导数的几何意义可知,曲线在处的切线的斜率.
又,
所以,切线方程为,即.
故答案为:.
13．答案：
解析：方程,即或,
当时,,由解得,由解得;
当时,,此时方程只有1个实数解,
若,则在上单调递减,,
此时和都有解,不合题意,
若,则在上单调递增,,则.
所以实数a的取值范围是.
故答案为:
14．答案：
解析：设AB,CD的中点为M,N,球心为O,
由题意可得,,由题意可得,
当O,M,N在同一直线上时,的面积最大,最大面积为,
设C到平面ABN的距离为d,由题意可得D到平面ABN的距离也为d,
当平面ABN时,d取最大值,
所以三棱锥体积的最大值为.
故答案为:
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）
,
由,,得,,
又,所以函数在上的单调递增区间为;
（2）由,得,
所以,所以,因为,所以,
又,在中,由余弦定理可得,
所以,当且仅当时取等号,
所以.
所以面积的最大值为.
16．答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析：（1）因为的定义域为,
所以,
当时,恒成立,所以在上单调递增;
当时,令,得,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
综上,当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
（2）当时,,
令,则,
令,则,
因为,所以,
所以当时,恒成立,所以在上单调递减,
即在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,
所以,即.
17．答案：（1）1或
（2）
解析：（1）由,所以,
因为为定义域上的奇函数,所以,
即,化简得,
则,则得,
所以或.
（2）当时,,所以是单调增函数,
由函数在上的值域为,
所以,,
即m,n是函数的两个解,则得,
设,则,,
根据对勾函数性质可得在上单调递减,上单调递增,
其中在上的值域为,当时取最大值,
综上可得,所以a的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）由函数,所以,
令,因为若在R上单调递减,则恒成立,
因为,当且仅当时取等号,
则,所以,即,得.
故a的最大值为.
（2）证明:由（1）知,则,
则,
所以曲线关于点对称,是中心对称图形.
（3）当时,则当时,,与矛盾,所以;
当,时,则当时,,与矛盾;
当,时,则当时,,与矛盾;
所以.
当,则当时,,
此时,矛盾;
当,则当时,,
此时,矛盾;
因此,所以,
当,由（1）可知在R上单调递减,又,
所以当时,,在区间上单调递增;
当时,,在区间上单调递减;
此时,符合题意;
当,则当时,,
此时,则,不合题意.
综上所述:a的取值范围是.
19．答案：（1）①不是;
②是
（2）4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4
（3）证明见解析
解析：（1）①,2,1,2中两个之间间隔数只有一个,故不是“有趣数列”,
②,1,2,1,3,2中两个之间间隔数有个,两个2之间间隔数有2个,
两个之间间隔数有个,故是“有趣数列”.
（2）当两个中间为,不妨设右边两个2中间可能为1,3或1,4,
则可能为4,3,1,2,1,3,2,4或4,3,1,2,1,4,2,3,不符合题意;
当两个中间为,两个中间可能为3,4或4,3,
则可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4,符合题意;
当两个中间为4,不妨设1,4,1右边两个2中间可能为3,4或4,3,
则可能为1,4,1,2,3,4,2,3或1,4,1,2,4,3,2,3,不符合题意;
综上所述:“有趣数列”可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4.
（3）将“有趣数列”中数字第一次出现的项记作项,
由题意可知数字k第二次出现的项为项,
于是,则,
即,又因为为整数,故必有为整数,
当时,不可能为整数,不符合题意;
当时,为整数,构造“有趣数列”为
,2m,,,…1,,1,…,,
2m,…,,,…,,…,,,
,2,…,2,,,2,…,,…,,,
符合题意;
当时,为整数,构造“有趣数列”为
,2m,,,…1,,1,…,
2m,…,,4m,,…,,,
,…,2,,,2,…,,,,,4m,
符合题意;
这里,,…,2m是指将一直到2m的偶数按从大到小的顺序进行排列,
,…,1是指将一直到1的奇数按从大到小的顺序进行排列,
故1,2,…,4n中的“有趣数列”为3,4,7,8,…,,4n共2n个,
则所求概率为.