山东省青岛第五十八中学2024-2025学年高二上学期阶段性模块检测数学试题

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12．－3或3 13. 14.
15.【详解】（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率，
直线方程为，即；
②当直线l不过原点时，∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，
∴可设直线l的方程为：．
∵直线l过点P（-3，4），，解得a=-1．
∴直线l的方程为：，即．
综上所述，所求直线l方程为或．
（2）设直线l的方程为，由直线l过点P（-3，4）得：．
，化为，当且仅当a=-6，b=8时取等号．
∴的面积，其最小值为24．
16．（1）由频率分布直方图有，解得，
因为，所以中位数在区间内，设为x，则有，得，
（2）设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，“任选一道题，丙答对”，
则由古典概型概率计算公式得：，，所以有，
记“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有，且有与互斥，
因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立，
所以，
17.（1）由题可知，解得；
（2）由原始分在和中的频率之比为，
故抽取的6人中，原始分在中的有2人，记为，在中的有4人，记为，
则从6人中抽取2人，所有可能的结果有：
共15个基本事件，
其中抽取这2人中怡有一人原始成绩在内的结果有：
共8个基本事件，
所以抽取这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；
（3），
.
18．（1）如图所示：作中点，连接，
，
是等边三角形，
又，
满足，即有，
而，所以，，平面，
平面，而平面，所以，又因为是中点，
所以.
（2）若，则，易知，
以点为原点，分别以方向为轴，以过点竖直向上的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
过点作，垂足为，易求，，
则，
，，，
设平面的法向量为，则有，即，
令，则，，所以，
同理可得：平面的法向量，
则.
因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为
19.（1）法一：由已知平面平面，，且平面平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又由，且，所以，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
在内，过点A做于点F，因为平面平面，且交线为PD,
所以平面.所以AF为所求.
由
法二：空间向量
（2）解：以E为原点，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则点．
所以．
设平面的法向量为，所以，即，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
（3）解：“线段上存在点M，使得平面”等价于“”．
因为，设，，
则，．
由（2）知平面的法向量为，
所以，解得，
所以线段上存在点M，即中点，使得平面．