福建省泉州市部分地区2024−2025学年高一上学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份福建省泉州市部分地区2024−2025学年高一上学期开学考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是（ ）
A．4B．C．5D．
3．已知有理数a，b满足，则的值为（ ）
A．B．C．或0D．或0
4．如图，是半圆O的直径，点D是弧的中点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
6．一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图1所示．在一张不透明的桌子上，按图2方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（ ）
A．31B．32C．33D．34
7．如图，在中，，，，点D在边上．连接．按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于M，N两点；（2）再分别以M，N两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；（3）连接并延长，分别交，于E，F两点．若，连接，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
8．如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点，抛物线的顶点为D．下列结论正确的是（ ）

①若，则
②当时，且y的最小值为
③抛物线上有两点和，若，且，则
④当时，对于抛物线上两点、，若，则
A．②③B．①②C．③④D．②④
二、多选题（本大题共2小题）
9．下列命题中，是真命题的有（ ）
A．集合的所有真子集为
B．若（其中），则
C．是等边三角形是等腰三角形
D．
10．已知命题：，，则命题成立的一个充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
11．若点，，则点A关于点B的对称点的坐标是 ．
12．使分式与的值相等的x的值为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，连接，将绕点A逆时针旋转到，此时点B恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
14．配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成(a、b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题
（1）已知29是“完美数”，请将它写成(a、b是正整数)的形式__________；
（2）若可配方成(m、n为正整数)，则__________；
探究问题
（3）已知(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
15．设命题，使得不等式恒成立；命题，使得不等式成立．
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
16．“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间满足如图所示的函数关系．

(1)求每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)
(2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元？
17．如图，是的直径，与相交于点E．过点D的圆O的切线，交的延长线于点F，．
(1)求的度数；
(2)若，求的半径．
18．半挂车是挂车中的一种类型，是通过牵引销与半挂车头相连接的一种重型运输交通工具.如图是一种轻体侧翻自卸半挂车.图1是半挂车拉货状态截面示意图，图2是其卸货状态截面示意图，四边形为矩形，已知该车的车厢长为13米，宽为2.5米．高为2米，车板离地的距离为1米．请你计算：


(1)该半挂车的车厢容积为______立方米；
(2)该半挂车卸货时，车身侧翻，侧翻角度为可全部卸完货物，求此时车身最高点离地面的距离.（参考数据：，，，结果保留一位小数.）
参考答案
1．【答案】D
【分析】解一元二次不等式可求得集合，易知，可得结果.
【详解】解不等式可得，
易知，所以.
故选D.
2．【答案】B
【分析】由众数得，进一步由中位数的概念即可得解.
【详解】这组数据的众数4，
，
将数据从小到大排列为：2，3，4，4，5，6，7，9.
则中位数为：4.5．
故选B．
3．【答案】C
【分析】分4种情况讨论即可.
【详解】因为，
当，时，原式=；
当，时，原式；
当，时，原式；
当，时，原式．
故选C．
4．【答案】C
【分析】首先求出，根据四点共圆性质得，再根据等腰三角形性质即可求解.
【详解】是半圆O的直径，
，
，
，
四边形是半的内接四边形，
，
点D是弧的中点，
，
，
，
故选C．
5．【答案】D
【分析】对其中一个方程组进行适当变形，结合方程组解的概念即可列方程组求解的值.
【详解】可化为：，
关于x，y的方程组的解是，
的解为：；
解得：．
故选D．
6．【答案】B
【分析】找到三组位置关系为对面的数字，分析使题图2中几何体能看得到的面上数字之和最小时各正方体所能看到的数字，求出该几何体能看得到的面上数字之和最小的值.
【详解】由正方体表面展开图可知，“1”与“3”，“2”与“4”，“5”与“6”所在的面是对面，
因此要使题图2中几何体能看得到的面上数字之和最小，
最右边的那个正方体所能看到的4个面的数字为1，2，3，5，最上边的那个正方体所能看到的5个面的数字为1，2，3，4，5，
左下角的那个正方体所能看到的3个面的数字为1，2，3，
所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为．
故选B.
7．【答案】B
【分析】将转换为，故只需分别求出即可求解.
【详解】∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
过点F作，
则：为等腰直角三角形，
设，则：，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选B．
8．【答案】D
【分析】由题意得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再结合二次函数的性质、已知条件逐一判断各个选项即可.
【详解】∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
对于①，当时，点A坐标为，
∴点B坐标为，
∴，故①错误；
对于②，∵，抛物线开口向上，抛物线与x轴的交点为点和，
∴当时，x的取值范围为，且最小值为，故②正确；
对于③，∵对称轴为直线，，且，
∴到x轴的距离小于到x轴的距离，
∴，故③错误；
对于④，当时，，
令，则，
解得，，
∴，，
若，则，
∴，
∴，故④正确．
∴正确的有②④，
故选D．
【方法总结】抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再结合二次函数的性质即可.
9．【答案】BC
【分析】根据真子集的定义即可判断A；根据等集的定义即可判断B；根据子集的定义即可判断C、D.
【详解】集合真子集是，共3个，所以A为假命题；
由，知，，则，则B为真命题；
等边三角形是特殊的等腰三角形，所以C为真命题；
，所以，所以D为假命题．
故选BC.
10．【答案】ABD
【详解】由命题：，．
故命题成立的一个充分条件是的子集，
对照四个选项，ABD符合要求.
故选ABD．
11．【答案】
【分析】设所求为，根据中点坐标公式列方程求出即可.
【详解】∵点A关于点B的对称点为，
∴B为的中点，
设的坐标为，
∴，，
∴，
∴的坐标是．
故答案为：．
12．【答案】9
【分析】直接解分式方程即可求解.
【详解】根据题意得：，
去分母得：，解得，
检验：当时，，
∴原方程的解为，
即使分式与的值相等的x的值为9．
故答案为：9．
13．【答案】
【分析】通过全等三角形（一线三垂直模型）求得点的坐标，进一步根据点在反比例函数图象上求得的值即可.
【详解】过点A作轴于点C，过点B作于点D，
∵点A的坐标为，连接，将绕点A逆时针旋转到，
∴，，，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【方法总结】通过全等三角形求得点的坐标，点在反比例函数图象上代数求得的值.
14．【答案】（1）；（2）6；（3）13，理由见解析．
【分析】（1）根据完美数的定义即可求解；
（2）根据配方法的相关知识即可求解；
（3）根据配方法以及完美数的定义即可求解.
【详解】（1），
故答案为：；
（2）
，
∴，，
∴；
故答案为：6；
（3）
∵S是“完美数”，，也是整数，
∴k可以取13．
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若为真命题，即对于，即可.
（2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出.
【详解】（1）若为真命题，即，使得不等式成立，
则对于，即可.
由于,，则.
（2）若为真命题，即，不等式成立，
则对于，即可.
由于，，，解得
p，q有且只有一个是真命题，则或，
解得.
【方法总结】（1）若为真命题，即时，即可解题.
（2）若为真命题，可以转化为时，，求出的范围，再分类讨论的真假即可.
16．【答案】(1)
(2)每件的售价应定为，可达到10000元
【分析】（1）设其函数关系式为，代入坐标可求函数关系式；
（2）根据题意得：，求解结合条件可得结论.
【详解】（1）由图象可知每月销售量y(件)与售价x(元)之间为一次函数关系，
设其函数关系式为，
将，代入，得，解得：，
∴每月销售y(件)与售价x(元)的函数关系式为且﹔
（2）根据题意得：，
整理得，，解得，，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的，
∴，即，
∴．
∴当这种防护品每件的售价定为70元时，该主播每月的总利润可达到10000元．
17．【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由圆以及平行线的性质即可求解；
（2）首先证明，再结合相似三角形的性质即可求解.
【详解】（1）如图，连接．
为的切线，
．
，
．
，
．
，
．
（2）如图，连接，
，，
．
，
，且，
，
，即，
，
，即半径为2．
18．【答案】(1)65
(2)4.2米
【分析】（1）由长方体体积公式即可求解.
（2）根据解直角三角形知识、锐角三角函数知识求得，相加即可得解.
【详解】（1）根据题意，得，
故答案为：65．
（2）过点D作于点F，交于点M，交于点G，
则，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，

【方法总结】（2）结合直角三角形、锐角三角函数求得，相加即可得解.