四川省泸县第四中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省泸县第四中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、直线的斜率为( )
A.B.C.D.
2、已知圆C的圆心为,且过点,则圆的方程为( )
A.B.
C.D.
3、从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是( )
A.B.C.D.
4、已知直线与平行,则实数a的值为( )
A.或2B.0或2C.2D.
5、若动点满足方程,则动点P的轨迹方程为( )
A.B.C.D.
6、已知圆与圆关于直线l对称,则直线l的方程是( )
A.B.C.D.
7、若过椭圆内一点弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为( )
A.B.C.D.
8、已知圆,直线,若直线l上存在点P,过点P引圆的两条切线,,使得,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、如图,平面内的小方格均为边长是1的正方形,A,B,C,D,E,F均为正方形的顶点,P为平面外一点,则( )
A.B.
C.D.
10、已知椭圆()的左､右焦点分别为,,若椭圆M与坐标轴分别交于A,B,C,D四点,且从,,A,B,C,D这六点中,可以找到三点构成一个等边三角形,则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有( )
A.B.C.D.
11、人民日报智慧媒体研究院在2020智慧媒体高峰论坛上发布重磅智能产品—人民日报创作大脑,在AI算法的驱动下,无论是图文编辑､视频编辑,还是素材制作,所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a个､图片b张,从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是( )
A.B.
C.D.
12、若实数x,y满足曲线,则下列结论正确的是( )
A.
B.的最小值为
C.直线与曲线C有两个不同的交点,则实数
D.曲线C上有4个点到直线的距离为1
三、填空题
13、若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是________.
14、在正方体中,E,F分别为棱AD,的中点,则异面直线与DF所成角的正弦值为________.
15、已知点和点,P是直线上的一点,则的最小值是__________.
16、已知圆,AB为圆C上的两个动点,且,G为弦AB的中点.直线上有两个动点PQ,且.当AB在圆C上运动时,恒为锐角,则线段PQ中点M的横坐标取值范围为________.
四、解答题
17、已知直线,.
（1）若,求m的值;
（2）若,求m的值.
18、为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会,某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动.某场比赛中,甲,乙,丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是,甲,丙两个家庭都回答错误的概率是,乙,丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.
（1）求乙,丙两个家庭各自回答正确这道题的概率;
（2）求甲,乙,丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
19、如图,三棱柱中,底面ABC是边长为的等边三角形,侧面为菱形,且平面平面,,为棱的中点.
（1）证明:平面;
（2）求二面角的余弦值.
20、在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限,半径为的圆C与直线相切于原点O.
（1）求圆C的方程.
（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q,使点Q到定点的距离等于线段OF的长?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
（1）
（2）存在点,使Q到定点的距离等于线段OF的长.
21、已知椭圆()的离心率为,短轴长为2,直线与椭圆C交于A,B两点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）是否存在实数k,使得点在线段AB的中垂线上?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
22、已知圆,点,点B为圆O上的动点,线段AB的中点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）设,过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E,F两点.
(i)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G,H两点,求四边形EGFH面积的最大值;
(ii)设曲线C与x轴交于P,Q两点,直线PE与直线QF相交于点N,试讨论点N是否在定直线上,若是,求出该直线方程;若不是,说明理由.
参考答案
1、答案：D
解析：直线方程的斜截式为:,斜率为.
故选:D.
2、答案：D
解析：根据题意可设圆的方程为,
因为圆C过点,
所以,解得,
所以圆的方程为.
故选:D.
3、答案：A
解析：从 1,2,3,4,5中抽取两个数基本事件有:
,,, , , , , , , 共10种,
所取的两个数均为偶数的有, 共1种,
所以所取两数均为偶数的概率为,
故选: A
4、答案：D
解析：已知两直线平行,可得,即,解得或.
经过验证可得:时两条直线重合,舍去.
.
故选D
5、答案：A
解析：由题意得:到与的距离之和为8,且,故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程,故,,所以,,所以椭圆方程为.
故选:A
6、答案：B
解析：两圆与圆关于直线l对称,且两圆的圆心距为,
两圆外离,将两个圆方程相减可得,即.
故直线l的方程为.
故选:B.
7、答案：C
解析：设弦两端点为,,则
①-②得即直线为
化简得
故选C
8、答案：D
解析：圆,半径,设,
因为两切线,如下图,,由切线性质定理,知:
,,,所以,四边形PACB为正方形,所以,,
则:,即点P的轨迹是以为圆心,2为半径的圆.
直线过定点,直线方程即,
只要直线与P点的轨迹(圆)有交点即可,即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径,
即:,解得:,
即实数k的取值范围是.
本题选择D选项.
9、答案：ABD
解析：在平面ABC内选取两个互相垂直的单位向量,,且,
则,,,
则,.
所以,
.
,
.
故选:ABD.
10、答案：AB
解析：不妨设A,B为长轴端点,C,D为短轴端点,已知A,B关于原点对称,,关于原点对称,C,D关于原点对称,相应的三角形只取其中一个即可;
首先可能是等边三角形,因为,所以,此时不可能是等边三角形,不合题意;
若为等边三角形,则,所以选项B有可能;
若为等边三角形,则,,所以选项A有可能;
若为等边三角形,则,;
综上可知,可以是椭圆M的离心率的有选项A和B.
故选:AB.
11、答案：BC
解析：由相互独立事件的概率的乘法计算公式,可得A错误,B正确;
事件包含“视频甲未入选,图片乙入选”,“视频甲入选,图片乙未入选”,“视频甲､图片乙都未入选”三种情况,所以,则,所以C正确;
由题可知,,,
因为a,,,所以,即,故D错误.
故选:BC.
12、答案：ABC
解析：曲线,则,
,,
所以曲线C表示圆心是,半径为2的圆的上半部分.
由图可知,A正确
表示圆上点与点连线的斜率,
由图可知,最小值为,B正确.
直线过定点,,
当直线与曲线C有两个不同的交点时,由图可知,k的取值范围是,C正确.
设直线与直线的距离为1,
,,或.
画出直线和的图象,结合图象可知D选项错误.
故选:ABC
13、答案：
解析：由于方程表示焦点在y轴上的椭圆,
所以,解得,
所以k的取值范围是.
故答案为:
14、答案：
解析：如图所示,建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2,则,,,,
则,,
,
所以与DF所成角的正弦值为.
故答案为:.
15、答案：3
解析：如图,
可得A,B两点在直线的同侧,设点A关于直线的对称点,
则,
所以的最小值为,
因为,直线为,所以,
所以,
所以的最小值是3
故答案为:3
16、答案：
解析：圆的半径为,,G为弦AB的中点,
,的轨迹是以C为圆心,以2为半径的圆,
设PQ中点为,
,且当AB在圆C上运动时,恒为锐角,
则以C为圆心以2为半径的圆与以M为圆心以1为半径的圆外离,
则,即,解得或,
线段PQ中点M的横坐标取值范围为,
故答案为.
17、答案：（1）;
（2）
解析：（1）直线,,
由,可得,解得.
（2）由题意可知m不等于0,
由可得,解得.
18、答案：（1）,;
（2）.
解析：（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A,B,C,
则,,,
即,,
所以,.
所以乙,丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.
（2）有0个家庭回答正确的概率
,
有1个家庭回答正确的概率
,
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
19、答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）证明:设BC的中点为,与的交点为O,连接AE,EO,OD,如图所示.
由E为BC的中点可得,又平面平面ABC,平面平面,故平面.
又O为的中点.所以且.
又且,所以且,
因此四边形ADEO为平行四边形,所以且,所以平面,
故,又四边形为菱形,所以,
又,平面,平面,
所以平面;
（2）由（1）可知OD,OB,两两相互垂直,以O为坐标原点,以OD的方向为z轴正方向,分别以OB,为x轴和y轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,,
设为平面的一个法向量,
则,即,可取,
由（1）可知,为平面的一个法向量,
所以.
所以二面角的余弦值为.
20、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）设圆C的圆心为,则圆C的方程为:.
直线与圆C相切于原点O,点在圆C上,且OC垂直于直线,
于是有,解得:或.
由于在第二象限,故,,故.
圆的方程为:.
（2）存在,这是因为:
设存在符合条件的点,则:,
解得:或(舍去),
圆C存在点,使Q到定点的距离等于线段OF的长.
21、答案：（1）
（2）存在,
解析：（1）依题意有解得,.
椭圆C的方程为.
（2）假设在线段AB的中垂线上,
联立,消去y得.
设,,则,.
.
的中点坐标为.
,
,即,解得.
存在时,点在线段AB的中垂线上.
22、答案：（1）;
（2）(i)7;
(ii)存在,.
解析：（1）设,,
因为点B在圆O上,所以①,因为M为AB中点,所以,整理得,代入①式中得,整理得,
所以曲线C的方程为.
（2）(i)因为直线l不与x轴重合,所以设直线l的方程为,即,则直线GH为,设曲线C的圆心到直线l和直线GH的距离分别为,,
则,,所以,,
所以,
当时,;
当时,,当且仅当时等号成立,
综上所述,四边形EGFH面积的最大值为7.
(ii)设,,
联立,得,
则,,,
因为曲线C与x轴交于P,Q两点,所以,,
则直线PE的方程为,
直线QF的方程为,
联立两直线方程得,
所以N在定直线上.