山西省太原市小店区志达中学2024年数学九年级第一学期开学教学质量检测试题【含答案】

这是一份山西省太原市小店区志达中学2024年数学九年级第一学期开学教学质量检测试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是
A．，B．，
C．，D．，
2、（4分）如果平行四边形两条对角线的长度分别为，那么边的长度可能是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）如图，在正方形ABCD中，AB=10，点E、F是正方形内两点，AE=FC=6,BE=DF=8,则EF的长为( )
A．B．C．D．3
4、（4分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）
A．
B．
C．
D．
5、（4分）下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分） “瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）设函数（≠0）的图象如图所示，若，则关于的函数图象可能为（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≥1D．a＞1
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）点A（﹣3，0）关于y轴的对称点的坐标是__．
10、（4分）已知一组数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是____．
11、（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12、（4分）以1，1，为边长的三角形是___________三角形．
13、（4分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，E为射线BC上一点，DF⊥AE于F，连结DE．
（1）当E在线段BC上时
①若DE=5，求BE的长；
②若CE=EF，求证：AD=AE；
（2）连结BF，在点E的运动过程中：
①当△ABF是以AB为底的等腰三角形时，求BE的长；
②记△ADF的面积为S1，记△DCE的面积为S2，当BF∥DE时，请直接写出S1：S2的值．
15、（8分）如图，C地到A，B两地分别有笔直的道路，相连，A地与B地之间有一条河流通过，A，B，C三地的距离如图所示．
（1）如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？
（2）现计划把河水从河道段的点D引到C地，求C，D两点间的最短距离．
16、（8分）在所给的网格中，每个小正方形的网格边长都为1，按要求画出四边形，使它的四个顶点都在小正方形的顶点上．
（1）在网格1中画出面积为20的菱形（非正方形）；
（2）在网格2中画出以线段为对角线、面积是24的矩形；直接写出矩形的周长 ．
17、（10分）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，DE垂直平分BC，连接BD．
（1）尺规作图：过点D作AB的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：点D到BA，BC的距离相等．
18、（10分）世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美国，英国等国家的天气预报都使用华氏温度（℉），两种计量之间有如下对应：
已知华氏温度y（℉）是摄氏温度x（℃）的一次函数.
求该一次函数的解析式；
当华氏温度14℉时，求其所对应的摄氏温度.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若点P（3，2）在函数y=3x-b的图像上，则b=_________.
20、（4分）如图，等腰中，，，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于______.
21、（4分）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米在他的名著《代数学》中用图解一元二次方程，他把一元二次方程写成的形式，并将方程左边的看作是由一个正方形(边长为)和两个同样的矩形(一边长为，另一边长为)构成的矩尺形，它的面积为，如图所示。于是只要在这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表小为：___________ ,整理，得，因为表示边长，所以 ___________.
22、（4分）观察式子，，，……，根据你发现的规律可知，第个式子为______.
23、（4分）在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…，A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn，则Sn的值为__（用含n的代数式表示，n为正整数）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知y与x＋2 成正比例，当x＝4时，y＝12.
(1)写出y与x之间的函数解析式；
(2)求当y＝36时x的值；
(3)判断点(－7，－10)是否是函数图象上的点．
25、（10分）在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）参加比赛有_____名运动员，图①中a的值是_____,补全条形统计图.
（2）统计的这组初赛成绩数据的众数是_____，中位数是_____，平均数是_____.
（3）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛.
26、（12分）已知x=2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据平行四边形的判定方法逐项进行判断即可.
【详解】
A、由，可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
B、由，可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
C、由，不能判断四边形ABCD是平行四边形,有可能是等腰梯形；故本选项符合题意；
D、由，可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意，
故选C．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.
2、B
【解析】
根据平行四边形的对角线互相平分确定对角线的一半的长，然后利用三角形的三边关系确定边长的取值范围，从该范围内找到一个合适的长度即可．
【详解】
设平行四边形ABCD的对角线交于O点，
∴OA=OC=4，OB=OD=6，
∴6-4＜BC＜6+4，
∴2＜BC＜10，
∴6cm符合，
故选：B．
考查了三角形的三边关系及平行四边形的性质，解题的关键是确定对角线的一半并根据三边关系确定边长的取值范围，难度不大．
3、B
【解析】
延长AE交DF于G，再根据全等三角形的判定得出△AGD与△ABE全等，得出AG=BE=8，由AE=6，得出EG=2，同理得出GF=2，再根据勾股定理得出EF的长．
【详解】
延长AE交DF于G，如图：
∵AB=10，AE=6，BE=8，
∴△ABE是直角三角形，
∴同理可得△DFC是直角三角形，
可得△AGD是直角三角形
∴∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴∠GAD=∠EBA，
同理可得：∠ADG=∠BAE，
在△AGD和△BAE中，
，
∴△AGD≌△BAE(ASA)，
∴AG=BE=8，DG=AE=6，
∴EG=2，
同理可得：GF=2，
∴EF=，
故选B.
此题考查正方形的性质、勾股定理，解题关键在于作辅助线.
4、C
【解析】
直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【详解】
解：A. ，是单项式乘以单项式，故此选项错误；
B. ，从左到右的变形是整式的乘法，故此选项错误；
C. ，从左到右的变形是因式分解，故此选项正确；
D. ，没有分解成几个整式的积的形式，不是因式分解，故此项错误。
故选：C
本题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．
5、C
【解析】
根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．因此，只需要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
【详解】
解：A、92+122=152，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故选项错误；
B、52+122=132，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故选项错误；
C、32+52≠72，根据勾股定理的逆定理可知不是直角三角形，故选项正确；
D、12+=22，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故选项错误.
故选C.
本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：计算两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
6、D
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，是中心对称图形．
故选D．
本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图形的认识．
7、D
【解析】
根据反比例函数解析式以及，即可找出z关于x的函数解析式，再根据反比例函数图象在第一象限可得出k＞1，结合x的取值范围即可得出结论．
【详解】
∵（k≠1，x＞1），
∴（k≠1，x＞1）．
∵反比例函数（k≠1，x＞1）的图象在第一象限，
∴k＞1，
∴＞1．
∴z关于x的函数图象为第一象限内，且不包括原点的正比例的函数图象．
故选D．
本题考查了反比例函数的图象以及正比例函数的图象，解题的关键是找出z关于x的函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分式的变换找出z关于x的函数关系式是关键．
8、C
【解析】
由二次根式有意义的条件可知a-1≥0，解不等式即可.
【详解】
由题意a-1≥0
解得a≥1
故选C.
本题考查了二次根式的意义，掌握被开方数需大于等于0即可解题.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（3，0）
【解析】
试题分析：因为点P（a，b）关于y轴的对称点的坐标是（-a，b），所以点A（﹣3，0）关于y轴的对称点的坐标是（3，0），故答案为（3，0）
考点：关于y轴对称的点的坐标．
10、10
【解析】
试题分析：由题意可知这组数据的众数为10，再根据平均数公式即可求得x的值，最后根据中位数的求解方法求解即可.
解：由题意得这组数据的众数为10
∵数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等
∴，解得
∴这组数据为12，10，10，8
∴这组数的中位数是10.
考点：统计的应用
点评：统计的应用是初中数学的重点，是中考必考题，熟练掌握各种统计量的计算方法是解题的关键.
11、x≥-2
【解析】
分析：根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可.
详解：∵x+2≥0
∴x≥-2.
故答案为x≥-2.
点睛：此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键.
12、等腰直角
【解析】
根据等腰三角形和直角三角形的性质以及判定定理进行判断即可．
【详解】
∵
∴是等腰三角形
∵
∴是直角三角形
∴该三角形是等腰直角三角形
故答案为：等腰直角．
本题考查了等腰三角形和直角三角形的证明问题，掌握等腰三角形和直角三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
13、
【解析】
试题解析：设BE与AC交于点P，连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AB=1．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=1．
故所求最小值为1．
考点：轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）①BE＝2；②证明见解析；（2）①BE＝2；②S1：S2＝1
【解析】
【分析】（1）①在矩形 ABCD 中，∠B＝∠DCE＝90°，BC＝AD＝5，DC＝AB＝4，由勾股定理求得CE的长，即可求得BE的长；
②证明△CED≌△DEF，可得∠CED＝∠FED，从而可得∠ADE＝∠AED，即可得到AD＝AE；
（2）①分两种情况点 E 在线段 BC 上、点 E 在 BC 延长线上两种情况分别讨论即可得；
②S1：S2＝1，当 BF//DE 时，延长 BF 交 AD 于 G，由已知可得到四边形 BEDG 是平行四边形，继而可得S△DEF＝S平行四边形 BEDG，S △BEF＋S△ DFG＝ S平行四边形 BEDG，S△ABG＝S△CDE，根据面积的知差即可求得结论.
【详解】（1）①在矩形 ABCD 中，∠B＝∠DCE＝90°，
BC＝AD＝5，DC＝AB＝4，
∵DE＝5，
∴CE＝=3，
∴BE＝BC-CE=5-3=2；
②在矩形 ABCD 中，∠DCE＝90°，AD//BC，
∴∠ADE＝∠DEC，∠DCE＝∠DFE，
∵CE＝EF，DE＝DE，
∴△CED≌△DEF（HL），
∴∠CED＝∠FED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE；
（2）①当点 E 在线段 BC 上时，AF＝BF，如图所示：
∴∠ABF＝∠BAF，
∵∠ABF＋∠EBF＝90°，
∠BAF＋∠BEF＝90°，
∴∠EBF＝∠BEF，
∴EF＝BF ，∴AF＝EF，
∵DF⊥AE，
∴DE＝AD＝5，
在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝4，∠DCE＝90°，
∴CE＝3，
∴BE＝5－3＝2；
当点 E 在 BC 延长线上时，AF＝BF，如图所示，
同理可证 AF＝EF，
∵DF⊥AE，
∴DE＝AD＝5，
在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝4，∠DCE＝90°，
∴CE＝3，
∴BE＝5＋3＝8，
综上所述，可知BE=2或8；
②S1：S2＝1，解答参考如下：
当 BF//DE 时，延长 BF 交 AD 于 G，
在矩形 ABCD 中，AD//BC，AD＝BC，AB＝CD，
∠BAG＝∠DCE＝90°，
∵BF//DE，
∴四边形 BEDG 是平行四边形，
∴BE＝DG，S△DEF＝S平行四边形 BEDG，
∴AG＝CE，S △BEF＋S△ DFG＝ S平行四边形 BEDG，
∴△ABG≌△CDE，
∴S△ABG＝S△CDE，
∵S △ABE＝ S平行四边形 BEDG，
∴S△ABE＝S△BEF＋S△DFG，
∴S△ABF＝S△DFG，
∴S△ABF＋S△AFG＝S△DFG＋S△AFG即 S△ABG＝S△ADF，
∴S△CDE＝S△ADF，即 S1：S2＝1.
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活用相关知识是解题的关键.
15、 (1) B地在C地的正北方向;(2)4.8km
【解析】
（1）首先根据三地距离关系，可判定其为直角三角形，然后即可判定方位；
（2）首先作，即可得出最短距离为CD，然后根据直角三角形的面积列出关系式，即可得解.
【详解】
（1）∵，即，
∴是直角三角形
∴B地在C地的正北方向
（2）作，垂足为D，
∴线段的长就是C，D两点间的最短距离．
∵是直角三角形
∴
∴所求的最短距离为
此题主要考查直角三角形的实际应用，熟练运用，即可解题.
16、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）根据边长为5，高为4的菱形面积为20作图即可；
（2）边长为和的矩形对角线AC长为，面积为24，据此作图即可．
【详解】
解：（1）如图1所示，菱形即为所求；
（2）如图2所示，矩形即为所求．
∵，
∴矩形的周长为．
故答案为：．
本题考查的知识点是菱形的性质以及作图，根据题意计算得出菱形的边长和矩形的边长是解此题的关键．
17、（1）如图所示，DF即为所求，见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）直接利用过一点作已知直线的垂线作法得出符合题意的图形；
（2）根据角平分线的性质解答即可．
【详解】
（1）如图所示，DF即为所求：
（2）∵△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝80°，
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝40°，
∴∠ABD＝∠DBC＝40°，
即BD是∠ABC的平分线，
∵DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DF＝DE，
即点D到BA，BC的距离相等．
此题主要考查了复杂作图，正确利用角平分线的性质解答是解题关键．
18、（1）y=1.8x+1;（2）华氏温度14℉所对应的摄氏温度是-2℃．
【解析】
分析：(1)设y=kx+b（k≠0）,利用图中的两对数,用待定系数法求解即可;
(2)把 y=14代入（1）中求得的函数关系式求出x的值即可.
详解：（1）设一次函数表达式为y=kx+b（k≠0）．
由题意，得，解得.
∴一次函数的表达式为y=1.8x+1．
（2）当y=14时，代入得14=1.8x+1，解得x=-2．
∴华氏温度14℉所对应的摄氏温度是-2℃．
点睛：本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键. 利用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①先设出函数解析式的一般形式；②将已知点的坐标代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
∵点P（3，2）在函数y=3x-b的图象上，
∴2=3×3-b，
解得：b=1．
故答案是：1．
20、45°
【解析】
由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
【详解】
∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=（180°-30°）÷2=75°，
∵DE是线段AB垂直平分线的交点，
∴AE=BE，∠A=∠ABE=30°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=75°-30°=45°．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21、1 1 1
【解析】
由图可知添加一个边长为1的正方形即可补成一个完整的正方形，由此即可得出答案．
【详解】
解：由图可知添加一个边长为1的正方形即可补成一个面积为36的正方形，
故第一个空和第二个空均应填1，
而大正方形的边长为x+1，
故x+1=6，
x=1，
故答案为：1，1，1．
此题是信息题，首先读懂题意，正确理解题目解题意图，然后抓住解题关键，可以探索得到大正方形的边长为x+1，而大正方形面积为36，由此可以求出结果．
22、
【解析】
分别找出分子指数规律和分母指数规律，再结合符号规律即可得出答案．
【详解】
∵，，，……，
∴第n个式子为(−1)n+1•
故答案为：(−1)n+1•．
主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律
23、．
【解析】
试题分析：∵直线，当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣1，∴OA1=1，OD=1，∴∠ODA1=45°，∴∠A2A1B1=45°，∴A2B1=A1B1=1，∴=，
∵A2B1=A1B1=1，∴A2C1=2=，∴=，
同理得：A3C2=4=，…，=，
∴=，
故答案为．
考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)y＝2(x＋2)＝2x＋4；
(2)x＝16；
(3)点(－7，－10)是函数图象上的点．
【解析】（1）利用待定系数法即可求出答案；
（2）把y＝36代入（1）中所求的函数解析式中即可得出x的值；
（3）把x＝－7代入（1）中所求的函数解析式中即可判断出答案.
解：(1)设y＝k(x＋2)．
∵x＝4，y＝12，
∴6k＝12.
解得k＝2.
∴y＝2(x＋2)＝2x＋4.
(2)当y＝36时，2x＋4＝36，
解得x＝16.
(3)当x＝－7时，y＝2×(－7)＋4＝－10，
∴点(－7，－10)是函数图象上的点．
25、（1）20，25，图详见解析；（2）众数：1.65m，中位数1.60m，平均数1.61m；（3）能.
【解析】
（1） 用整体1减去其他百分比，即可求出a的值，用已知人数除以所占百分比即可求解.
（2） 根据平均数，众数和中位数的定义分别进行求解.
（3） 根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛.
【详解】
（1），
（2）平均数；在这组数据样本中，1.65出现了6次，出现次数最多，故众数为1.65；将这组样本数据从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都为1.60，所以中位数为.
（3）能.
本题主要考查数据的处理、数据的分析以及统计图表，熟悉掌握是关键.
26、2+
【解析】
试题分析：先求出x2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.
试题解析：x2=（2﹣）2=7﹣4，
则原式=（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+
=49﹣48+1+
=2+．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
摄氏温度（℃）
…
0
10
…
华氏温度（℉）
…
32
50
…