安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（ ）
A. B. C. D.
4. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，而且窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好.设某所公寓的窗户面积为a m2，地板面积为b m2，若同时增加t m2的窗户面积和地板面积，则这所公寓的采光效果变化是（ ）
A. 变好了B. 变差了
C. 不变D. 变化不确定
5. 设，若当时，关于的不等式恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，不等式对于一切实数恒成立，且，使得成立，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
二、多选题（共3小题，每题6分，共18分）
9. 下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. “关于x的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是（ ）
A B.
C. D.
11. 下列说法正确有（ ）
A. 若，则最小值为
B. 若正数为实数，若，则的最大值为
C. 若且，则的最大值为2
D. 设为实数，若，则的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12. 不等式的解集为_______．
13. 设，记，则函数的最小值为_______．
14. 设且恒成立，则的取值范围是__________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）已知二次函数满足，且，求函数解析式．
（2）已知，求函数的解析式．
16. 已知集合，集合.
（1）若，求实数m取值范围;
（2）若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围
17. 某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，经销A，B商品中所获得的收益分别为万元与万元，其中如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．
18. 已知函数.
（1）若不等式恒成立，求的取值范围；
（2）解不等式；
（3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
19. 排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，那么，即“反序和≤乱序和≤顺序和”．当且仅当或时，反序和等于顺序和．
（1）设，是的任一排列，则乘积的值不会超过_______．
（2）设是n个互不相同的正整数，求证：
（3）有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？
马鞍山二中2024～2025学年度高一年级10月份月考
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由交集的定义求解.
【详解】集合，，
则.
故选：A.
2. 已知集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由集合A与集合B关系可得答案.
【详解】，
注意到真包含于，则B是A的真子集.
则，得不到，
即“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的子集个数确定元素个数，进而求出值.
【详解】由集合A有且仅有2个子集，得集合有且只有1个元素，即方程有唯一解，
当时，方程有唯一解，符合题意，则，
当时，一元二次方程有相等实根，，解得，
，方程的根为；，方程的根为，符合题意，因此，
所以a的取值是.
故选：D
4. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，而且窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好.设某所公寓的窗户面积为a m2，地板面积为b m2，若同时增加t m2的窗户面积和地板面积，则这所公寓的采光效果变化是（ ）
A. 变好了B. 变差了
C. 不变D. 变化不确定
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得增加的窗户和地板面积后的比值为，再结合作差法即可求解.
【详解】窗户面积为，地板面积为，则窗户面积与地板面积的比值为，
同时增加的窗户和地板面积后的比值为，
，
，
，即，
故这所公寓的采光效果变好了.
故选：.
5. 设，若当时，关于的不等式恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可.
【详解】因为，关于的不等式恒成立，
所以恒成立，故恒成立，
令，故即可，
而，当且仅当时取等，此时解得，
故，即，故A正确.
故选：A
6. 已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得，再根据题中条件即可求得范围.
【详解】设
，
则，
所以，
又，，
则，
所以，
故选：
7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，所以f(x)的定义域为.又因为，即，所以函数g(x)的定义域为.
故选：C.
8. 已知，不等式对于一切实数恒成立，且，使得成立，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件对于一切实数不等式恒成立和使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得，将化成，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为不等式对于一切实数恒成立，
所以，
又因为，使得成立，
所以，所以，
即，
所以，
当且仅当时取得最小值.
故选：D.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
二、多选题（共3小题，每题6分，共18分）
9. 下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用元素与集合的关系判断选项A；结合集合的含义、集合相等的含义判断BC；利用集合与集合之间关系判断选项D.
【详解】对于A，由元素和集合的关系，有，A选项正确；
对于B，集合是数集，集合是点集，两个集合不相等，B选项错误；
对于C，两个集合都是点集，但集合中点的坐标不同，两个集合不相等，C选项错误；
对于D，空集是任意集合的子集，D选项正确.
故选：AD.
10. “关于x的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得.
【详解】因为方程至多有一个实数根，
所以方程的判别式，
即：，解得，
利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C，
故选：BC.
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，则的最小值为
B. 若正数为实数，若，则的最大值为
C. 若且，则的最大值为2
D. 设为实数，若，则最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，根据条件得到，再利用基本不等式，即可求解；选项B，根据条件得到，从而得到，再利用基本不等式，即可求解；选项C，根据条件，利用基本等式得到，令，将问题转化成求解一元二次不等式，即可求解；选项D，根据条件，利用重要不等式，得到，再由，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，则，
当且仅当，即时取等号，所以选项A正确，
对于选项B，因为正数满足，则，
则
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3，故选项B错误，
对于选项C，由，得到，当且仅当时取等号，
令，得到，即，解得，所以，
当且仅当时取等号，故选项C正确，
对于选项D， ， 所以，当且仅当时取等号，
所以，得到，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故选项D正确，
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12. 不等式的解集为_______．
【答案】
【解析】
【分析】化不等式一边为0，再转化成一元二次不等式求解即得.
【详解】不等式化为：，即，
则，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
13. 设，记，则函数的最小值为_______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据题意，由所给的定义化简函数，再结合分段函数的性质，代入计算，即可求解.
【详解】当时，解得，
当时，解得，
则，
因为在上单调递减，
在上单调递增，
所以时，有最小值，且.
故答案为：0
14. 设且恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据可得恒成立，将化为，变形后，利用基本不等式求出最小值即可得到答案.
【详解】因为，所以,,.
所以恒成立，
又，
当且仅当，即时等号成立.
所以m≤4.
故答案为 ：.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）已知二次函数满足，且，求函数的解析式．
（2）已知，求函数的解析式．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用给定条件求出二次函数上三个点对应的函数值，再设出二次函数，求解参数，得到解析式即可.
（2）利用换元法求解函数解析式即可.
【详解】（1）设二次函数，因为，
所以，故此时函数解析式为，
因为，令，所以，
令，所以，因，所以，
因为，所以，将两个式子联立，
解得，，故二次函数解析式为，
（2）因为，且令，所以，
故，化简得，
即函数的解析式为.
16. 已知集合，集合.
（1）若，求实数m的取值范围;
（2）若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围；
（2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围．
【小问1详解】
由，得
①若，即时，，符合题意；
②若，即时，需或，解得．
综上，实数的取值范围为．
【小问2详解】
∵p是q的充分不必要条件，
∴，
∴是的真子集．
则1−m>2m2m≤21−m≥4不同时取等号，解得．
实数的取值范围为．
17. 某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，经销A，B商品中所获得的收益分别为万元与万元，其中如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．
【答案】该个体户可对商品投入3万元，对商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益．
【解析】
【详解】试题分析：投入商品的资金为万元（），则投入商品的资金为万元，根据已知条件可得收益为的解析式，可知为分段函数．当时应用基本不等式求其最大值；当时应用二次函数配方法求最值．比较两个最值取最大的一个即为所求．
试题解析：解：投入商品的资金为万元（），则投入商品的资金为万元，并设获得的收益为万元．
（1）当时，
，当且仅当，即时取“＝”；
（2）当时，
，当时，取“＝”．
∵，∴最大收益为11万元．
∴该个体户可对商品投入3万元，对商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益
考点：1函数解析式；2基本不等式求最值；3二次函数求最值．
18. 已知函数.
（1）若不等式恒成立，求的取值范围；
（2）解不等式；
（3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由不等式恒成立，转化为恒成立，分类讨论，结合二次函数的性质列出不等式组，即可求解；
（2）由不等式，得到， 结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解；
（1）由不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，
因为不等式恒成立，即不等式恒成立，
当时，不等式即为，显然不成立，舍去；
当时，要使得恒成立，则满足，
即，解得，即的取值范围为.
【小问2详解】
解：由不等式，可得，
即，
若时，不等式即为，解得，不等式的解集为；
若时，不等式可化为，
①当时，不等式等价于，解得或，
不等式的解集为；
②当时，不等式等价于，
当时，即时，解得，不等式的解集为；
当时，即时，解得，不等式的解集为；
当时，即时，解得，不等式的解集为，
综上可得：当时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【小问3详解】
解：由不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，
则可转化为不等式在上恒成立，
设，可得，
所以的最大值为，所以，可得，
所以实数的取值范围为
19. 排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，那么，即“反序和≤乱序和≤顺序和”．当且仅当或时，反序和等于顺序和．
（1）设，是的任一排列，则乘积的值不会超过_______．
（2）设是n个互不相同的正整数，求证：
（3）有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？
【答案】（1）30 （2）证明见解析
（3）各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水.等候的总时间最少为，其中为从小到大的一个顺序排列.
【解析】
【分析】（1）设两组数与，由“乱序和顺序和”可得；
（2）设两组数：与，由“乱序和反序和”可得；
（3）由题意求出等候总时间的表达式为，设两组数：与，由“乱序和反序和”可得等候的最少总时间.
【小问1详解】
由题意是的任一排列，
则可看作与两组实数的“乱序和”；
则由排序不等式：乱序和顺序和，
得.
故空格处填：30.
【小问2详解】
设两组数：与.
由是n个互不相同的正整数，
设是的一个排列，且满足，
即是这n个互不相同的正整数从小到大的排列，
因此.
又因为，
故由排序不等式：乱序和反序和，
得
.
故，命题得证.
【小问3详解】
由题意可知，水龙头注满第个人的水桶需要分钟，
则第个人打水时，即个人都在等，需要等候总时间为，
故所有人打完水，他们等候的总时间为
.
设两组数：与.
由假定，这些各不相同，
设为的一个排列，且，
又因为，
由排序不等式：乱序和反序和，
得.
所以只有一个水龙头时，要使他们等候的总时间最少，应安排需要时间最少的人总是先打水，即各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水.等候的总时间最少为，其中为从小到大的一个顺序排列.
【点睛】关键点点睛：正确应用排序不等式解决问题，关键有两点：一是要先弄清楚排序不等式研究对象，确定好所需研究的两组数是哪两组数；二是要明确或设出两组数分别的大小排序，有“序”，才有“反序和”、“乱序和”、“顺序和”的不等关系.