四川省广安华蓥市第一中学2024年九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份四川省广安华蓥市第一中学2024年九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一种微粒的半径是4×10-5米，用小数表示为（ ）
A．0.000004米B．0.000004米C．0.00004米D．0.0004米
2、（4分）有五组数：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；⑤32，42，52，以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、（4分）下列二次根式中属于最简二次根式的是( )
A．B．C．D．
4、（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )
A．B．C．a>1D．a<1
5、（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，且，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为( )
A．2B．C．D．4
6、（4分）下列分式中，无论取何值，分式总有意义的是( )
A．B．C．D．
7、（4分）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
8、（4分）计算的结果为（ ）
A．±3B．-3C．3D．9
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）己知关于的分式方程有一个增根，则_____________．
10、（4分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD．点 P 为底边 BC 的延长线上任意一点，PE⊥AB 于 E，PF⊥DC 于 F，BM⊥DC 于 M．请你探究线段 PE、PF、BM 之间的数量关系：
______．
11、（4分）若=3-x，则x的取值范围是__________．
12、（4分）如图，在正方形ABCD的右边作等腰三角形ADE，AD＝AE，，连BE，则__________．
13、（4分）小邢到单位附近的加油站加油，下图所示是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是______
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在平行四边形ABCD中，O是AB的中点，连接DO并延长交CB的延长线于点E，连接AE、DB．
（1）求证：△AOD≌△BOE；
（2）若DC=DE，判断四边形AEBD的形状，并说明理由．
15、（8分）（定义学习）
定义:如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”
（判断尝试）
在①梯形;②矩形:③菱形中，是“对直四边形”的是哪一个. (填序号)
（操作探究）
在菱形ABCD中，于点E,请在边AD和CD上各找一点F,使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出EF的长，

（实践应用）
某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，若AB=3米，AD=1米，
.现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形"板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余.求分割后得到的等腰三角形的腰长，
16、（8分）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，连接BE、CE, ．
（1）如图1，若 ；
（2）如图2，点P是EC的中点，连接BP并延长交CD于点F，H为AD上一点，连接HF,且 ,求证：.
17、（10分）新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量。经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆.
（1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；
（2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴.在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？
18、（10分）如图，是由绕点顺时针旋转得到的，连结交斜边于点，的延长线交于点．
（1）若，，求；
（2）证明：；
（3）设，试探索满足什么关系时，与是全等三角形，并说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了_____ cm.
20、（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为______．
21、（4分）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠BAD=120°，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点C作CF∥AE，交AD于点F，则四边形AECF的面积为________．
22、（4分）平面直角坐标系内，点P（3，﹣4）到y轴的距离是_____．
23、（4分）已知中，，角平分线BE、CF交于点O，则 ______ ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边cm， cm，现将直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
25、（10分）如图，在6×6的方格图中，每个小方格的边长都是为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形．
（1）画出以A点出发，另一端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 的一条线段．
（2）画出一个以题（1）中所画线段为腰的等腰三角形．
26、（12分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F，连接CF．四边形BDFC是平行四边形吗？证明你的结论．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
4×10-5= 0.00004
故答案为：C
考查了科学计数法，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
2、C
【解析】因为72+242=252；122+162=202；92+402=412；42+62≠82；（32）2+（42）2≠（52）2，所以能组成直角三角形的个数为3个.
故选C.
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，已知一个三角形三边的长，常用勾股定理的逆定理判断这个三角形是否是直角三角形.
3、D
【解析】
解：A．=，不是最简二次根式，故A错误；
B．=6，不是最简二次根式，故B错误；
C．，根号内含有分母，不是最简二次根式，故C错误；
D．是最简二次根式，故D正确．
故选D．
4、A
【解析】
分析：根据二次根式有意义的条件可得a-1≥0，再解不等式即可．
详解：由题意得：a-1≥0，
解得：a≥1，
故选A．
点睛：此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
5、C
【解析】
连接CE，根据线段中点的定义求出DE、AD，根据矩形的对边相等可得BC=AD，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CE=BC，再利用勾股定理列式求出CD，然后根据矩形的对边相等可得AB=CD．
【详解】
如图，连接CE，
∵点E是AD中点，
∴DE=AE=2，AD=2AE=2×2=4，
∴BC=AD=4，
∵BE 的垂直平分线MN 恰好过点C，
∴CE=BC=4，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，CD=，
∴AB=CD=2．
故选C．
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形．
6、A
【解析】
根据分式有意义的条件是分母不等于零判断．
【详解】
解：A、∵a2≥0，
∴a2＋1＞0，
∴总有意义；
B、当a＝−时，2a＋1＝0，无意义；
C、当a＝±1时，a2−1＝0，无意义；
D、当a＝0时，无意义；无意义；
故选：A．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
7、D
【解析】
首先把方程化为一般式，然后可得二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】
2x2-6x=9可变形为2x2-6x-9=0，
二次项系数为2、一次项系数为-6、常数项为-9，
故选：D．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；b叫做一次项系数；c叫做常数项．
8、C
【解析】
根据=|a|进行计算即可．
【详解】
=|-3|=3，
故选：C.
此题考查了二次根式的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x-3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【详解】
方程两边都乘(x−3)，得
x−2(x−3)=k+1，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x−3=0，即增根是x=3，
把x=3代入整式方程，得k=2.
本题主要考查了分式方程的增根，熟悉掌握步骤是关键.
10、PE－PF=BM.
【解析】
过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，易证四边形BMFH是平行四边形，于是有FH=BM，再用AAS证明△PBE≌△PBH，可得PH=PE，继而得到结论.
【详解】
解：PE－PF=BM. 理由如下：
过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，如图
∴∠PBH=∠DCB，
∵PF⊥CD，BM⊥CD，
∴BM∥FH，PH⊥BH，
∴四边形BMFH是平行四边形，∠H=90°，
∴FH=BM，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ABC=∠PBH，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=∠H=90°，又PB为公共边，
∴△PBE≌△PBH（AAS），
∴PH=PE，
∴PE=PF+FH=PF+BM．
即PE－PF=BM.
本题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，构造所需的平行四边形和全等三角形.
11、
【解析】
试题解析：∵=3﹣x，
∴x-3≤0，
解得：x≤3，
12、45°
【解析】
先证明AB＝AE，求得∠AEB，由AD＝AE，∠DAE＝50°，求得∠AED，进而由角的和差关系求得结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵AD＝AE，∠DAE＝50°，
∴AB＝AE，∠ADE＝∠AED＝65°，∠BAE＝140°，
∴∠ABE＝∠AEB＝20°，
∴∠BED＝65°−20°＝45°，
故答案为：45°．
本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是求得∠AEB和∠AED的度数．
13、金额与数量
【解析】
根据常量与变量的意义结合油的单价是不变的，而金额随着加油数量的变化在变化，据此即可得答案.
【详解】
常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故答案为：金额与数量.
本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的概念是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）证明见解析；（2）四边形AEBD是矩形．
【解析】
（1）利用平行线得到∠ADO=∠BEO，再利用对顶角相等和线段中点，可证明△AOD≌△BOE；
（2）先证明四边形AEBD是平行四边形，再利用对角线相等的平行四边形的矩形，可判定四边形AEBD是矩形．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CE，∴∠ADO=∠BEO．
∵O是BC中点，∴AO=BO．
又∵∠AOD=∠BOE，∴△AOD≌△BOE（AAS）；
（2）四边形AEBD是矩形，理由如下：
∵△AOD≌△BOE，∴DO=EO．
又AO=BO，∴四边形AEBD是平行四边形．
∵DC=DE=AB，∴四边形AEBD是矩形．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解决这类问题往往是把四边形问题转化为三角形问题解决．
15、【判断尝试】②；【操作探究】EF的长为2，EF的长为；【实践应用】方案1：两个等腰三角形的腰长都为米．理由见解析，方案2：两个等腰三角形的腰长都为2米．理由见解析，方案3：两个等腰三角形的腰长都为米，理由见解析．方案4：两个等腰三角形的腰长都为米，理由见解析．
【解析】
[判断尝试]根据“对直四边形”定义和①梯形;②矩形:③菱形的性质逐一分析即可解答.
[操作探究]由菱形性质和30°直角三角形性质即可求得EF的长.
[实践应用]先作出“对直四边形”，容易得到另两个等腰三角形，再利用等腰三角形性质和勾股定理即可求出腰长.
【详解】
解： [判断尝试]
①梯形不可能一组对角为直角;③菱形中只有正方形的一组对角为直角，②矩形四个角都是直角，故矩形有一组对角为直角，为“对直四边形”，
故答案为② ，
[操作探究]
F在边AD上时，如图：

∴四边形AECF是矩形，
∴AE=CE，
又∵，
∴BE=1，AE=，CE=AF=1，
∴在Rt△AEF中，EF==2
EF的长为2.
F在边CD上时，AF⊥CD，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=2，∠B=∠D=60°，
又∵AE⊥BC，
∴∠BAE=∠BAF=30°，
∴AE=AF=，
∵∠BAD=120°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴EF=AF=AE=
即：EF的长为；
故答案为2，.
[实践应用]
方案1：如图①，作，则四边形ABCD分为等腰、等腰、“对直四边形”ABED，其中两个等腰三角形的腰长都为米．
理由：∵，∴四边形ABED为矩形，
∴3米，
∵，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DE=EC=3米，
∴DC=米，
∵，
∴=DC=米．
方案2：如图②，作，则四边形ABCD分为等腰△FEB、等腰△FEC、“对直四边形”ABED，其中两个等腰三角形的腰长都为2米．
理由：作，由（1）可知3米，BG=AD=1米，
∴BC=1+3=4米，
∵，
∴△BEC为等腰直角三角形，
∵，
∴BC=2米．
方案3：如图③，作CD、BC的垂直平分线交于点E，连接ED、EB，则四边形ABCD分为等腰△CED、等腰△CEB、“对直四边形”ABED，其中两个等腰三角形的腰长都为米．
理由：连接CE，并延长交AB于点F，
∵CD、BC的垂直平分线交于点E，∴，∴，
∴
．
连接DB，
DB==，
∵ED=EB，
∴△BED为等腰直角三角形，
∴ED=米，
∴米．
方案4：如图④，作，交AB于点E，，
则四边形ABCD分为等腰△AFE、等腰△AFD、“对直四边形”BEDC，其中两个等腰三角形的腰长都为米．
理由：作，交AB于点E，可证∠ADE45°，
∵，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴DE =米，
作，
∴DE=米．
此题是四边形综合题，主要考查了新定义“对直四边形”的理解和应用，矩形的判定和性质，勾股定理，正确作出图形是解本题的关键．
16、（1）1；（2）详见解析.
【解析】
（1）根据题意四边形ABCD是矩形，可得AE=BE，再利用勾股定理得到，即可解答
（2）延长BF,AD交于点M.，得到再证明，得到，即可解答
【详解】
解：(1)∵四边形ABCD是矩形
∴ AD=AC=4
∵
∴
∴AE=BE
∵
∴
∴
∴
（2）延长BF,AD交于点M.
∵四边形ABCD是矩形
∴,∴
∵点P是EC的中点
∴PC=PE
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
此题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键在于利用矩形的性质求解
17、（1）40%；（2）财政部门今年需要准备1040万元补贴资金.
【解析】
（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，根据“去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆”列出方程并解答；
（2）根据（1）中的增长率可以得到：3250×增长率×0.1．
【详解】
解：（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为，由题意得
.
解得，，（舍）
因此，.
所以，今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为40%.
（2）3250×40%×0.1=1040（万元）.
所以，财政部门今年需要准备1040万元补贴资金.
本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
18、（1）；（2）见解析；（3），见解析
【解析】
（1）根据旋转的性质可以证得：△ACC′∽△ABB′，即可求解；
（2）根据旋转的性质可以证得：AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，再根据∠AEC=∠FEB即可证明两个三角形相似；
（3）当β=2α时，△ACE≌△FBE．易证∠ABC=∠BCE，再根据CE=BE，即可证得．
【详解】
（1）解：∵AC=AC′，AB=AB′，
∴
由旋转可知：∠CAB=∠C′AB′，
∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′，即∠CAC′=∠BAB′，
又∵∠ACB=∠AC′B′=90°，
∴△ACC′∽△ABB′，
∵AC=3，AB=4，
∴ ；
（2）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，
∴∠CAC′=∠BAB′，
∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，
∴∠ACC′=∠ABB′，
又∵∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE．
（3）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．理由：
在△ACC′中，

∵AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C= =90°-α，
在Rt△ABC中，
∠ACC′+∠BCE=90°，
即90°-α+∠BCE=90°，
∴∠BCE=90°-90°+α=α，
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，
∴CE=BE，
由（2）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．
此题考查了相似三角形的性质，三角形全等的判定与应用，正确理解图形旋转的性质是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、2.
【解析】
根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【详解】
Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故答案为2.
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
20、1或1或1
【解析】
分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．
【详解】
如图1，当∠AMB=90°时，
∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OB=1，
又∵∠AOC=∠BOM=60°，
∴△BOM是等边三角形，
∴BM=BO=1，
∴Rt△ABM中，AM==；
如图2，当∠AMB=90°时，
∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OA=1，
又∵∠AOC=60°，
∴△AOM是等边三角形，
∴AM=AO=1；
如图3，当∠ABM=90°时，
∵∠BOM=∠AOC=60°，
∴∠BMO=30°，
∴MO=2BO=2×1=8，
∴Rt△BOM中，BM==，
∴Rt△ABM中，AM==．
综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为或或1．故答案为或或1．
21、
【解析】
【分析】如图所示，过点A作AM⊥BC，垂足为M，先证明△ABE是等边三角形，从而求得BE=AB=2，继而求得AM长，再证明四边形AECF是平行四边形，继而根据平行四边形的面积公式进行计算即可求得.
【详解】如图所示，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠B=180°-∠BAD=180°-120°=60°，
∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，∠BAD=120°，
∴∠DAE=60°，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2，
∴BM=1，AM=，
又∵CF//AE，∴四边形AECF是平行四边形，
∵CE=BC-BE=3-2=1，
∴S四边形AECF=CE•AM=，
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关的定理与性质是解题的关键.
22、3
【解析】
根据平面直角坐标系的特点，可知到y轴的距离为横坐标的绝对值，因此可知P点到y轴的距离为3.
故答案为3.
23、
【解析】
解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵角平分线BE、CF交于点O，∴∠OBC+∠OCB=45°，∴∠BOC=180°﹣45°=135°．故答案为：135°．
点睛：本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、CD的长为2cm.
【解析】
首先由勾股定理求得AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设DC=x，则BD=8-x，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE，∠DEA=∠C．
∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°．
设DC=x，则BD=8-x．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE1+ED1=BD1，即41+x1=（8-x）1．
解得：x=2．
∴CD=2．
本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，利用翻折的性质和勾股定理表示出△DBE的三边长是解题的关键．
25、（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【解析】
（1）直接利用勾股定理结合网格得出答案；
（2）利用等腰三角形的定义得出符合题意的一个答案．
【详解】
（1）如图所示：AB即为所求；
（2）如图所示：△ABC即为所求．
此题主要考查了应用设计与作图，正确应用网格是解题关键．
26、四边形BDFC是平行四边形．理由见解析。
【解析】
根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BCE=∠FDE，然后利用“角角边”证明△BCE和△FDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可
【详解】
四边形BDFC是平行四边形．理由如下：
∵∠A=∠ABC=90°，
∴∠A＋∠ABC=180°，
∴BC∥AF，
∴∠BCE＝∠FDE，
∵E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△BCE和△FDE中，
∵∠BCE＝∠FDE，CE＝DE，∠CEB=∠DEF，
∴△BCE≌△FDE(ASA) ，
∴BE＝EF，
∵CE＝DE，BE＝EF，
∴四边形BDFC为平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分