重庆市第110中学2025届数学九上开学调研试题【含答案】

这是一份重庆市第110中学2025届数学九上开学调研试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，矩形中，，，点是的中点，平分交于点，过点作于点，连接，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2、（4分）如图，△ABC是面积为27cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9cm2B．8cm2C．6cm2D．12 cm2
3、（4分）关于一次函数，下列结论正确的是( )
A．随的增大而减小B．图象经过点(2,1)C．当﹥时，﹥0D．图象不经过第四象限
4、（4分）如图，、两处被池塘隔开，为了测量、两处的距离，在外选一点，连接、，并分别取线段、的中点、，测得，则的长为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，在长为31m，宽为10m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为540m1．设道路的宽为xm，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．31x+10x﹣1x1＝540
B．31x+10x＝31×10﹣540
C．（31﹣x）（10﹣x）＝540
D．（31﹣x）（10﹣x）＝31×10﹣540
6、（4分）已知 y1  x  5 ， y2 2x  1 ．当 y1  y2 时，x 的取值范围是（ ）
A．x  5B．x C．x  6D．x  6
7、（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=3EQ；④△PBF是等边三角形，其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
8、（4分）如表是某公司员工月收入的资料．
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（ ）
A．平均数和众数B．平均数和中位数C．中位数和众数D．平均数和方差
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）计算：
10、（4分）如图，已知△ABC∽△ADB，若AD＝2，CD＝2，则AB的长为_____．
11、（4分）关于x的方程3x+a＝x﹣7的根是正数，则a的取值范围是_____．
12、（4分）在大课间活动中，体育老师对甲、乙两名同学每人进行10次立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，则甲、乙两名同学成绩更稳定的是 ．
13、（4分）在矩形ABCD中，点A关于∠B的平分线的对称点为E，点E关于∠C的平分线的对称点为F．若AD＝AB＝2，则AF2＝_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）遂宁骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，某车行经营的A型车去年2月份销售总额为3万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加300元，若今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同，则今年2月份A型车销售总额将比去年2月份销售总额增加20%．
（1）求今年2月份A型车每辆销售价多少元？
（2）该车行计划今年3月份新进一批A型车和B型车共40辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，A、B两种型号车的进货和销售价格如表，问应如何进货才能使这批车获利最多？
15、（8分）阅读下列材料：
关于x的方程：的解是，；即的解是；的解是，；的解是，；
请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．
由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．
16、（8分）如图，过点A（2，0）的两条直线，分别交y轴于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=.
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求的解析式．
17、（10分）如图，点D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的长．
18、（10分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE，BD是角平分线，CM⊥BD于M，CN⊥AE于N，若AC=6，BC=8，则MN=_____．
20、（4分）若代数式的值等于0，则x=_____．
21、（4分）一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，则它的边数是 ．
22、（4分）平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）与B（x2，y2），如果满足x1+x2＝0，y1﹣y2＝0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C（3，8）、G（﹣5，8），联结线段CG，如果在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，那么点P的横坐标xP的取值范围是__．
23、（4分）数据，，，，,的方差_________________
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E．
（1）请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）然后证明当：AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF．
25、（10分）某商店分两次购进、两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
（1）求、两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定种商品以每件30元出售，种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进、两种商品共1000件，且种商品的数量不少于种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
26、（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点和点.
（1）求直线所对应的函数表达式；
（2）设直线与直线相交于点，求的面积.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
连接CG，由矩形的性质好已知条件可证明EF是△DGC的中位线，在直角三角形GBC中利用勾股定理可求出CG的长，进而可求出EF的长.
【详解】
连接CG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD,∠B=90∘，AD=BC=8，
∴∠AGD=∠GDC，
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG=∠GDC，
∴∠AGD=∠ADG，
∴AG=AD=8，
∵AF⊥DG于点F，
∴FG=FD，
∵点E是CD的中点，
∴EF是△DGC的中位线，
∴EF=CG，
∵AB=14，
∴GB=6，
∴CG==10，
∴EF=×10=5，
故选C.
此题主要考查矩形的线段求解，解题的关键是熟知平行线的性质、三角形中位线定理及勾股定理的运用.
2、A
【解析】
先证明△AEH∽△AFG∽△ABC，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，即可得出结果．
【详解】
解：∵是面积为的等边三角形
∴
∵矩形平行于
∴
∴
∵被截成三等分
∴，
∴
∴
∴图中阴影部分的面积
故选：A
本题考查了相似三角形的判定和性质，正确理解题意并能灵活运用相关判定方法和性质是解题的关键．
3、C
【解析】
分析：根据k=3>0，图象经过第一、三、四象限，y随x增大而增大即可判断A，D选项的正误；把点（2，1）代入y=3x-1即可判断函数图象不过点（2，1）可判断B选项；当3x-1>0，即x＞时，y>0，可判断C选项正误．
详解：当k=3>0，图象经过第一、三、四象限，y随x增大而增大即可判断A，D选项错误；
当x=2时，y=2×2-1=3≠1，故选项B错误；
当3x-1>0，即x＞时，y>0，，所以C选项正确；
故选C．
点睛：本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x的上方；当b=0，图象经过原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x的下方．
4、C
【解析】
根据题意直接利用三角形中位线定理，可求出.
【详解】
、是、的中点，
是的中位线，
，
，
.
故选.
本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解答实际问题的能力.
5、C
【解析】
把道路进行平移，可得草坪面积＝长为31﹣x，宽为10﹣x的面积，把相关数值代入即可求解．
【详解】
解：把道路进行平移，可得草坪面积为一个矩形，长为31﹣x，宽为10﹣x，
∴可列方程为：（31﹣x）（10﹣x）＝2．
故选：C．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．
6、C
【解析】
由题意得到x-5＞2x+1，解不等式即可．
【详解】
∵y1>y2，
∴x−5>2x+1，
解得x<−6.
故选C.
此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于掌握运算法则.
7、D
【解析】
求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，由此得出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③正确；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，故④正确．
【详解】
∵AE=AB，∴BE=2AE，
由翻折的性质得：PE=BE，∴∠APE=30°，∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°，∴∠EFB=90°﹣60°=30°，∴EF=2BE，故①正确；
∵BE=PE，∴EF=2PE，
∵EF＞PF，∴PF＜2PE，故②错误；
由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°，∴BE=2EQ，EF=2BE，∴FQ=3EQ，故③正确；
由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°，
则∠BFP=30°+30°=60°，
∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°，∴△PBF是等边三角形，故④正确．
故选D．
本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定等知识，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
8、C
【解析】
求出数据的众数和中位数，再与25名员工的收入进行比较即可．
【详解】
该公司员工月收入的众数为3300元，在25名员工中有13人这此数据之上，
所以众数能够反映该公司全体员工月收入水平；
因为公司共有员工1+1+1+3+6+1+11+1=25人，
所以该公司员工月收入的中位数为3400元；
由于在25名员工中在此数据及以上的有13人，
所以中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平；
故选C．
此题考查了众数、中位数，用到的知识点是众数、中位数的定义，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，众数即出现次数最多的数据．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2.
【解析】
根据运算法则进行运算即可.
【详解】
原式＝＝2
此是主要考查二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10、2．
【解析】
利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】
∵△ABC∽△ADB，
∴,
∴AB2＝AD•AC＝2×4＝8，
∵AB＞0，
∴AB＝2，
故答案为：2．
此题考查相似三角形的性质定理，相似三角形的对应边成比例.
11、a＜﹣7
【解析】
求出方程的解，根据方程的解是正数得出>0，求出即可．
【详解】
解：3x+a=x-7
3x-x=-a-7
2x=-a-7
x=，
∵＞0，
∴a＜-7，
故答案为：a＜-7
本题考查解一元一次不等式和一元一次方程的应用，关键是求出方程的解进而得出不等式．
12、乙
【解析】
试题分析：方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定．因此，
∵，∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙．
13、40﹣16
【解析】
由AD＝AB＝2，可求得AB＝2，AD＝2，又由在矩形ABCD中，点A关于角B的角平分线的对称点为E，点E关于角C的角平分线的对称点为F，根据轴对称的性质，可求得BE，CF的长，继而求得DF的长，然后由勾股定理求得答案．
【详解】
∵AD＝AB＝2，
∴AB＝2，AD＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝2，
∵在矩形ABCD中，点A关于角B的角平分线的对称点为E，点E关于角C的角平分线的对称点为F，
∴BE＝AB＝2，
∴CF＝CE＝BC﹣BE＝2﹣2，
∴DF＝CD﹣CF＝4﹣2，
∴AF2＝AD2+DF2＝（2）2+（4﹣2）2＝40﹣16．
故答案为：40﹣16；
此题考查了矩形的性质、轴对称的性质以及勾股定理．解题关键在于注意掌握轴对称图形的对应关系．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）今年的销售价为1800元；（2）购进A型车14辆，B型车26辆，获利最多．
【解析】
（1）设去年2月份A型车每辆的售价为x元，则今年2月份A型车每辆的售价为（x+300）元，然后依据今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同列方程求解即可；
（2）设购进A型车m辆，获得的总利润为w元，则购进B型车（40﹣m）辆，然后列出W与m的函数关系式，然后依据一次函数的性质求解即可．
【详解】
解：（1）设去年2月份A型车每辆的售价为x元，
则今年2月份A型车每辆的售价为（x+300）元，
根据题意得：，
解得：x＝1500，
经检验，x＝1500是原方程的解，
则今年的销售价为1500+300＝1800元．
（2）设购进A型车m辆，获得的总利润为w元，则购进B型车（40﹣m）辆，
根据题意得：
w＝（1800﹣900）m+（2000﹣1000）（40﹣m）＝﹣10m+1．
又∵40﹣m≤2m，
∴m≥13．
∵k＝﹣100＜0，
∴当m＝14时，w取最大值．
答：购进A型车14辆，B型车26辆，获利最多．
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用，依据题意列出分式方程、得到W与m的函数关系式是解题的关键．
15、猜想的解是，．验证见解析；，．
【解析】
此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律：的解为，．据规律解题即可．
【详解】
猜想的解是，．
验证：当时，方程左边，方程右边，
方程成立；
当时，方程左边，方程右边，
方程成立；
的解是，；
由得，
，，
，．
考查解分式方程，通过观察，比较，猜想，验证，可以得出结论.解决此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律.
16、（1）（0，3）；（2）．
【解析】
（1）在Rt△AOB中，由勾股定理得到OB=3，即可得出点B的坐标；
（2）由=BC•OA，得到BC=4，进而得到C（0，-1）．设的解析式为， 把A（2，0），C（0，-1）代入即可得到的解析式．
【详解】
（1）在Rt△AOB中，
∵，
∴，
∴OB=3，
∴点B的坐标是（0，3） ．
（2）∵=BC•OA，
∴BC×2=4，
∴BC=4，
∴C（0，-1）．
设的解析式为，
把A（2，0），C（0，-1）代入得：，
∴，
∴的解析式为是．
考点：一次函数的性质．
17、AC＝2
【解析】
可证明△ACD∽△ABC，则，即得出AC2=AD•AB，从而得出AC的长．
【详解】
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD·AB，
∴AC2＝12，
∴AC＝2 (负值舍去)
本题考查了相似三角形的判定和性质，两个角相等，两个三角形相似．
18、见解析
【解析】
根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是平行四边形，进而证明ADCF是菱形．
【详解】
证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=BC=DC，
∴四边形ADCF是菱形．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1．
【解析】
延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，证明△BMC≌△BMG，得到BG=BC=8，CM=MG，同理得到AH=AC=6，CN=NH，根据三角形中位线定理计算即可得出答案．
【详解】
如图所示，延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得AB=10，
在△BMC和△BMG中,
，
∴△BMC≌△BMG，
∴BG=BC=8，CM=MG，
∴AG=1，
同理，AH=AC=6，CN=NH，
∴GH=4，
∵CM=MG，CN=NH，
∴MN=GH=1.
故答案为：1.
本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线.利用全等证出三角形BCE与三角形ACH是等腰三角形是解题的关键.
20、2
【解析】
由分式的值为零的条件得x2-5x+6=0，2x-6≠0，
由x2-5x+6=0，得x=2或x=3，
由2x-6≠0，得x≠3，
∴x=2.
21、1．
【解析】
多边形的外角和是360度，内角和与外角和的比是4：1，则内角和是1440度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】
解：根据题意，得
（n﹣2）•180=4360，
解得：n=1．
则此多边形的边数是1．
故答案为1．
22、﹣3≤xP≤3，且xp≠1．
【解析】
因为点P、Q是线段CG上的互反等点，推出点P在线段CC′上，由此可确定点P的横坐标xP的取值范围；
【详解】
如图，设C关于y轴的对称点C′（﹣3，8）．
由于点P与点Q互为反等点．又因为点P，Q是线段CG上的反等点，
所以点P只能在线段CC′上，
所点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xP≤3，且xp≠1．
故答案为：﹣3≤xP≤3，且xp≠1．
本题考查坐标与图形的性质、点A与点B互为反等点的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常创新题目．
23、；
【解析】
首先计算平均数，再利用方差的公式计算即可.
【详解】
根据题意可得平均数
所以
故答案为1
本题主要考查方差的计算公式，应当熟练掌握，这是数据统计里一个比较重要的概念.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）由题意易证△ADE≌△CBF推出DE＝BF．
【详解】
（1）解：以B为圆心、适当长为半径画弧，交AB、BC于M、N两点，分别以M、N为圆心、大于MN长为半径画弧，两弧相交于点P，过B、P作射线BF交AC于F．

（2）证明如下：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C．
∵BF平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠FBC，
又∵∠ABC＝2∠ADG，∴∠D＝∠FBC，
在△ADE与△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝BF．
本题考查的是全等三角形的判定定理以及基本作图的有关知识，难度一般．
25、（1）A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元；（2）购进A种商品800件、B种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．
【解析】
（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000-m）件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
根据题意得：
，
解得：
．
答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元．
（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000-m）件，
根据题意得：w=（30-20）（1000-m）+（100-80）m=10m+1．
∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，
∴1000-m≥4m，
解得：m≤2．
∵在w=10m+1中，k=10＞0，
∴w的值随m的增大而增大，
∴当m=2时，w取最大值，最大值为10×2+1=120，
∴当购进A种商品800件、B种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．
此题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式．
26、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB所对应的函数表达式；
（2）联立直线OC及直线AB所对应的函数表达式为方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式结合点A的坐标即可求出△AOC的面积.
【详解】
解：（1）设直线AB所对应的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
将A（5，0），B（0，4）代入y=kx+b，得：，
解得： ，
∴直线AB所对应的函数表达式；
（2）联立直线OC及直线AB所对应的函数表达式为方程组，得：，
解得：，
∴点C坐标，
.
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出直线AB所对应的函数表达式；（2）联立两直线的函数表达式成方程组，通过解方程组求出点C的坐标.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
A型车
B型车
进货价格（元/辆）
900
1000
销售价格（元/辆）
今年的销售价格
2000
购进数量（件）
购进所需费用（元）
第一次
30
40
3800
第二次
40
30
3200