丰城市第九中学2024-2025学年高一上学期期中考试（日新班）数学试卷(含答案)

这是一份丰城市第九中学2024-2025学年高一上学期期中考试（日新班）数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知全集,集合,,则下面韦恩图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.C.D.
2．已知复数,则( )
A.B.C.D.
3．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的面积为( )
A.2B.C.4D.
4．在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,则的形状是( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定的
5．陀螺是中国民间的娱乐工具之一,早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图,已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6,圆柱和圆锥的高均为4,则该陀螺的表面积为( )
A.B.C.D.
6．如图,在三棱锥中,,,过点作截面,则周长的最小值为( )
A.B.C.D.
7．已知,,则的值为( )
A.B.C.6D.8
8．.已知直三棱柱中,,,,则该三棱柱外接球的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若,,则B.若,,,则
C.若,,则D.若,,,则
10．函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.是曲线的一条对称轴D.在区间上单调递增
11．一块正方体形木料如图所示,其棱长为3,点P在线段上,且,过点P将木料锯开,使得截面过BC,则( )
A.
B.截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台
C.截面的面积为
D.以点为球心,AB长为半径的球面与截面的交线长为
三、填空题
12．已知向量,,,若,则________.
13．如图,在四面体中,,,M、N分别为、中点,并且异面直线与所成的角为,则的长为________.
14．如图为一个圆锥形的金属配件,重90克,其轴截面是一个等边三角形,现将其打磨成一个体积最大的球形配件,则该球形配件的重量为________克.
四、解答题
15．已知向量.
(1)若，且，求的值；
(2)设函数，求函数的值域.
16．如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧面是正三角形,侧面底面,E是的中点.
（1）求证:平面;
（2）求侧面与底面所成二面角的正弦值.
17．在锐角中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求的值;
（2）求的取值范围.
18．如图，在四棱柱中，平面，，，，E为线段的中点.从条件①②中选择一个作为已知，①；②.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）已知点M在线段上，直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
19．已知:
①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数z的模,是以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线（射线OZ）为终边的角,叫做复数的辐角,叫做复数的三角形式.
②被称为欧拉公式,是复数的指数形式.
③方程（n为正整数）有n个不同的复数根.
（1）设,求;
（2）试求出所有满足方程的复数x的值所组成的集合;
（3）复数,求.
参考答案
1．答案：D
解析：图中阴影部分表示的集合为,
因为,,
所以或,又,
所以.
故选:D.
2．答案：A
解析：由,则.
故选:A
3．答案：B
解析：的面积为.
4．答案：C
解析：因为,所以,
即,由正弦定理角化边得,
即,故.
因为,所以C是钝角,即是钝角三角形.
故选:C
5．答案：C
解析：由题意可知：该陀螺的表面有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面,
且圆锥的母线长为,
所以该陀螺的表面积为.
故选：C.
6．答案：C
解析：如图.沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内,如下图所示:
则即为的周长的最小值,又因为,
所以,在中,,由勾股定理得:
.
故选:C.
7．答案：A
解析：,,
所以,所以
,
故选:A
8．答案：B
解析：在中,由正弦定理得外接圆半径r满足,所以,
又因为在直三棱柱中侧棱垂直于底面,所以该三棱柱外接球的球心到平面的距离为,
所以该三棱柱外接球的半径为,体积为.
故选:B.
9．答案：CD
解析：对于A,若,,则可能或m与相交或,故A错误;
对于B,若,,,则或m与n异面,故B错误;
对于C,若,,即平面和垂直于同一条直线,则,故C正确;
对于D,若,,则,又,
则存在使得,所以,
所以由面面垂直判定定理得,故D正确.
故选:CD.
10．答案：AD
解析：对于A,因为,所以由图象知,
,所以,A选项正确;
由图象知,又因为,
所以,即,
因为,所以,B错误;
对于C,当时,,
则不是的对称轴,故C错误;
对于D,的单调增区间满足:,,
即单调增区间为,,
当时,增区间为,所以在区间上单调递增,故D正确.
故选:AD.
11．答案：ACD
解析：对于A,如图,连接,由平面ABCD,平面ABCD,得.又,,平面,平面,所以平面.
又平面,所以,A正确.
对于B,过点P作直线平行于,分别交,于N,M两点,连接BN,CM,显然,所以四边形BCMN为过点P及直线BC的正方体的截面,截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱,B错误.
对于C,由选项B,得,则,,因此截面矩形BCMN的面积,C正确.
对于D,过作于点,由平面平面,得.又,平面BCMN,平面BCMN,所以平面BCMN,所以点O为以点A为球心,AB长为半径的球面被平面BCMN所截小圆圆心,球面与截面的交线为以点O为圆心,BO长为半径的半圆弧,显然,,因此交线长为,D正确.故选ACD.
12．答案：或0.4
解析：因为,,所以,
因为,所以,得.
故答案为:
13．答案：5
解析：取中点P,连接,,
又因为,,M,N分别为,的中点,
所以且,且,
则为异面直线与所成的角（或补角）,
又因为异面直线与所成的角为,
所以,
所以,所以,
故答案为:5
14．答案：40
解析：由于该圆锥的轴截面为等边三角形,如图所示:
设内切球的半径为r,,
所以,,
所以,,
则:,解得.
故答案为:40.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)，
，又，
，
；
(2)由题意：
，
的值域是
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为是正三角形,且E是的中点.,所以,
又底面是正方形,所以,
又因为平面平面,
且平面平面,平面,所以平面,
又因为平面,所以,,,平面,
所以平面.
（2）如图,取的中点M,的中点N,连接,,,
因为是正三角形,所以
又因为平面平面,且平面平面,平面,
所以平面,平面,故,
由题意可知,,,平面,故平面
平面故,
故为平面与面所成二面角的平面角,
设,则,,
所以.
综上所述:侧面与底面所成二面角的正弦值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由及正弦定理得:.
,可得:,
,,且是锐角三角形,
,可得:.
（2）,,.
,,.
.
.
18．答案：（1）证明见详解
（2）
（3）或
解析：（1）证明：选择条件①，
由平面，且平面，
知，，
，，，平面，
平面，
平面，，
过点C作于F，，则四边形是正方形，，
又，，
，即，
，，
，
又，，平面，
平面.
选择条件②：，
过点C作，交于点F，
，四边形为平行四边形，
，，
，
，
，即，
，，
，又，
，即，
由平面，且平面，
知，又，，
又，，平面，
平面.
（2）由平面，且平面，知，
，，
由（1）知，
，，平面，平面，
平面，平面平面，
点到平面的距离等价于的底边上的高h，
由勾股定理知，
在中，由余弦定理知，
，
，
，
所以点到平面的距离为.
（3）过点E作于点G，则，
由（2）知平面，
平面，
平面平面，
在平面上的投影落在上，
直线与平面所成角为，
则，，
在中，，
，
或，
故线段的长为或.
19．答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）依题意,,
所以.
（2）设,则,
因此,,,,解得,,
由终边相同的角的意义,取,1,2,3,4,5,则对应的依次为0,,,,,,
因此对应的依次为,
所以所求的集合是.
（3）当时,,,
则,,,
因此关于的方程的根为1,z,,,…,,
则,
又,,,…,
由此可得,
则,
令,得,而2023为奇数,
所以.