北京市朝阳区北京中学科技分校2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，只需将答题纸交回.
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由交集的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为集合，
则.
故选：C
2. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由补集的运算即可求解.
【详解】解：，
，
故选：B．
3. 已知x，，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】通过特例，结合充分必要条件的判定方法即可判断.
【详解】，而
同样，而，所以充分性、必要性都不成立.
故选：D
4. 命题：的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定是存在题词命题，再直接写出命题的否定.
【详解】命题：是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题：的否定是：，
故选：C
5. 设，为非零实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由可以得到，故充分性成立，
当，时满足，但是推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
6. 函数的最小值及取得最小值时的值为（ ）
A. 当时最小值为B. 当时最小值为
C. 当时最小值为D. 当时最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式即可求出答案.
【详解】函数，
当时，，当且仅当，即时，等号成立，
所以当时最小值为.
故选：D.
7. 《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（ ）
A. 80B. 70C. 60D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】利用韦恩图分析出只阅读过西游记的人数为10，从而求出答案.
【详解】如图所示，
因为阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，
所以只阅读过红楼梦的人数为20，
又其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，
故只阅读过西游记的人数为10，
所以这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为.
故选：B
8. 已知，，，则的最小值是（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】将化为，即可将变形为，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】，
，
（当且仅当时等号成立），
故选：C
9. 已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先对的取值进行分类讨论，在时，需结合二次函数的图象分析，得到与之等价的不等式组，求解即得.
【详解】因不等式对任意的实数x恒成立，则
①当时，不等式为，恒成立，符合题意；
②当时，不等式在R上恒成立等价于，解得：.
综上可得：实数k的取值范围为.
故选：C.
10. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立．
故选：C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）.
11. 已知x＞0，y＞0，x＋y＝2，则xy的最大值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为x＞0，y＞0
所以
即，解得，当且仅当时等号成立.
则xy的最大值为1.
故答案为：1.
12. 若不等式的解集是，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的解集与对应方程的关系，结合韦达定理，求的关系，代入所求不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，，，，
则，即，
即，解得：，
所以不等式的解集为.
故答案为：
13. 某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人___________ 台.
【答案】300
【解析】
【分析】由总成本表示出平均成本，利用基本不等式求最小值和取最小值时的值.
【详解】购买台机器人的总成本为，
则平均成本，
当且仅当，即时，平均成本最低为2万元.
故答案为：300.
14. 已知，则的最小值为_____ ，当取得最小值时的值为______ .
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
利用基本不等式求出最小值以及取得最小值时的值．
【详解】，
当且仅当时取等号
故答案为：
15. 设S为非空数集，若，都有，，，则称S为封闭集.下列命题：
①整数集是封闭集；
②自然数集是封闭集；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则一定有.
其中所有真命题的序号为_______________.
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】根据集合新定义进行验证即可．
【详解】解：对于①，当，时，，，，即整数集是封闭集，故①正确；
对于②，当，时，，自然数集不是封闭集，故②错误；
对于③，当时，是封闭集，但不是无限集，故③错误；
选项④，当时，，故，故④正确；
故答案为：①④.
三、解答题（共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
16. 设集合．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）由题可知，将其代入集合中的方程求出，然后检验是否满足题意即可；
（2）由题可知，因此根据判别式讨论集合中元素的个数即可.
【小问1详解】
由得x=1或x=2，故集合
，代入中的方程,得，
解得a=−1或；
当a=−1时，，满足条件；
当时，，满足条件；
综上可得，的值为或.
【小问2详解】
对于集合中的方程，
,
①当，即时,满足条件;
②当,即时，，满足条件；
③当，即时,才能满足条件,
则由根与系数的关系得：
解得，所以无解,
综上可得，的取值范围是.
17. 已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简集合，直接利用并集运算求解即可；
（2）化简集合，根据交集运算结果求解参数.
【小问1详解】
由题知，，
，
因为，所以，
所以.
【小问2详解】
因为，
且，，
所以.
18. 解关于x的不等式：．
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】分类讨论解含参的一元二次不等式即得.
【详解】不等式化为，
当时，解得；
当时，不等式化为，解得或；
当时，不等式化为，
若，即，解得；
若，解得；
若，即，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19. （1）已知，求的最小值．
（2）已知，求的最大值．
【答案】（1） 7；（2） ．
【解析】
【分析】（1）配凑后根据基本不等式求出和的最小值即可；
（2）变形后根据基本不等式求出积的最大值即可.
【详解】（1）因，所以，
所以
∵
∴（当且仅当时等号成立），所以所求最小值为7．
（2）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以所求最大值为．
20. 已知，且；，且.
（1）是否存在实数，使得，，若存在求出实数的值，若不存在，说明理由；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）存在，
（2）
【解析】
【分析】（1）化简集合，假设存实数满足条件，由此可列不等式求；
（2）结合充分条件定义可得，根据集合包含关系列不等式求的取值范围.
【小问1详解】
解不等式，得或，
故或
假设存，使得，，
则有且，
解得，
所以当时满足题意；
【小问2详解】
若是的充分条件，则，
则，或
解得，或，
所以的取值范围为.
21. 设（为正整数），对任意的，，定义
（1）当时，，，求；
（2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A中元素个数的最大值；
（3）集合，对于任意，，，均有，求A中元素个数的最大值．
【答案】（1）1 （2）4
（3）
【解析】
【分析】（1）直接根据定义计算即可；
（2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，则有两种情况，一种任意两个元素相同位置不能同时出现1，另一种情况必有两个相同位置同时出现1，分别讨论即可判断个数最大值；
（3）由得到，再根据且，得到，由此即可判断A中个数.
【小问1详解】
当时，
；
【小问2详解】
因为均为偶数，所以结果为0或2，
若，则A中的任意两个元素乘积为0，
即共有四个元素，
若，则A中必有两个位置为1，
即，
所以A中元素个数的最大值为4;
【小问3详解】
，中的“1”变为“0”，“0”变为“1”，
得到，
可得，
因，，
所以，
因为中有个元素，
则A中元素个数最多有个，
所以A中元素个数的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查集合中元素个数的最大值求法，关键在于理解材料中的定义，根据条件要求确定元素位置上的取值不同，再进行讨论得到个数最大值，而在不限n时，需根据要求判断出对立条件下的情况，即可求解.