河南省郑州市第七十三中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷

这是一份河南省郑州市第七十三中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．实数，（相连两个之间依次多一个），其中无理数有（ ）个．
A．B．C．D．
2．估算的范围是（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
3．北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，震源深度10公里．以下能够准确表示这次地震震中位置的是（ ）
A．北纬B．东经
C．甘肃西南方向D．北纬，东经
4．下列说法：①π的相反数是﹣π．②若|x|＝，则x＝．③若a≠0，则a的倒数是，④若＝﹣x，则x＜0，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，已知点和点且直线轴，则点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．如图，在ΔABC中，，，，点在上，将沿着所在直线翻折，使点落在斜边上的点处，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．对实数a．b，定义“★”运算规则如下：，则（ ）
A．2B．1C．D．
10．在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，，，，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．的平方根是 ．
12．如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 ．
13．如下图所示，每个小正方形的边长为1，先把中间的正方形剪下来，再将得到的两个长方形沿图中虚线剪开得到4个直角三角形，将剪下的小正方形和4个直角三角形无缝拼接在一起可以得到一个大正方形，大正方形的边长是 ．
14．如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为 海里．

15．如图，在矩形中，，点E是边AD上的一个动点，将沿折叠，当点A的对应点F落在矩形一边的垂直平分线上时，的长为 ．

三、解答题
16．计算
(1)
(2)．
17．已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简．

18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中作出关于轴的对称图形；
(2)请直接写出点关于轴的对称点的坐标：______；
(3)在轴上找一点，使得周长最小，并直接写出此时的周长为______．
19．意大利著名画家达•芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中左图的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，右图的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2．
（1）请用含a，b，c的代数式分别表示S1，S2；
（2）请利用达•芬奇的方法证明勾股定理．
20．如图所示，长方形纸片ABCD的长AD＝8cm，宽AB＝4cm，将其折叠，使点D与点B重合．
（1）求证：BE＝BF；
（2）求折叠后DE的长；
（3）求折痕EF的长．
21．阅读下列材料，然后解答问题．
在进行二次根式除法时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其进一步化简：
方法一：
方法二：
)请分别用以上两种方法化简：
化简：
22．如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿射线方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
(1)当秒时，求的长．
(2)求出发时间为几秒时，点在中的角平分线上．
(3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，求点的运动时间．
23．我们新定义一种三角形:两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形例如:某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形.
(1)若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形 常态三角形(填“是”或“不是”);
(2)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，连接CD，CD=AB， 若△ACD是常态三角形，求△ABC的面积;，
(3)若Rt△ABC是常态△，斜边是，则此三角形的两直角边的和= .
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了无理数，先化简实数，再根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，掌握无理数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴实数，（相连两个之间依次多一个）中，无理数有（相连两个之间依次多一个），共个，
故选：．
2．C
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了坐标确定位置，理解坐标的定义是解题的关键．根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．
【详解】解：A．北纬无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意；
B．东经无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意；
C．甘肃西南方向无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意；
D．北纬，东经能确定这次地震震中位置，故此选项符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】①π的相反数是-π，正确；
②若|x|=，则x=±，故此选项错误．
③若a≠0，则a的倒数是，正确；
④若=-x，则x≤0，故此选项错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
5．D
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=20-x，BC=9，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+92=(20-x)2．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
6．D
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF=A'B=20cm，
延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE=A'E=DG=4cm，
∴BD=16cm，
Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=
∴则该圆柱底面周长为24cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
7．D
【分析】本题考查坐标与图形的性质，各象限内点的坐标特点，解答本题的关键是明确平行于轴的直线上的点的纵坐标都相等．根据点和点且直线轴，可知点和点的纵坐标相等，从而可以得到，然后求出的值即可得出答案．
【详解】解：点和点且直线轴，
，
解得，
，，
点位于第四象限．
故选：D．
8．B
【分析】由折叠的性质可得，，得出AE＝AB-BE＝2cm，设，则，，由勾股定理得出方程，解方程即可.
【详解】由折叠的性质可得，，
得出，
设，
则，，
由勾股定理得，AE2+ED2=AD2
即22+x2=（4-x）2
解方程得.
故选B.
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，全等三角形的性质，勾股定理;:熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键.
9．A
【分析】此题考查了新定义实数运算，根据题意可先求出，再根据题意求解即可.
【详解】解：根据题意可得，，
∴，
故选：A
10．B
【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先分别算出，，，，，找到规律后，得点的坐标与的坐标相同，即可作答．
【详解】解：∵对于点，把点叫做点的友好点．且的坐标为
则，
，
则
∴
同理得，，，……
观察发现，每6个点为一个循环组依次循环．
∴点的坐标与的坐标相同，为，
故选：B．
11．
【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
先求得，根据平方根的定义即可求得答案．
【详解】解：，
∴的平方根是，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出AB的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出AB的长，即可得到答案．
【详解】解：在中，，，
由勾股定理得，，
则点表示的数为．
故答案为：．
13．
【分析】根据新得到大正方形面积与原本的大长方形面积相等进行求解即可．
【详解】解：设大正方形的边长为x，
由题意得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根在几何图形中的应用，正确理解大正方形面积与原本的大长方形面积相等是解题的关键．
14．25
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了20海里，15海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：连接如图，

∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴，
在中，（海里），（海里），
根据勾股定理得（海里）．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理进是解决问题的关键．
15．或
【分析】分两种情况：①过F作交于M，交于N，则直线是矩形的对称轴，得出，由勾股定理得到，求得，再由勾股定理解得即可；②过F作交于P，交于Q；求出，由三角函数求出．
【详解】解：分两种情况：
①如图1，过F作交于M，交于N，

则直线是边的垂直平分线，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
②如图2，过F作交于P，交于Q，连接，

则直线是边的垂直平分线，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
，
∴，
∴设，则，
在，
即，
解得：或（舍去）
综上所述：的长为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，矩形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，正确画出图形是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式性质化简，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，再计算括号内加减法，最后计算除法即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
17．a
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义与二次根式的性质化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：，
，，，
．
【点睛】此题考查了整式的加减，实数与数轴，二次根式的性质与化简，以及绝对值，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了轴对称变换，平面直角坐标系中的点，两点间距离公式；
（1）作出点A、B、C三个顶点的对称点、、，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出点关于轴的对称点的坐标即可；
（3）连接，与y轴的交点即为所求作的点P，然后求出结果即可．
解题的关键是作出三角形三个顶点对应点、、．
【详解】（1）解：如图，作出点A、B、C三个顶点的对称点、、，顺次连接，则即为所求；
（2）解：点关于轴的对称点的坐标为；
故答案为：；
（3）解：连接交y轴于点P，则点即为所求．
∵点C关于y轴的对称点，
∴，
∴，
∴当A、P、在同一直线上时，最小，
∴此时最小，
∴此时的周长最小，则周长的最小值为：
．
故答案为：．
19．（1），；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题；
（2）根据（1）的结果及可证明勾股定理．
【详解】解：（1）

（2）由 得

所以
【点睛】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息，属于中考常考题型．
20．（1）见解析；（2）的长为5cm；（3）EF的长为cm
【分析】（1）先根据平行线的性质得出，再由图形翻折变换的性质得出，故可得出，进而得出结论；
（2）设，则，根据折叠可得，再利用勾股定理即可求出的值
（3）过点作于点，则，，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵在长方形中，，
，
∵折叠，
∴，
，
；
（2）解：设，则，
∵折叠，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，
即的长为5cm；
（3）解：如图，过点作于点，
由（1）（2）可得：，
，，
，
∴在中，，
折痕EF的长为cm．
【点睛】本题考查了长方形的性质、翻折变换、勾股定理以及等腰三角形的判定，熟练掌握翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
21．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）根据阅读材料中的方法将各式化简即可；
（2）原式分母有理化后，合并即可得到结果．
【详解】（1）方法一：
；
方法二：
；
（2）原式=
=
=
【点睛】此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的解题方法是解本题的关键．
22．(1)
(2)出发时间为5秒时，点在中的角平分线上；
(3)秒或秒．
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）由题意可知，当秒时，，，再由勾股定理求解即可；
（2）过点作于点，根据勾股定理，求出，证明，得到，，再根据勾股定理列方程求解即可；
（3）分两种情况讨论：①当时，根据即可求解；②当时，过点作于点，得到，根据三角形面积公式和勾股定理，求出，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，当秒时，，，
，
，
在中，；
（2）解：如图，过点作于点，
在中，，
，
由题意可知，平分，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，
，
解得：，
即出发时间为5秒时，点在中的角平分线上；
（3）解：由题意可知，当点在边上运动时，，
①当时，是以为腰的等腰三角形，
，
；
②当时，是以为腰的等腰三角形，
过点作于点，
，
，
，
在中，，
，
，
综上可知，若是以为腰的等腰三角形，点的运动时间为秒或秒．
23．(1)是；(2)或；(3) 2+4.
【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；
（2）设CD=AD=BD=x，利用勾股定理求出AC2=4x2-36，然后根据常态三角形的定义分情况列方程求出x，进而可得AC的长，最后利用三角形面积公式求解；
（3）由勾股定理和常态三角形的定义得：a2+b2=c2，a2+c2=4b2，求出a：b=，然后设未知数表示出c的长，即可求出a，b的长，进而得出答案．
【详解】(1)∵，
∴此三角形是常态三角形；
（2）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，
∴CD=AD=BD=AB，
设CD=AD=BD=AB=x，则AB=2x，
由勾股定理得：AC2+62=（2x）2，
∴AC2=4x2-36，
①∵△ACD是常态三角形，
∴CD2+AD2=4AC2，
∴x2+x2=4（4x2-36），
∴x2=，
∴AC2=
∴AC=，
∴△ABC的面积为：×AC×BC=；
②∵△ACD是常态三角形，
∴CD2+AC2=4AD2，
∴x2+AC2=4x2，
∴AC2=3x2，
可得；
解得：x=6，
∴AC=，
∴△ABC的面积为：×AC×BC=，
综上所述，△ABC的面积为或；
（3）∵Rt△ABC是常态三角形，
设其两直角边分别为：a，b，斜边为c，
则由勾股定理和常态三角形的定义得：a2+b2=c2，a2+c2=4b2，
∴2a2=3b2，
∴a：b=，
设a=x，b=x，
则c=x，
∵斜边是2，即，
解得：x=，
∴a+b=.
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及新定义，正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
B
D
D
D
B
A
B