四川省成都市郫都区2024-2025学年数学九年级第一学期开学预测试题【含答案】

这是一份四川省成都市郫都区2024-2025学年数学九年级第一学期开学预测试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一辆客车从甲站开往乙站，中途曾停车休息了一段时间，如果用横轴表示时间t，纵轴表示客车行驶的路程s，如图所示，下列四个图像中能较好地反映s和t之间的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）若分式的值为0，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）点P（1，a），Q（﹣2，b）是一次函数y＝kx+1（k＜0）图象上两点，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞bB．a＝bC．a＜bD．不能确定
5、（4分）若线段，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（ ）
A．B．C．或D．或
6、（4分）下列各式中属于最简二次根式的是（ ）．
A．B．C．D．
7、（4分）若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ）
A．5B．6C．2D．4
8、（4分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )
A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）比较大小：_______2（填“＞”或“＜”）．
10、（4分）在函数的图象上有两个点,,则的大小关系是___________．
11、（4分）如图，在正方形中，点，点，，，则点的坐标为_________.（用、表示）
12、（4分）化简： ．
13、（4分）若分式方程有增根,则等于__________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.（要求：根据题意先画出图形，并写出已知、求证，再证明）.
15、（8分）如图1，在中，，，点，分别在边AC，BC上，，连接BD，点F，P，G分别为AB，BD，DE的中点.
（1）如图1中，线段PF与PG的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）若把△ CDE绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，连接AD，BE，GF，判断△ FGP的形状，并说明理由；
（3）若把△ CDE绕点C在平面内自由旋转，AC=8，CD=3，请求出△FGP面积的最大值.
16、（8分）如图，在四边形ABCD中，，，，，E是BC的中点，P是AB上的任意一点，连接PE，将PE绕点P逆时针旋转得到PQ，过A点，D点分别作BC的垂线，垂足分别为M，N．
求AM的值；
连接AC，若P是AB的中点，求PE的长；
若点Q落在AB或AD边所在直线上，请直接写出BP的长．
17、（10分）计算：÷+×﹣．
18、（10分）取一张长与宽之比为的长方形纸板，剪去四个边长为的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB＝_____．
20、（4分）若x-y=，xy=，则代数式（x-1）（y+1）的值等于_____．
21、（4分）如图，在中，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点，交于点，连接．若，连接点和的中点，则的长为_______．
22、（4分）在中，，，点在上，．若点是边上异于点的另一个点，且，则的值为______．
23、（4分）使代数式有意义的的取值范围是__________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某市篮球队在市一中选拔一名队员．教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每次投10个球，如图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数．
(1)请你根据图中的数据，填写上表．
(2)你认为谁的成绩比较稳定，为什么？
(3)若你是教练，你打算选谁？简要说明理由．
25、（10分）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，.
26、（12分）学校开展“书香校园，诵读经典”活动，随机抽查了部分学生，对他们每天的课外阅读时长进行统计，并将结果分为四类：设每天阅读时长为t分钟，当0＜t≤20时记为A类，当20＜t≤40时记为B类，当40＜t≤60时记为C类，当t＞60时记为D类，收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽取了 名学生进行调查统计，扇形统计图中的D类所对应的扇形圆心角为 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有2000名学生，请估计该校每天阅读时长超过40分钟的学生约有多少人？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
分析：由于s是客车行驶的路程，那么在整个过程中s应该是越来越大的，即可对B和C进行判断；中间停车休息了一段时间，s会有一段时间处于不增加的状态，即可对A进行判断；D选项的s越来越大，且中间有一段时间s不增加，进而进行求解.
详解：横轴表示时间t，纵轴表示行驶的路程s，那么随着时间的增多，路程也随之增多，应排除B、C；由于中途停车休息一段时间，时间增加，路程没有增加，排除A.
故选D.
点睛：本题主要考查了函数的图象的知识，根据题意，找出题目中关键的语句结合各选项进行分析是解题的关键.
2、D
【解析】
根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式，据此解答即可.
【详解】
A.=，故该选项不是最简分式，不符合题意，
B.==-1，故该选项不是最简分式，不符合题意，
C.==x+2，故该选项不是最简分式，不符合题意，
D.不能化简，是最简分式，符合题意.
故选D.
本题考查最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式；最简分式首先系数要最简；一个分式是否为最简分式，关键看分子与分母是不是有公因式，但表面不易判断，应将分子、分母分解因式．
3、A
【解析】
解：根据分式为0的条件，要使分式的值为0，必须．
解得
故选A．
4、C
【解析】
先把点P（1，a），Q（-2，b）分别代入一次函数解析式得到k+1=a，-2k+1=b，然后根据k＜0得到k＜-2k，则即可得到a、b的大小关系．
【详解】
把点P（1，a），Q（-2，b）分别代入y=kx+1得k+1=a，-2k+1=b，
∵k＜0，
∴a＜b．
故选C．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上的点满足其解析式．
5、D
【解析】
分AC＜BC、AC＞BC两种情况，根据黄金比值计算即可．
【详解】
解：当AC＜BC时，BC= AB=，
当AC＞BC时，BC==，
故选：D．
本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
6、B
【解析】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】
A. =可化简，错误;
B. 是最简二次根式 ，正确;
C. =,可化简，错误;
D. =,可化简，错误.故选B.
本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握判断最简二次根式的两个条件：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
7、C
【解析】
直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案．
【详解】
∵,与最简二次根式是同类二次根式，
∴m+1=3，
解得：m=1．
故选：C．
考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键．
8、D
【解析】
根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=（海里）
故选：D．
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、＜
【解析】
试题解析：

故答案为：
10、y1＞y2
【解析】
分析：根据一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质，由k的值判断函数的增减性，由此比较即可.
详解：∵k=-5＜0
∴y随x增大而减小，
∵-2＜5
∴＞.
故答案为：＞.
点睛：根据一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质可知：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限，y随x增大而增大；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限，y随x增大而增大；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限，y随x增大而减小；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限，y随x增大而减小.
11、（b，a+b）.
【解析】
先根据A，B坐标，进而求出OA=a，OB=b，再判断出△BCE≌△BAO，即可求出点C坐标.
【详解】
∵A（a，0），B（0，b），
∴OA=a，OB=b，
过点C作CE⊥OB于E，如图，
∴∠BEC=∠BOA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠BCE+∠CBE=90°
∴∠BCE=∠ABO
在△ABO和△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE，
∴CE=OB=b，BE=OA=a，
∴OE=OB+BE=a+b，
∴C（b，a+b）.
本题主要考查了图形与坐标，解题的关键是掌握正方形的性质以及全等三角形的判定和性质.
12、2
【解析】
试题分析：相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，1的相反数还是1．因此．
13、4
【解析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【详解】
解：方程两边都乘以（x-2），得
，
∵原方程的增根是，
把增根代入，得：，
∴，
故答案为：4.
本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析
【解析】
分别作出AB、AC的垂直平分线，得到点M，N，根据全等三角形的性质、平行四边形的判定和性质证明结论．
【详解】
如图，点M，N即为所求作的点，
已知：如图，△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，连接MN，
求证：MN∥BC，MN=BC
证明：延长MN至点D，使得MN=ND，连接CD，
在△AMN和△CDN中，
，
∴△AMN≌△CDN（SAS）
∴∠AMN=∠D，AM=CD，
∴AM∥CD，即BM∥CD，
∵AM=BM=CD，
∴四边形BMDC为平行四边形，
∴MN∥BC，MD=BC，
∵MN＝MD，
∴MN＝BC．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15、1）PF=PG PF⊥PG；（2）△FGP是等腰直角三角形，理由见解析；（3）S△PGF最大=.
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质和三角形的中位线定理解答即可；
（2）由旋转知，∠ACD=∠BCE，进一步证明△CAD≌△CBE，再利用全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理解答；
（3）由（2）知，△FGP是等腰直角三角形，PG=PF=AD，PG最大时，△FGP面积最大，进而解答即可.
【详解】
解（1）PF=PG PF⊥PG；
如图1，∵在△ABC中，AB=BC，点，分别在边AC，BC上，且CD=CE,
∴AC-CD=BC-CE，即AD=BE，点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PF=AB，PG=CE，
∴PF=PG，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PG//BE，PF//AD，
∴∠PFB=∠A，∠DPG=∠DBC，
∴∠FPG=∠DPF+∠DPG
=∠PFB+∠DBA+∠DPG
=∠A+∠DBA+∠DBC
=∠A+∠ABC，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠C
∴∠FPG=180°-90°=90°，PF⊥PG；
（2）△FGP是等腰直角三角形
理由：由旋转知，∠ACD=∠BCE，
∵AC=BC，CD=CE，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，
利用三角形的中位线得，PG=BE，PF=AD，
∴PG=PF，
∴△FGP是等腰三角形，
利用三角形的中位线得，PG∥CE，
∴∠DPG=∠DBE，
利用三角形的中位线得，PF∥AD，
∴∠PFB=∠DAB，
∵∠DPF=∠DBA+∠PNB=∠DBA+∠DAB，
∴∠GPF=∠DPG+∠DPF=∠DBE+∠DBA+∠DAB
=∠ABE+∠DAB=∠CBA+∠CBE+∠DAB
=∠CBA+∠CAD+∠DAB=∠CBA+∠CAB，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∴∠GPF=90°，
∴△FGP是等腰直角三角形;
（3）由（2）知，△FGP是等腰直角三角形，PG=PF=AD，
∴PG最大时，△FGP面积最大，
∴点D在AC的延长线上，
∴AD=AC+CD=11，
∴PG=，
∴S△PGF最大=PG2=
此题属于几何变换综合题，关键是根据三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质进行解答.
16、（1）12；（2）10；（3）PB的值为或．
【解析】
作等腰梯形的双高，把问题转化为矩形，全等三角形即可解决问题；
如图2中，连接利用勾股定理求出AC，再利用三角形的中位线定理求出PE；
分两种情形分别讨论求解即可解决问题.
【详解】
如图1中，作用M，于N．
，
，
，
四边形AMND是矩形，
，
，
≌，
，
，，
，
，
如图2中，连接AC．
在中，，
，，
，
如图3中，当点Q落在直线AB上时，
∽，
，
，
．
如图4中，当点Q在DA的延长线上时，作交DA的延长线于H，延长HP交BC于G．
设，则．
，
，
，，
，
≌，
，
，
．
综上所述，满足条件的PB的值为或．
本题考查四边形综合题、等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
17、.
【解析】
先进行二次根式化简和乘除运算，然后再进行加减即可.
【详解】
解：原式
＝4﹣．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
18、长为30厘米，宽为12厘米
【解析】
设该长方形纸板的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程即可进行求解.
【详解】
解：设该长方形纸板的长为，宽为，
根据题意得：，即，
解得：，（不合题意舍去），
∴，.
答：这张长方形纸板的长为30厘米，宽为12厘米
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1．
【解析】
如图：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又由△OAB的周长比△OBC的周长大3，可得AB﹣BC=3，又因为▱ABCD的周长是30，所以AB+BC=10；解方程组即可求得．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；
又∵△OAB的周长比△OBC的周长大3，
∴AB+OA+OB﹣（BC+OB+OC）=3
∴AB﹣BC=3，
又∵▱ABCD的周长是30，
∴AB+BC=15，
∴AB=1．
故答案为1．
20、2-2
【解析】
解：
∵=,
原式
故答案为:
21、1
【解析】
由作图可知，MN为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到AF=BF=6，且AE=BE，由线段中点的定义得到EG为△ABC的中位线，从而可得出结果．
【详解】
解：∵由作图可知，MN为AB的垂直平分线，
∴AE=BE，=6，
∴．
而是的中位线，
∴．
故答案为：1．
本题考查了基本作图-作已知线段的垂直平分线：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题的关键．同时也考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的中位线的性质．
22、24或21或
【解析】
情况1：连接EP交AC于点H，依据先证明是菱形，再根据菱形的性质可得到∠ECH=∠PCH=10°，然后依据SAS可证明△ECH≌△PCH，则∠EHC=∠PHC=90°，最后依据EP=2EH=2sin10°•EC求解即可．
情况2：如图2所示：△ECP为等腰直角三角形，则=EC=2．此时，=24
情况2：如图2：过点P′作P′F⊥BC．通过解直角三角形可以解得FC ，EF，再在Rt△P′EF中，利用勾股定理可以求得.
【详解】
解：情况1：如图所示：连接EP交AC于点H．
∵在中，
∴是菱形
∵菱形ABCD中，∠B=10°，
∴∠BCD=120°，∠ECH=∠PCH=10°．
在△ECH和△PCH中
，
∴△ECH≌△PCH．
∴∠EHC=∠PHC=90°，EH=PH．
∴EP=2EH=2sin10°•EC=2××2=1．
∴=21
情况2：如图2所示：△ECP为等腰直角三角形，则=EC=2．
∴=24
情况2：如图2：过点P′作P′F⊥BC．
∵P′C=2，BC=4，∠B=10°，
∴P′C⊥AB．
∴∠BCP′=20°．
∴FC=×2=2，P′F=，EF=2-2．
∴=，
故答案为：24或21或．
本题主要考查的是菱形的性质，全等三角形的判定和性质，以及解直角三角形和勾股定理得结合，是综合性题目，难度较大．
23、x≥2且x≠3
【解析】
分式有意义：分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．
【详解】
根据题意，得
，
解得，x⩾2且x≠3
故答案为：x≥2且x≠3
此题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键在于掌握运算法则
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)从左到右依次填7，7，0.4；(2)王亮的成绩比较稳定；(3)选王亮，理由见解析．
【解析】
（1）根据平均数的定义，计算5次投篮成绩之和与5的商即为李亮每次投篮平均数；根据众数定义，王刚投篮出现次数最多的成绩即为其众数；先算出王亮的成绩的平均数，再根据方差公式计算王亮的投篮次数的方差．
（2）比较他们两人的方差的大小，方差越小越稳定；
（3）从平均数、众数、方差等不同角度分析，可得不同结果，关键是看参赛的需要
【详解】
解：(1) 李刚投篮的平均数为：（4+7+7+8+9）÷5=7个，
王亮5次投篮，有3次投中7个，故7为众数；
王亮的方差为：S2=[（6-7）2+（7-7）2+（8-7）2+（7-7）2+（7-7）2]=0.4个
(2)王亮的成绩比较稳定．两人投中个数的平均数相同；从方差上看，王亮投中个数的方差小于李刚投中个数的方差，所以王亮的成绩比较稳定．
(3)选王亮，理由是成绩稳定或者选李刚，理由是他具有发展潜力，李刚越到后面投中个数越多．
此题是方差题，考查了实际问题，将数学知识与实际生活相联系，有利于培养学生学数学，用数学的意识，同时体现了数学来源于生活，应用于生活的本质．
25、甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.
【解析】
分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．
详解：如图，过点作，垂足为.
则.
由题意可知，，，，，.
可得四边形为矩形.
∴，.
在中，，
∴.
在中，，
∴.
∴ .
∴.
答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.
点睛：本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．
26、（1）50；36°；（2）见解析；（3）估计该校每天阅读时长超过40分钟的学生约有500人
【解析】
（1）用A类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；然后用D类人数分别除以调查的总人数×360°即可得到结论；
（2）先计算出D类人数，然后补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体，用2000乘以样本中C+D类的百分比即可．
【详解】
解：（1）15÷30%＝50，
所以这次共抽查了50名学生进行调查统计；
扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为：×360°＝36°，
故答案为50；36°；
（2）D类人数为50﹣15﹣22﹣8＝5，如图所示，该条形统计图为所求。
（3）估计该校每天阅读时长超过40分钟的学生约有 人
本题考查了条形统计图与扇形统计图，样本估计总体等，条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
姓名
平均数(个)
众数(个)
方差
王亮
7
李刚
7
2.8