四川省成都市育才学校2024-2025学年数学九上开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份四川省成都市育才学校2024-2025学年数学九上开学学业水平测试试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）分式方程的解是( ).
A．x=-5B．x=5C．x=-3D．x=3
2、（4分）下列二次根式计算正确的是（ ）
A．－＝1B．＋＝C．×＝D．÷＝
3、（4分）若a为有理数，且满足|a|+a=0，则（ ）
A．a＞0B．a≥0C．a＜0D．a≤0
4、（4分）某市5月份中连续8天的最高气温如下（单位：）：32，30，34，36，36，33，37，38.这组数据的众数是（ ）
A．34B．37C．36D．35
5、（4分）在Rt△ABC中，BC是斜边，∠B=40°，则∠C=（ ）
A．90°B．60°C．50°D．40°
6、（4分）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象位于( )
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第二、四象限D．第一、三象限
7、（4分）下列长度的三条线段，能成为一个直角三角形的三边的一组是（ ）
A．B．1，2，C．2，4，D．9，16，25
8、（4分）如图，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）不等式1﹣2x≥3的解是_____．
10、（4分）有一组数据如下： 2， 2， 0，1， 1．那么这组数据的平均数为__________，方差为__________．
11、（4分）以1，1，为边长的三角形是___________三角形．
12、（4分）一次函数y=﹣x+4图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P为正比例函数y=kx（k＞0）图象上一动点，且满足∠PBO=∠POA，则AP的最小值为_____．
13、（4分）数据，，，，，，的众数是______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知一次函数y=1x-4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1,d1．
（1）求点A,B的坐标；
（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d1的值；
（3）直接写出d1+d1的范围，并求当d1+d1=3时点P的坐标；
（4）若在线段AB上存在无数个点P，使d1+ad1=4（a为常数），求a的值．
15、（8分） (1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为( )
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D．
①求证:四边形AFF'D是菱形;
②求四边形AFF'D的两条对角线的长.
图1 图2
16、（8分）如图，在四边形中，，、相交于点，为中点，延长到点，使.
（1）求证：；
（2）求证：四边形为平行四边形；
（3）若，，，直接写出四边形的面积.
17、（10分）如图,在△ABC中,∠C=90∘，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E.
(1)求证：CD=BE；
(2)若AB=10，求BD的长度．
18、（10分） (1)分式化简()÷；
(2)若(1)中a为正整数，分式的值也为正整数，请直接写出所有符合条件的a的值
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知，则______
20、（4分）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点则PM＋PN的最小值是_
21、（4分）对于点P（a，b），点Q（c，d），如果a﹣b＝c﹣d，那么点P与点Q就叫作等差点．例如：点P（4，2），点Q（﹣1，﹣3），因4﹣2＝1﹣（﹣3）＝2，则点P与点Q就是等差点．如图在矩形GHMN中，点H（2，3），点N（﹣2，﹣3），MN⊥y轴，HM⊥x轴，点P是直线y＝x+b上的任意一点（点P不在矩形的边上），若矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，则b的取值范围为_____．
22、（4分）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是_____．
23、（4分）如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM，AN交于B，C两点，连接BC，再分别以B，C为圆心，以相同长（大于BC）为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，CD．若∠MBD=40°，则∠NCD的度数为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知一次函数的图象经过点与点.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点和点在此一次函数的图象上，比较，的大小.
25、（10分）如图，将的边延长到点，使，交边于点.
求证：
若，求证：四边形是矩形
26、（12分）（1）计算：（1+2）（﹣）﹣（﹣）2
（2）因式分解：2mx2﹣8mxy+8my2
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
观察可得最简公分母是(x+1)(x-1),方程两边乘以最简公分母,可以把分式方程化为整式方程,再求解.
【详解】
方程两边同乘以(x+1)(x-1),
得3(x+1)=2(x-1),
解得x=-5.
经检验:x= -5是原方程的解.
故选A..
本题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
2、C
【解析】
本题需根据二次根式的乘除法和加减法分别进行判断，即可求出正确答案．
【详解】
A、∵－≠，故本选项错误；
B、∵＋≠，故本选项错误；
C、∵×＝．故本选项正确；
D、÷＝≠，故本选项错误；
故选C．
本题主要考查了二次根式的乘除法和加减法，在解题时要注意知识的综合应用是本题的关键．
3、D
【解析】
试题解析：

即为负数或1．
故选D．
4、C
【解析】
根据众数的定义求解.
【详解】
∵36出现了2次，故众数为36，故选C.
此题主要考查数据的众数，解题的关键是熟知众数的定义.
5、C
【解析】
BC是斜边，则∠A=90°，利用三角形内角和定理即可求出∠C．
【详解】
∵BC是斜边
∴∠A=90°
∴∠C=180°-90°-40°=50°
故选C．
本题考查三角形内角和定理，根据BC是斜边得出∠A是解题的关键．
6、D
【解析】
首先将点坐标代入函数解析式，即可得出的值，即可判定反比例函数所处的象限.
【详解】
解：∵ 反比例函数图象经过点，
∴
∴
∴该反比例函数图像位于第一、三象限，
故答案为D.
此题主要考查利用点坐标求出反比例函数解析式，即可判定其所在象限.
7、B
【解析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
A、∵（）2+（）2≠（）2，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵12+（）2=22，∴能构成直角三角形，故本选项正确；
C、∵22+（）2≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵92+162≠252，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选B．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
8、A
【解析】
根据图象求出交点P的坐标，根据点P的坐标即可得出答案：
∵由图象可知：一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2的交点P的坐标是（﹣2，3），
∴方程组的解是．故选A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、x≤﹣1.
【解析】
根据解一元一次不等式基本步骤:移项、合并同类项、系数化为1可得.
【详解】
∵﹣2x≥3﹣1，∴﹣2x≥2，则x≤﹣1，故答案为：x≤﹣1.
此题考查解一元一次不等式，难度不大
10、1 1
【解析】
分析：先算出数据的平均数，再根据方差的计算公式，代入公式计算即可得到结果．
详解：平均数为：(-2+2+0+1+1)÷5=1，
=,
故答案为1, 1.
点睛：本题考查了平均数与方差的应用，先求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．
11、等腰直角
【解析】
根据等腰三角形和直角三角形的性质以及判定定理进行判断即可．
【详解】
∵
∴是等腰三角形
∵
∴是直角三角形
∴该三角形是等腰直角三角形
故答案为：等腰直角．
本题考查了等腰三角形和直角三角形的证明问题，掌握等腰三角形和直角三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
12、2﹣2
【解析】
如图所示：
因为∠PBO=∠POA，
所以∠BPO=90°，则点P是以OB为直径的圆上．
设圆心为M，连接MA与圆M的交点即是P，此时PA最短,
∵OA＝4，OM＝2，
∴MA＝
又∵MP＝2，AP＝MA－MP
∴AP＝．
13、4
【解析】
根据众数概念分析即可解答.
【详解】
数据中出现次数最多的数为众数，故该组数据的众数为4
故答案为：4
本题为考查众数的基础题，难度低，熟练掌握众数概念是解答本题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）A(1,0)B(0,-4)；（1）d1+d1=3；（3）当d1+d1=3时点的坐标为点p1(1,1)、p1(,)；（4）在线段上存在无数个p点， a=1.
【解析】
（1）对于一次函数解析式，分别令y=0求出x的值，令x=0，求出y的值，即可求出A与B的坐标，
（1）求出P点坐标，即可求出d1+d1的值；.
（3）根据题意确定出d1+d1的范围，设P（m，1m-4），表示出d1+d1，分类讨论m的范围，根据d1+d1=3求出m的值，即可确定出P的坐标；.
（4）设P（m，1m-4），表示出d1与d1，由P在线段上求出m的范围，利用绝对值的代数意义表示出d1与d1，代入d1+ad1=4，根据存在无数个点P求出a的值即可．
【详解】
（1）如图所示，
令y=0时，x=1, x=0时，y =-4,
∴A(1,0)B(0,-4)
（1）当为线段的中点时，P(,) 即P(1，-1)
∴d1+d1=3
（3）d1+d1≥1
∵P点在一次函数y=1x-4的图象上，故设点P(m,1m-4)，
∴d1+d1=︱xp︱+︱yp︱=︱m︱+︱1m-4︱.
由题当d1+d1=3时，根据1m-4=1(m-1)可分析，
当0≤m≤1时，d1+d1=m+4-1m=3，此时解得，m=1∴得点p1(1,1).
当m＞1时，同理， d1+d1=m+1m-4=3，解得m=，所以得点p1(,).
当m＜0时，d1+d1=-m+4-1m=3，解得m=，即不符合m＜0，故此时不存在点p.
综上所述，当d1+d1=3时点的坐标为点p1(1,1)、p1(,).
（4）设点P(m,1m-4)，
∴d1=︱1m-4︱，d1=︱m︱，
∵P在线段AB上，且点A(1,0)，B(0,-4)，
∴0≤m≤1.即d1=4-1m，d1=m.
∵使d1+ad1=4（a为常数），
∴代入数值得4-1m+am=4，即(a-1)m=0，
根据题意在线段上存在无数个p点，所以a=1.
此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，线段中点坐标公式，绝对值的代数意义，以及坐标与图形性质，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
15、（1）C；（2）①证明见解析；②，1
【解析】
试题分析：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为矩形，故选C；
（2）①证明：∵纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴AE=1．如图2：
∵△AEF，将它平移至△DE′F′，∴AF∥DF′，AF=DF′，∴四边形AFF′D是平行四边形．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF==5，∴AF=AD=5，∴四边形AFF′D是菱形；
②连接AF′，DF，如图1：
在Rt△DE′F中E′F=FF′﹣E′F′=5﹣4=1，DE′=1，∴DF=
，在Rt△AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=1，∴AF′==1．
考点：①图形的剪拼；②平行四边形的性质；③菱形的判定与性质；④矩形的判定；⑤平移的性质．
16、（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
（1）由AAS证明△ADE≌△CBE，即可得出AE＝CE；
（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，AB＝CD，证出AB＝DF，即可得出四边形ABDF为平行四边形；
（3）由平行四边形的性质得出∠F＝∠DBA，BD＝AF＝2，AB＝DF，证出∠DBA＝∠BAC，得出AE＝BE＝DE，证出∠BAD＝90°，由勾股定理求出AD＝=,
即可得出四边形ABDF的面积．
【详解】
解答：（1）证明：∵AD∥CB，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵E为BD中点，
∴DE＝BE，
在△ADE和△CBE中，
∴△ADE≌△CBE（AAS），
∴AE＝CE；
（2）证明：由（1）得：AE＝CE，BE＝DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵DF＝CD，
∴AB∥DF，AB＝DF，
∴四边形ABDF为平行四边形；
（3）解：∵四边形ABDF为平行四边形，
∴∠F＝∠DBA，BD＝AF＝2，AB＝DF，
∵∠BEC＝2∠F，∠BEC＝∠DBA＋∠BAC，
∴∠DBA＝∠BAC，
∴AE＝BE＝DE，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝CD＝1，
∴AD＝=,
∵DF＝AB＝1，
∴四边形ABDF的面积＝DF×AD＝
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的判定、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
17、（1）详见解析；（2）BD=.
【解析】
（1）等腰直角三角形的底角为45°，角平分线上的点到两边的距离相等，根据这些知识用线段的等量代换可求解．
（2）先求出BC的长度，再设BD=x，可表示出CD，从而可列方程求解．
【详解】
（1）证明：∵AD平分∠CAB，C=90∘，DE⊥AB
∴DC⊥AC,
∴CD=DE
∵AC=BC
∴∠B=45°
∴∠B=∠BDE
∴DE=BE
∴CD=BE；
（2）解：在△ABC中，
∵∠C=90°，AC=BC，AB=10
∴BC＝5
在Rt△BDE中，设BD=x，
∵DE=BE=CD
∴BE=CD=x，
列方程为：x+x＝5
解得BD=x=10−10.
本题考查角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点．以及数形结合的思想．
18、 (1)；(2)a=3 .
【解析】
（1）根据分式的运算法则即可求出答案．
（2）根据题意即可求出答案．
【详解】
(1)原式＝，
=
＝；
(2)由题意可知：a+1＝1或2或4，
且a+1≠0，a2﹣1≠0，a≠0，
∴a＝3
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、34
【解析】
∵，∴=，
故答案为34.
20、1
【解析】
试题分析：要求PM+PN的最小值，PM，PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN，PM的值，从而找出其最小值求解．如图：作ME⊥AC交AD于E，连接EN，则EN就是PM+PN的最小值，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴BN=BM=AM，∵ME⊥AC交AD于E，∴AE=AM，∴AE=BN，AE∥BN，∴四边形ABNE是平行四边形，而由已知可得AB=1∴AE=BN，∵四边形ABCD是菱形，∴AE∥BN，∴四边形AENB为平行四边形，∴EN=AB=1，∴PM+PN的最小值为1．
考点：轴对称—最短路径问题
点评：考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键
21、﹣1＜b＜1
【解析】
由题意，G(-2，3)，M(2，-3)，根据等差点的定义可知，当直线y＝x+b与矩形MNGH有两个交点时，矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，求出直线经过点G或M时的b的值即可判断．
【详解】
解：由题意，G(-2，3)，M(2，-3)，
根据等差点的定义可知，当直线y＝x+b与矩形MNGH有两个交点时，矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，
当直线y＝x+b经过点G(-2，3)时，b＝1，
当直线y＝x+b经过点M(2，-3)时，b＝-1，
∴满足条件的b的范围为：-1＜b＜1．
故答案为：-1＜b＜1.
本题考查一次函数图象上点的特征、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
22、且
【解析】
分式方程去分母得：2（2x-a）=x-2，
去括号移项合并得：3x=2a-2，
解得：，
∵分式方程的解为非负数，
∴ 且 ，
解得：a≥1 且a≠4 ．
23、40°
【解析】
先根据作法证明△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，然后根据三角形外角的性质可证∠NCD=∠MBD=40°.
【详解】
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC,
BD=CD,
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA.
∵∠MBD=∠BAD+∠BDA，∠NCD=∠CAD+∠CDA，
∴∠NCD=∠MBD=40°.
故答案为：40°.
本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解答本题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1) y=2x-1；（2）m【解析】
（1）设一次函数解析式为y=kx+b，将已知两点坐标代入得到方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）利用一次函数图象的增减性进行解答．
【详解】
（1）设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵一次函数的图象经过点（3，5）与（-4，-9），
∴，解得，
∴这个函数的解析式为y=2x-1；
（2）∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大．
∵a＜a+1，
∴m本题考查待定系数法求一次函数解析式，属于比较基础的题，注意待定系数法的掌握，待定系数法是中学数学一种很重要的解题方法．
25、 ()证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，继而由AD=AF，可得四边形AFBC是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分即可得结论；
(2)由四边形AFBC是平行四边形，可得CE=FE，AE=EB，由DC//AB可得∠BAF=∠D，继而由∠BEF=2∠D以及三角形外角的性质可得∠EAF=∠AFE，由此得EA=EF，进而得出AB=CF，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得结论.
【详解】
(1)四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
∴DC//AB，
，
又
，
，
，
，
，
，
平行四边形是矩形.
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，三角形外角的性质等，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键.
26、（1）﹣+1；（1）1m（x﹣1y）1．
【解析】
（1）利用平方差公式，完全平方公式进行计算即可
（1）先提取公因式1m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
（1）原式＝﹣+6﹣1 ﹣（1﹣1+3）
＝﹣+6﹣1﹣5+1
＝﹣+1；
（1）原式＝1m（x﹣4xy+4y）
＝1m（x﹣1y）1．
此题考查提公因式法与公式法的综合运用，二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则
题号
一
二
三
四
五
总分
得分