2023-2024学年福建省漳州市部分学校高二上学期11月期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省漳州市部分学校高二上学期11月期中联考数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设数列{an}满足a1=−1，且an+1=(1−an)2，则a3=( )
A. 0B. 1C. 4D. 9
2.直线y=2xcs30∘−8的倾斜角为( )
A. 120∘B. 135∘C. 60∘D. 45∘
3.在等差数列{an}中，a3=1，a5=11，则公差d=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.已知圆C的圆心为抛物线y=x2+2x+3的顶点，且圆C经过点(1,6)，则圆C的方程为( )
A. (x−1)2+(y+2)2=20B. (x+1)2+(y−2)2=20
C. (x−1)2+(y+2)2=16D. (x+1)2+(y−2)2=16
5.在等比数列{an}中，已知a4a5a9=a22，则必有( )
A. a72=1B. a15=1C. a13=1D. a14=1
6.设曲线M的方程为 x2+(y−1)2+ x2+(y+1)2=2，则M为( )
A. 一条线段B. 一个点C. 两条射线D. 一个圆
7.直线3x+4y=0与圆M:(x−2)2+(y−1)2=16交于A，B两点，则△MAB的面积为( )
A. 2 2B. 4 2C. 2 3D. 4 3
8.按照小方的阅读速度，他看完《巴黎圣母院》共需820分钟.2023年10月26日，他开始阅读《巴黎圣母院》，当天他读了1个小时，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天减少2分钟，则他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为( )
A. 2023年11月12日B. 2023年11月13日C. 2023年11月14日D. 2023年11月15日
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知数列{an}的前两项为2，16，则{an}的通项公式可能为( )
A. an=14n−12B. an=n+1C. an=2n2D. an=4n−2
10.下列判断正确的是( )
A. 点(1, 3)在直线y= 3x上
B. 点(1,0)到直线y= 3x的距离为12
C. 直线y=2x与直线y=−12x垂直
D. 圆x2+y2=1与圆(x−2)2+y2=1外切
11.若数列{an}不是单调递增数列，但数列{|an|}是单调递增数列，则称{an}是T数列.下列数列是T数列的是( )
A. {2 2−2n}B. {(−4)n}C. {1−n22n}D. {2n3n−1}
12.若曲线(x+ 3)( 3x−y−2)=0与圆x2+(y−m)2=m2恰有4个公共点，则m的取值可能是( )
A. 2B. 3C. −145D. −4
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知无穷数列2，6，12，…，n(n+1)，…，则这个数列的第5项为 ．
14.两平行直线y=2x与y=2x−5之间的距离为 ．
15.若直线ax+y−2=0与两个圆(x−1)2+y2=1，x2+(y−1)2=14都相离，则a的取值范围是 ．
16.一个小球从54米高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的13处，则小球第2次落地时，经过的路程是 米;小球第n(n≥2)次落地时，经过的路程是 米.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+1，求{an}的通项公式．
18.(本小题12分)
已知直线l经过直线l1:x−y+1=0与直线l2:2x+y−4=0的交点．
(1)若直线l经过点(3,3)，求直线l在x轴上的截距;
(2)若直线l与直线l3:4x+5y−12=0平行，求直线l的一般式方程．
19.(本小题12分)
已知数列{an}满足an=an+1+2，a3=−5．
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{1an(2n+1)}的前n项和Sn．
20.(本小题12分)
已知圆M的圆心在y轴上，且经过A(−1,0)，B(1,4)两点．
(1)求圆M的圆心坐标和半径;
(2)若P是圆M上的一个动点，求P到直线x+2y+11=0的距离的最小值．
21.(本小题12分)
已知数列{an}满足an+1=2an+n−1，a1=3．
(1)证明：数列{an+n}是等比数列．
(2)求数列{2nan+n}的前n项和Sn．
22.(本小题12分)
已知圆C:λx2−2x+λy2−4y+6−5λ=0(λ>0)．
(1)证明：圆C恒过两个定点．
(2)当λ=1时，若过点A(−1,0)的直线l与圆C交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，且1y1+1y2等于直线l的斜率，求直线l的斜率．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查数列的递推关系式，属于基础题．
根据递推关系式先求出a2，再求出a3即可．
【解答】
解：因为a1=−1，且an+1=(1−an)2，
所以a2=22=4，
所以a3=(−3)2=9．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角和斜率，属基础题．
由直线方程可得斜率 3，结合直线的倾斜角的取值范围，即可求出倾斜角．
【解答】
解：由题意得y=2xcs30∘−8= 3x−8，
设直线的倾斜角为α，α∈[0°,180°)
则tanα= 3，则α=60∘，
所以该直线的倾斜角为60∘．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
由d=a5−a35−3求解．
【解答】
解：∵{an}是等差数列，
∴公差d=a5−a35−3=11−12=5，
故选C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查圆的方程，属于基础题．
由抛物线的顶点得到圆C的圆心坐标为(−1,2)，再求出圆的半径，得解．
【解答】
解：因为抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标为(−1,2)，所以圆C的圆心坐标为(−1,2)，
又圆C经过点(1,6)，所以圆C的半径R= (−1−1)2+(2−6)2=2 5，
所以圆C的方程为(x+1)2+(y−2)2= 20．
故选B．
5.【答案】D
【解析】分析：
本题考查等比数列的性质，属于中档题．
由等比数列的性质可知a4a5a9=a22a14，从而根据a4a5a9=a22得出a14=1．
解答：
因为4+5+9=2+2+14，所以a4a5a9=a22a14，在等比数列{an}中，各项均不为0，所以必有a14=1．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了动点的轨迹判断，属于基础题．
由方程可得曲线方程表示动点到定点的距离之和，分析即可求解．
【解答】
解： x2+(y−1)2+ x2+(y+1)2=2表示点(x,y)与点A(0,1)，B(0,−1)的距离之和为2，
因为点A(0,1)，B(0,−1)的距离也为2，所以M表示线段AB．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查点到直线距离公式，圆的弦长，属于基础题．
根据题意求出弦心距，再求出弦AB，可得△MAB的面积．
【解答】
解：由题意得圆心M到直线3x+4y=0的距离d=|3×2+4×1| 32+42=2，
则|AB|=2 16−4=4 3，
所以△MAB的面积为12×4 3×2=4 3．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等差数列求和的应用，上容易题，解等差数列的求和公式可得答案
【解答】
解：根据题意，从2023年10月26日开始到读完的前一天，他每天阅读《巴黎圣母院》的时间(单位：分钟)依次构成等差数列，且首项为60，公差为−2，则由60n+n(n−1)2×(−2)⩾820，得(n−20)(n−41)⩽0，且20⩽n⩽41，所以小方读此书20天恰好可以读完，又10月有31日，故他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为2023年11月14日．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查数列的通项公式，属于基础题．
观察数列的特点，即可得到其通项公式．
【解答】
解：因为a1=2，a2=16，
所以{an}的通项公式可能为an=14n−12或an=2n2．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查点在线上，点到直线的距离，两直线垂直，两圆的关系，属于基础题．
根据点在线上，点到直线的距离，两直线垂直，两圆的关系，逐项判断即可．
【解答】
解：对于A，(1, 3)满足方程y= 3x，故A正确；
对于B，点(1,0)到直线y= 3x的距离 3−0 1+3= 32，故B错误；
对于C，直线y=2x与直线y=−12x斜率乘积为−1，故两直线垂直，故C正确；
对于D，两圆心圆心分别为(0,0)，(2,0)，半径都是1，圆心距为2，等于两半径之和，故两圆相外切，故D正确．
故选ACD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查的是数列的新定义，以及数列的单调性，难度适中；
分别判断每个选项中an的单调性，再判断|an|的单调性，即可求解；
【解答】
解答：
当an=2 2−2n时，{an}是单调递减数列，|an|=2 2−2,n=1,2n−2 2,n≥2,
因为|a1|−|a2|=4 2−6<0，
当n≥2时，{2n−2 2}单调递增，
所以{|an|}是单调递增数列，
所以{2 2−2n}是T数列．
当an=(−4)n时， {(−4)n}不是递增数列，因为|(−4)n|=4n，所以{|an|}是单调递增数列，所以{(−4)n}是T数列．
因为1−n22n=12(1n−n)，
所以{1−n22n}是递减数列，因为|12(1n−n)|=12(n−1n)≥0，且{|an|}是单调递增数列，
所以{1−n22n}是T数列．
当an=2n3n−1时，an>0，a1=1>a2=45，
所以{|an|}不是单调递增数列，{2n3n−1}不是T数列．
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
由条件可得直线x+ 3=0， 3x−y−2=0均与圆x2+(y−m)2=m2相交，且两直线的交点(− 3,−5)不在该圆上，即可得关于m的不等式，求解即可．
【解答】解：因为曲线(x+ 3)( 3x−y−2)=0与圆 x2+(y−m) 2= m2恰有4个公共点，
所以直线x+ 3=0， 3x−y−2=0均与圆 x2+ (y−m)2= m2相交，
且两直线的交点(− 3，−5)不在该圆上，
则有 3<|m|,| 3×0−m−2| 3+1<|m|,(− 3)2+(−5−m)2≠m2,
解得m ∈(− ∞，− 145) ∪(− 145，− 3) ∪(2,+ ∞).
故选BD
13.【答案】30
【解析】【分析】
本题考查数列的通项公式的应用，属于基础题．
根据题意，由数列的通项公式，令n=5，计算即可得答案．
【解答】
解：令n=5，得这个数列的第5项为5×6=30．
14.【答案】 5
【解析】【分析】
本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
运用两平行直线的距离公式求解即可．
【解答】
解：两平行直线y=2x与y=2x−5之间的距离为5 22+(−1)2= 5．
15.【答案】(− 3,34)
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，是中档题．
根据直线与圆的位置关系求解即可．
【解答】解：点(1,0)到直线ax+y−2=0的距离d=|a−2| a2+1>1，解得a<34．
点(0,1)到直线ax+y−2=0的距离d′=|−1| a2+1>12，解得− 3故a的取值范围是(− 3,34).
16.【答案】90
108−1623n

【解析】【分析】
本题主要考查了等比数列求和的应用，
根据已知及等比数列求和的计算，求出小球经过的路程．
解答：
设小球第1次落地时经过的路程为a1，小球从第n−1(n≥2)次落地到第n次落地时经过的路程为an米，
则a1=54， a2=54×13×2， a3=54×(13)2×2，⋯，
则an=54×(13)n−1×2(n≥2)，
所以小球第2次落地时，经过的路程是54+54×13×2=90米，
小球第n(n≥2)次落地时，
经过的路程是a1+a2+⋯+an=54+108×[13+(13)2+⋯+(13)n−1]=54+108×13−13n1−13=108−1623n米.
17.【答案】解：当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2+3n+1−3n= 2n−1+2×3n，
a1=S1=12+32=10，
所以an=10,n=1,2n−1+2×3n,n≥2.．
【解析】本题主要考查了递推关系、数列通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
分n≥2，以及n=1两种情况进行讨论即可．
18.【答案】解：(1)由x−y+1=02x+y−4=0,解得x=1,y=2,，
即l1和l2的交点坐标为(1,2)，
因为直线l经过点(3,3)，
所以直线l的斜率为3−23−1=12，
所以直线l的方程为y−2=12(x−1)，
令y=0，得x=−3，所以直线l在x轴上的截距为−3．
(2)因为直线l与直线l3:4x+5y−12=0平行，
所以可设直线l的方程为4x+5y+m=0m≠−12，
又直线l经过点(1,2)，所以4×1+5×2+m=0，得m=−14，
所以直线l的一般式方程为4x+5y−14=0．
【解析】本题考查了直线方程的综合求法，属于基础题．
(1)先联立方程得出l1和l2的交点坐标，再求出直线l的斜率，由点斜式得出直线l的方程，可得直线l在x轴上的截距；
(2)可设直线l的方程为4x+5y+m=0m≠−12，代入点(1,2)得出m，可得直线方程．
19.【答案】解：(1)由an=an+1+2，a3=−5.，可得an+1−an=−2．
所以数列{an}是公差为−2的等差数列，因为a3=−5
所以a1=a3−2×(−2)=−1，
所以an=1−2n．
(2)由(1)知1an(2n+1)=−1(2n−1)(2n+1)=−12(12n−1−12n+1)．
所以 Sn=−12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=−12(1−12n+1)=−n2n+1
【解析】本题主要考查等差数列的通项公式求法，裂项相消法求和，属于中档题．
(1)由an=an+1+2，a3=−5.，可得an+1−an=−2，利用等差数列通项公式可得结果；
(2)由(1)可得1an(2n+1)=−1(2n−1)(2n+1)=−12(12n−1−12n+1)，利用裂项相消法求和即可．
20.【答案】解：(1)因为圆M的圆心在y轴上，所以可设圆M的方程为x2+y−b2=r2，
又圆M经过A(− 1,0)，B(1,4)两点，所以12+b2=r212+4−b2=r2，解得b=2r2=5
故圆M的圆心坐标为(0,2)，半径为 5．
(2)由题意得圆心M到直线x+2y+11=0的距离为0+2×2+11 12+22=3 5，
所以P到直线x+2y+11=0的距离的最小值为3 5− 5=2 5.
【解析】本题主要考查的是圆的标准方程，点到直线的距离，点到圆上点的最值问题。属于中档题．
(1)根据条件，设出圆的方程，利用待定系数法求解即可．
(2)求出圆心到直线的距离d，则点到直线距离的最小值为d−r，即可求解．
21.【答案】解：(1)证明：因为an+1=2an+n−1，
所以an+1+n+1an+n=2an+n−1+n+1an+n=2(an+n)an+n=2．
又a1=3，所以a1+1=4，
所以数列{an+n}是等比数列，且首项为4，公比为2．
(2)由(1)知an+n=4⋅2n−1，
即an+n=2⋅2n，则2nan+n=n2n，
Sn=12+222+⋯+n2n，
12Sn=122+223+⋯+n2n+1，
则12Sn=12+122+⋯+12n−n2n+1=12−12n+11−12−n2n+1=1−n+22n+1，
所以Sn=2−n+22n．
【解析】本题考查数列的递推关系、等比数列的通项公式、等比数列的求和、等比数列的判定与证明、错位相减法，属于中档题．
(1)根据数列的递推关系得出an+1+(n+1)=2(an+n)，结合等比数列的定义进行证明即可；
(2)根据等比数列的通项公式进行求解，求出2nan+n=n2n，利用错位相减法，即可求出结果．
22.【答案】(1)证明：圆C的方程可化为λ(x2+y2−5)−2x−4y+6=0．
令x2+y2=5,−2x−4y+6=0,
解得x=−1,y=2或x=115,y=25,
故圆C恒过两个定点，且这两个定点的坐标为(−1,2)和(115,25).
(2)解：当λ=1时，圆C的方程可化为x2+y2−2x−4y+1=0．
由题知直线l的斜率k存在且不为0，设直线l的方程为y=k(x+1)．
联立x2+y2−2x−4y+1=0,y=k(x+1),消去x得(1+k2)y2−4k(1+k)y+4k2=0，
所以y1+y2=4k(1+k)1+k2，y1y2=4k21+k2，
△=16k2(1+k)2−16k2(1+k2)>0，解得k>0．
因为1y1+1y2=y1+y2y1y2=1+kk，
所以1+kk=k，解得=1± 52，
又k>0，所以k=1+ 52．
【解析】本题考查圆过定点问题，考查直线与圆的位置关系及应用，考查数学运算能力，属于较难题．
(1)圆C的方程可化为λ(x2+y2−5)−2x−4y+6=0，令x2+y2=5,−2x−4y+6=0,解方程组即可求出圆C过定点的坐标，即可证得圆C恒过两个点．
(2) 由题知直线l的斜率k存在且不为0，可设直线l的方程为y=k(x+1)，因为1y1+1y2=y1+y2y1y2=1+kk，所以1+kk=k，求解即可．