河北省保定市唐县第一中学等校2023-2024学年高一上学期选科调考第一次联考（10月）数学试题（含解析）

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数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一、二章.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知命题，．则（ ）
A．p为真命题，，B．p为假命题，，
C．p为真命题，，D．p为假命题，，
4．给出下列关系：
（1）；（2）；（3）；（4）．其中不正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．若，且，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．若命题“，”是假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为；乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．若，且M中至少含有一个质数，则满足要求的M的个数为（ ）
A．16B．20C．24D．32
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知实数a，b，c，若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
11．成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
12．已知关于的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则下列关系式中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知，，则ab的最小值为 ，最大值为 ．
14．某年级先后举办了数学和音乐讲座，其中参加数学讲座的人数是参加音乐讲座的人数的，只参加数学讲座的人数是只参加音乐讲座的人数的，有20人同时参加数学、音乐讲座，则参加讲座的人数为 ．
15．已知集合恰有8个子集，则a的取值范围是 ．
16．设，，若，则的最大值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，方程的解集为，不等式的解集为.
(1)求;
(2)已知，正数满足，求的最小值.
18．已知，，．
(1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；
(2)若是r的必要条件，求m的最大值．
19．设集合，，．已知．
(1)求A；
(2)若，求所有满足条件的a的取值集合．
20．如图，直角三角形是一个展览厅的俯视图，矩形是中心舞台，已知，．
(1)要使中心舞台的面积大于，求的取值范围．
(2)当的长度为多少时，中心舞台的面积最大？并求出最大的面积．
21．（1）若的解集为，求实数a，b的值；
（2）已知，求关于x的不等式的解集．
22．（1）已知x，y为正实数．证明：．
（2）对任意的正实数x，y，均有成立，求k的取值范围．
1．C
【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.
【详解】解：，，
故选：C.
2．A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】解：因为不能推出，且可以推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：A
3．B
【分析】利用根的判别式即可判断命题的真假，再根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可得出答案.
【详解】解：对于方程，即，
，所以方程无解，
故p为假命题，
，.
故选：B.
4．B
【分析】根据集合的性质，逐项分析，即可.
【详解】解：空集是任何集合的子集，故（1）正确，
是一个点集,而0是一个数，所以（2）错误，
，所以（3）正确
，所以（4）错误.
故选：B.
5．B
【分析】用特殊值判断B,根据基本不等式，判断ACD.
【详解】解： ，即，故A恒成立，
取，此时，故B不恒成立，
因为，所以，所以，故C恒成立，
因为，所以，所以，故D恒成立，
故选：B
6．A
【分析】根据特称命题的否定，结合函数性质解决恒成立问题，分类讨论，可得答案.
【详解】由题意，命题“”时真命题，令，
当时，可得显然成立，符合题意；
当时，由二次函数的性质，可得，则，解得，
综上，.
故选：A.
7．D
【分析】根据韦达定理即可求解.
【详解】解：根据韦达定理得，，原不等式的两根满足，解得：，
故解集为：，
故选：D.
8．C
【分析】由题意，才有列举法，将符合题意的集合一一列举出来，可得答案.
【详解】由题意，可以取的所有值有，其中质数有，
当且中只有一个质数时，集合有，，，，，，，；
当且中只有一个质数时，集合有，，，，，，，；
当时，集合有，，，，，，，；
故总个数为个.
故选：C.
9．BC
【分析】解一元二次不等式求得两集合，再根据交集和补集的定义即可判断AB，根据补集的定义和集合间的关系即可判断CD.
【详解】解：或，
，
则，故A错误；
，故B正确；
，故C正确，D错误.
故选：BC.
10．ACD
【分析】易得，且，再根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】解：因为，则，且，
所以，，故A，C正确；
当时，，故B错误；
因为，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11．AB
【分析】先因式分解，即可求解，再根据充分不必要条件的判断，即可求出答案.
【详解】解：原式可化为，解得或，
故选：AB.
12．BC
【分析】由不等式的解集，可知，从而判断A错误；根据图像的平移变换，可得变换前后对称轴不变，即，变形后可判断B正确；根据,亦可判断C正确，通过举反例，即可判断D错误.
【详解】解：由题意得,故A错误，
因为将二次函数的图像上的所有点向上平移1个单位长度，
得到二次函数的图像，
所以,即，B正确，
如图，又，所以，C正确，
当时，，，
所以，D错误.
故选：BC.
13．
【分析】由，得，再根据不等式同向可乘性这一性质即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
又，
所以，所以，
所以ab的最小值为，最大值为.
故答案为：；.
14．120
【分析】根据集合交集、并集的性质进行求解即可.
【详解】解：设参加数学讲座的学生的集合为A, 参加音乐讲座的学生的集合为B，
则，
解得：,又，
所以,
则参加讲座的人数为120,
故答案为：120.
15．
【分析】先分解因式，再根据二次函数有两解，由即可求解.
【详解】解：集合恰有8个子集，故集合中有3个元素，
即有三个不同的解，
即有两个不为0的解,
即，且，
解得且，，
所以.
故答案为：
16．
【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值.
【详解】因为，
所以，，可得，
当且仅当时，取最大值.
故答案为：.
17．(1)；
(2)4.
【分析】（1）根据给定条件，求出集合，再利用并集的定义求解即得.
（2）由（1）求出，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】（1）依题意，，解得，则，
由，解得，则，
所以.
（2）由（1）知，，于是，而，
，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值4.
18．(1)
(2)
【分析】（1）设集合为命题对应的集合，为命题对应的集合，由题意可得集合是集合的真子集，从而可得出答案；
（2）设集合为命题对应的集合，为命题对应的集合，由题意可得，从而可得出答案.
【详解】（1）解：由，即或，
设，，
因为p是q的必要不充分条件，
所以集合是集合的真子集，
所以；
（2）解：由，即，
，
设，
因为是r的必要条件，
所以，
所以，解得，
所以m的最大值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据，即可求解.
(2)对集合B分类讨论即可求解.
【详解】（1）解：，
又，所以，所以.
（2）解：因为，所以
①时，，
②时，，
所以时，，时，，
综上，
20．(1)
(2)时，中心舞台的面积最大，最大的面积为
【分析】（1）设，根据三角形相似表示出，再根据即可表示出矩形的面积，从而得到不等式，解得即可；
（2）根据二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）解：在直角三角形中，，所以，
设，依题意可得，
所以，所以，，
又，即，所以，
所以，
所以，解得，所以的取值范围为.
（2）解：因为，
所以当，即时，中心舞台的面积最大，最大的面积为；
21．(1) ;(2) ①时，解集为，
②时，解集为，
③时，解集为.
【分析】（1）根据韦达定理即可求解；
（2）分解因式，再分类讨论的大小，即可求解.
【详解】解：（1）由题意得，为的两个根，且，
由韦达定理得：, ②式除①式，整理得，，
解得或，所以或(舍去).
(2) ,整理得，即，
①时，即，所以解集为，
②时，即，所以解集为，
③时，即，所以解集为.
22．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由，应用基本不等式求范围，即可证结论；
（2）应用柯西不等式有，结合恒成立，即可求范围.
【详解】（1）由x，y为正实数，
，
当且仅当，即等号成立，
所以得证.
（2）由柯西不等式有，则，
当且仅当时等号成立，又x，y为正实数，
所以，而恒成立，
所以.