福建省漳州市部分区县2024−2025学年高一上学期开学联考 数学试题（含解析）

这是一份福建省漳州市部分区县2024−2025学年高一上学期开学联考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．如图为一种结构简单的长方体空心结构件，其具有较高的强度和刚性，广泛应用于建筑领域、桥梁工程、汽车制造、航空航天以及环保方面.图中箭头所指方向为正面，则该几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．某校组织全体党员赴革命老区开展“重走红军路，感悟革命精神”的党员主题实践活动，全程80千米.学校通知上午七点整大家乘大巴车前往目的地，因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走，结果正好按原计划到达目的地.设大巴车原计划的平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ）
A．摸出白球B．摸出红球C．摸出绿球D．摸出黑球
4．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为.若是“相随数对”，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
6．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了特例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形[如图(1)所示]，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由三段圆弧围成的曲边三角形，图（2）是等宽的勒洛三角形和圆.下列说法错误的是（ ）
A．勒洛三角形不是中心对称图形
B．图（1）中，点A到上任意一点的距离都相等
C．图（2）中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心的距离都相等
D．图（2）中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等
7．能够完全重合的两块直角三角形纸片按如图方式摆放，，.连接，交于点，交于点，若，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，点H是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，，若反比例函数的图象经过C，H两点，则k的值是（ ）

A．B．12C．D．15
二、多选题（本大题共3小题）
9．设集合，且，则实数a可以是（ ）
A． B．1C． D．0
10．已知，且不等式恒成立，则的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
11．设非空集合，其中，若集合S满足：当时，有，则下列结论正确的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知一粒米的质量是0.000021千克，0.000021用科学记数法表示为 .
13．如果两个正数，即，，我们把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即.该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具.根据上述结论，若，则的最小值为 .
14．如图，在中，，点是上一动点，将沿翻折得到，点恰好落在上.若，，则线段的长为 .

四、解答题（本大题共5小题）
15．先化简、再求值：，其中.
16．设全集，集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17．如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
18．仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中是骑行公路.经测量，点C在点B正南方，点D在点B正东方，，米，点A在点B的北偏西23°方向，米，点E在点D正北方且在点A正东方.(参考数据：，，，)
(1)求的距离；(结果精确到个位)
(2)小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线步行到达基地，速度为；小亮以的速度沿到达点A后，立即骑行到达点E，骑行速度为，请计算说明小华和小亮谁先到达E点？
19．已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点.

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接交于点，当时，请求出点的坐标；
(3)如图2，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标.
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据三视图的定义即可得解.
【详解】该几何体的主视图为：
.
故选C.
2．【答案】D
【分析】由题意得实际速度为，求出原计划所需时间及实际所用时间，结合时间关系列方程即可.
【详解】由已知可得实际速度为，
所以原计划所需时间为，实际所用时间为，
所以.
故选D.
3．【答案】B
【分析】根据给定条件，利用古典概率公式逐项计算即得.
【详解】对于A，摸出白球的概率为，不符合题意；
对于B，摸出红球，符合题意；
对于C，摸出绿球，不符合题意；
对于D，摸出黑球，不符合题意.
故选B.
4．【答案】B
【详解】因为不等式恒成立，则，
因为，，由可得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，故，
所以，即，解得，
则实数的取值范围是．
故选B．
5．【答案】A
【分析】根据新定义可得，化简可求，化简并代入求值即可.
【详解】因为是“相随数对”，
所以，
所以，即，
所以.
故选A.
6．【答案】C
【分析】勒洛三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，判断A,根据定义判断B,根据勒洛三角形上的点到等边三角形的中心的距离不一定相等判断C,应用弧长公式计算判断D.
【详解】勒洛三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A正确；
题图（1）中，点A到上任意一点的距离都相等，故B正确；
如图，连接，连接并延长交于点G，
设等边三角形DEF的边长为a，易得，，，
勒洛三角形上的点到等边三角形DEF的中心的距离不一定相等，故C错误；
设等边三角形DEF的边长为a，则勒洛三角形的周长，圆的周长，
勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故D正确.
故选C.
7．【答案】D
【分析】过E作于H，证明四边形是矩形，由勾股定理可求，证明，由此可求，再证明，结合相似三角形性质求.
【详解】根据题意知：，，
过E作于H，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D.
8．【答案】D
【分析】过点C作轴，再结合图形特征得出H的坐标，最后设点应用到反比例函数关系求参即可.
【详解】过点C作轴，延长交于点F，

与x轴平行，与y轴平行，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点H的纵坐标为，
设，则，
反比例函数的图象经过C，H两点，
，
，
，
，
故选D.
9．【答案】ACD
【分析】由，可得，对集合N分类讨论可得结果.
【详解】，因为，所以，
因为，所以当时，，满足，
当时，，满足，
当时，，满足，
故选ACD.
10．【答案】AB
【分析】令，，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以，再利用基本不等式计算出的最小值，即可求出的取值范围，即可得解.
【详解】令，，因为，，所以，，
则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），
则，
当且仅当时取等号，即时取等号，
因为不等式恒成立，
所以，则.
故选AB.
11．【答案】AB
【分析】根据题意，求得或，且，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】因为非空集合，满足：当时，有，
所以当时，由，即，解得或，
同理，当时，由，即，解得，
对于A中，若，则必有，则，解得，故A正确；
对于B中，若，则，解得，故B正确；
对于C中，若，则必有，则，此时，所以，故C错误；
对于D中，若，则满足，解得或，故D错误.
故选AB.
12．【答案】
【分析】根据科学记数法的表示方法即可.
【详解】0.000021千克千克；
故答案为：.
13．【答案】
【分析】令，由条件可得，结合所给结论可求的最小值.
【详解】，时，，
，
令，
，
，，
，
的最小值为.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】过作于，由条件证明 ，，由此可求，根据直角三角形勾股定理求，由此可求.
【详解】过作于，

在中，，，，
∴，，，，
∵，
∴，
∵将沿翻折得到，点恰好落在上，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：.
15．【答案】，
【分析】对原式第一项中被除式通分，除式的分子，分母分别分解因式，再结合分式的运算法则化简，得到最简结果，结合条件求，再代入求值．
【详解】
，
∵，
∴，
∴原式.
16．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据分式不等式以及一元二次不等式的求解，根据补集与交集的运算，可得答案；
(2)根据必要不充分条件的集合表示，建立不等式，可得答案.
【详解】(1)由得：，解得：，
则，；
当时，，解得，
则；.
(2)由（1）知：；由,
解得：，即，
是的必要不充分条件，是的真子集，
且等号不会同时取到，解得，
即实数的取值范围为.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)连接，证明，再证明，由此可得，结合切线性质证明结论.
(2)由条件求，解三角形求，结合三角形面积公式和扇形面积公式可求阴影部分面积.
【详解】(1)连接，

是直径，
，
，，
，
，
， 是的半径，
直线是的切线；
(2)，，
，
，
在中，，，
，解得，
．
18．【答案】(1)的距离约为550米；
(2)小亮先到达E点.
【分析】(1)设的延长线交于点F，可得和都是直角三角形，四边形是矩形，，再利用锐角三角函数求解即可；
(2)在中，求解米，在中，求解米，再进一步求解即可．
【详解】(1)设的延长线交于点F，
由题意知：和都是直角三角形，四边形是矩形，，
在中，
∵，米，
∴(米)，
∴米，
∴在中，
∵，米，
∴(米)，
∴(米)，
答：的距离约为550米；
(2)在中，
∵，米，
∴(米)，
∴在中，
∵，米，
∴(米)，
∴米，
∴小华到达E点所花时间为，
小亮到达E点所花时间为，
∵，
∴小亮先到达E点.
19．【答案】(1)；
(2)点；
(3)点.
【分析】(1)由条件可得抛物线的对称轴为，且时，，列方程可求，由此可得抛物线解析式；
(2)由(1)求点的坐标，再求，由条件结合三角形面积公式证明，过点作轴于点，解三角形求，由此可得结论；
（3）设直线交轴于点，由条件可求，利用待定系数法求的解析式，联立方程组求点的坐标.
【详解】(1)∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴方程为，且时，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
(2)令，得，
解得：，，
∴，，
令，则，
∴，
∴，
∴，，
∵，设点到的距离为，
∴，
∴，
过点作轴于点，则是等腰直角三角形，

∴，
∴，
∴；
（3）设直线交轴于点，

∵，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，又点在第二象限，
所以
∴.