专题06 数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习大题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题06 数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29301" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc29301 \h 1
\l "_Tc4504" 二、典型题型 PAGEREF _Tc4504 \h 2
\l "_Tc10478" 题型一：等差型 PAGEREF _Tc10478 \h 2
\l "_Tc18587" 题型二：无理型 PAGEREF _Tc18587 \h 4
\l "_Tc11447" 题型三：指数型 PAGEREF _Tc11447 \h 5
\l "_Tc6765" 题型四：通项裂项为“”型 PAGEREF _Tc6765 \h 7
\l "_Tc6365" 三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练 PAGEREF _Tc6365 \h 8
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一：等差型
= 1 \* GB3 ①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
类型二：无理型
= 1 \* GB3 ①
如：
类型三：指数型
①
如：
类型四：通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
二、典型题型
题型一：等差型
1．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列；
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：．
3．（23-24高二下·上海·期中）已知数列满足，，数列满足，．
(1)求证：为等差数列，并求通项公式；
(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．
4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设数列满足.
(1)证明：为等差数列；
(2)若数列的前项和为，证明：.
题型二：无理型
1．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）设数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，且，求；
(3)证明：．
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式及；
(2)设______，求数列的前n项和．
在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．（23-24高二下·云南·开学考试）在等差数列中，，是和的等比中项．
(1)求的公差；
(2)若数列的前项和为，且，求.
4．（23-24高三上·山西阳泉·期末）已知数列的前项和为，点在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
题型三：指数型
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知首项为1的数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
2．（23-24高三下·山西·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，数列的前项和为，若对任意的正整数，不等式都成立，求实数的取值范围．
3．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知为正项数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
4．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）设数列的前项和为，为等比数列，且，，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式：
(2)设，数列的前项和为，证明：．
5．（2024·河南南阳·一模）已知数列，若.
(1)求证：数列是等比数列;
(2)若数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.
题型四：通项裂项为“”型
1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且．
(1)证明：是单调递减数列．
(2)求数列的前项和．
2．（23-24高二下·安徽·开学考试）已知在数列中，．
(1)证明是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求．
3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）在数列中，，且分别是等差数列的第1，3项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求的前n项和.
4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列的前项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)已知数列，求数列的前项和．
5．（2024·云南昭通·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练
1．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．（23-24高二下·云南·阶段练习）已知数列中，为的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
3．（2024·山西临汾·二模）已知数列满足．
(1)计算，并求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
4．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知数列满足
(1)求证: 为等比数列；
(2)数列的前n项和为，求数列 的前n项和.
5．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求证：.
6．（2024·浙江·二模）已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求；
(2)求数列的前n项和.
7．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知等差数列的前n项的和为成等差数列，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项的和为，试比较与的大小，并证明你的结论.
8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正项数列，满足．
(1)求；
(2)若，求数列的前项和．
9．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列为等差数列，数列满足，若，，成等比数列，且．
(1)求，；
(2)求数列的前n项和．
10．（23-24高三上·云南德宏·期末）在等差数列与等比数列中，已知，，且，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
11．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为．求证：．
12．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项积为．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．