专题03 集合与常用逻辑用语（9大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略练习（人教A版2019必修第一册）

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一、单选题
1．（23-24高一上·北京·阶段练习）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（ ）
A．集合中至多有2个元素
B．集合中至多有3个元素
C．集合中有且仅有4个元素
D．集合中至少有5个元素
【答案】C
【分析】由题意可求出都在中，然后计算这些元素是否相等，继而判断的元素个数的特点.
【详解】因为若，则，所以，，
则，
当时，4个元素中，任意两个元素都不相等，
所以集合中有且仅有4个元素，
故选：C
2．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若集合，则集合的元素个数为（ ）
A．19B．20C．81D．100
【答案】B
【分析】首先由题意方程变形为两个数相乘，即，依次讨论n为奇数或偶数，得到满足条件的n,从而得到集合A的元数个数．
【详解】由题意可知，即，
当是偶数时，是奇数，
当，此时，解得，满足条件，
以此类推，，共10个n，每一个n对应位于的m，
当是奇数时，是偶数，此时共10个n，
综上可知满足条件的n有20个数，每一个n对应唯一的m,
所以集合A的元素个数为20个．
故选：B．
二、填空题
3．（23-24高一上·重庆九龙坡·阶段练习）设 ，用 表示不超过 的最大整数，如 .则如 构成的集合元素的个数为 . （用数字作答）
【答案】1962
【分析】计算得出接近2023整数倍的平方数，结合定义计算即可.
【详解】易知，
故，
又，
故，
设，则的结果有两种可能，
①若，不妨设，
则，显然，即；
②若，则，
综上当时，恒成立，
易知中有2023个数，其中前44个数为0，第45个数至第63个数为1，其余均不相同，
故中有个数，
故答案为：1962.
三、解答题
4．（23-24高一上·全国·课后作业）对正整数n，记，，求集合中元素的个数.
【答案】46
【分析】确定，分类求解，分别求得时，种元素的个数，即可求得答案.
【详解】对于，有，，
故当时，m取，此时，即中有7个元素；
当时，m取，，此时中有7个元素；
当时，m取，，此时中对应有7个元素；
当时，m取，，
其中有3个元素与时中元素相同，
当时，m取，，此时中对应有7个元素；
当时，m取，，此时中对应有7个元素；
当时，m取，，此时中对应有7个元素；
故集合中元素的个数为.
5．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有．
(1)直接写出中所有元素之积的所有可能值；
(2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求；
(3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论；
（2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论；
（3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值．
【详解】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以，
所以，又
则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且，
又，则S中所有元素之积的所有可能值为或；
（2）已知非空实数集满足：任意，均有，且
所以，且，又
则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且，
若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3
所以，整理得
解得或
当或或或时，
综上，；
（3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，
且当时，同一周期内其余元素不相等，
因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素，
因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内，
若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含，
若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含，
所以的元素个数最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交.
题型2
根据元素与集合的关系求参数
一、多选题
1．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（ ）.
A．B．C．1D．
【答案】BD
【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可.
【详解】，集合，
得或或，
解得或或，
当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去；
当时，，，，满足题意；
当时，，，，满足题意.
故选：BD.
2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（ ）
A．若,则B．的取值范围为
C．若,则D．
【答案】ACD
【分析】对于A,当时,,此时,分类讨论判断正误;对于B,由题意得,则,所以判断B的正误;对C,若,,此时,则求出范围判断即可;对于D,因为,则,所以,将转化为求解即可.
【详解】对于A,当时,,此时.若,则,满足题意;若,则,综上,若,则,故A正确;
对于B,因为,则,所以,解得或,故B错误;
对于C,若,,此时,则,解得,综上,故C正确;
对于D,因为,则,所以,所以,故D正确.
故选:ACD.
二、填空题
3．（2024高一上·全国·专题练习）已知，若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意知集合，利用分类讨论及集合元素的互异性从而可求解.
【详解】由题意知集合，
所以当时，得，所以，故满足；
当时，得，所以，故不满足；
当时，无解，故不满足；
综上，可得实数的值为.
故答案为：.
三、解答题
4．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出中其他所有元素．
(2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素．
【答案】(1)中其他所有元素为，，2；
(2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，．
【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素；
（2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素．
【详解】（1）由题意可知：，
则，，，，
所以中其他所有元素为，，2．
（2）假设，则，
而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是的元素，
取，则，，，，
所以当，中的元素是：3，，，．
5．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，试证明A中还有另外两个元素；
(2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由；
(3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A.
【答案】(1)证明见解析
(2)否，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可；
（2）根据条件求出元素间的规律即可；
（3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可.
【详解】（1）由题意，若，则，
则，
若，则，
所以集合A中还有另外两个元素和.
（2）否，理由如下：
由题意，若（且），则，
则，
若，则，
所以集合A中应包含，，，而，
所以集合的元素个数为3的倍数，
故集合A不是只含有两个元素的集合.
（3）由（2）知，，且集合的元素个数为3的倍数，
因为集合A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，
所以集合的元素个数为6，其中一个元素为，
由结合已知条件可得，，
由，
解得或或，
所以.
题型3
根据集合的包含关系求参数
一、单选题
1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先将集合化简变形成统一形式，然后分析判断即可.
【详解】因为，
所以．
故选：B．
2．（23-24高一下·北京·期末）已知集合、，其中，且．满足以上条件的全部有序数对的个数为（ ）．
A．6B．8C．20D．36
【答案】B
【分析】根据集合中元素的互异性以及集合之间的包含关系进行分类讨论求解.
【详解】依题意，当时，，有序数对有4个；
当时，，有序数对有4个；全部有序数对的个数为8个.故A，C，D错误.
故选：B.
二、填空题
3．（2024高一上·全国·专题练习）设集合，集合，若且，则实数 .
【答案】0或或1
【分析】且，关于x的方程的根只能是或，但要注意方程有两个相等根的条件是.
【详解】，且，
或或．
当时，
且，
解得.则；
当时，
且，
解得.则
当时，
有，
解得.则；
所以或或1.
故答案为：0或或1
三、解答题
4．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合.
(1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合；
(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得；
（2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可．
【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以.
又，故.
由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集，
用列举法可得这样的集合共有6个，分别为.
（2）当时，是的一个子集，此时对于方程，
有，所以.
当时，因为，所以当时，
，即，此时，
因为，所以不是的子集；
同理当时，，，也不是的子集；
当时，，，也不是的子集.
综上，满足条件的的取值范围是.
5．（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知集合.
(1)判断2，5，25是否属于集合；
(2)若正整数为完全平方数，，证明：；
(3)若集合，证明：.
【答案】(1)属于集合A
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）将2，5，25拆成两个整数平方和即可；
（2）由题可设，，由此即可证明；
（3）根据m与n的奇偶分类讨论，结合两集合中元素的性质即可得证.
【详解】（1）由，可知属于集合A；
（2）由题可设，
又由，设，
有，
由，有，故有；
（3）①当都为偶数时，不妨设，
有，
此时为4的倍数，而偶数，此时；
②当都为奇数时，不妨设，
有，
此时为2的倍数，而偶数，此时；
③当一奇一偶时，不妨设，
有，
此时被4整除余1，而集合中的元素被4整除余3，此时.
由①②③可知，.
6．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．
(1)若，写出所有可能的集合B；
(2)若，且是12的倍数，求集合B的个数；
(3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数．
【答案】(1)，，，
(2)4
(3)证明见详解
【分析】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的；对（3），分情况讨论，寻找使是倍数的集合.
【详解】（1）所有可能的集合为：，，，.
（2）不妨设：，由于，且，
所以.
由题意，是12的倍数时，或.
当时，因为，
所以当且仅当时，成立，故符合题意.
当时，
若，则，故或符合题意；
若，则，故符合题意；
若，则，无解.
综上，所有可能的集合为，，，.
故满足条件的集合的个数为.
（3）（1）当时，设，则
，
这个数取个值，故其中有两个数相等.
又因为，于是，
从而互不相等，互不相等，
所以存在，使得.
又因，故.
则，则，结论成立.
（2）当时，不妨设，
则（），在这个数中任取3个数，.
若与都是的倍数，，
这与矛盾.
则至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数.
考虑这个数：，，，，，.
①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为，
故存在，使得.
若为偶数，取，则，结论成立；
若为奇数，取，则，结论成立.
②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的倍数，
故存在，使得.
若为偶数，取，则，结论成立；
若为奇数，取，则，结论成立.
综上，存在非空集合，使得是的倍数.
【点睛】关键点点睛：如何找到非空集合，使得是的倍数是问题的关键.
题型4
集合的交、并、补运算及参数问题
一、单选题
1．（24-25高一上·上海·课后作业）若、、为三个集合，，则一定有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知等式可推导得到，由此可依次判断各个选项得到结果.
【详解】因为，
所以，，，
所以,
所以，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，当且仅当时，，故B错误；
对于C，当时，满足，故C错误；
对于D，当时，满足，故D错误.
故选：A.
2．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（ ）
A．B．C．D．的关系无法确定
【答案】C
【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解.
【详解】，有，从而有，进一步，即，所以，
，有，从而有，进一步有，即，所以，
综上所述，有.
故选：C.
二、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）设集合.若且，则 .
【答案】6
【分析】根据集合间的关系可知，可得，再由求得，即可得解.
【详解】因为集合，
若，则且，可得，解得，
即有，又，所以，所以.
故答案为：6
4．（23-24高一上·北京·期中）设，，若，则实数的值可以为 ．
（将你认为正确的序号都填上，若填写有一个错误选项，此题得零分）
① ② ③ ④
【答案】①②④
【分析】根据交集的定义以及集合的包含关系求得结果.
【详解】集合，由可得，
则分和或或，
当时，满足即可；
当时，满足，解得：；
当时，满足，解得：；
当时，显然不符合条件，
所以的值可以为.
故答案为：①②④.
三、解答题
5．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合或，．
(1)求，；
(2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围．
【答案】(1)，或
(2)或
【分析】（1）根据集合的运算法则计算即可得；
（2）由子集的定义得出不等关系后计算即可得．
【详解】（1），
则，
，或，
∴或；
（2）∵集合是集合的真子集，
∴或，解得或．
6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，或．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可；
（2）由题意得，从而可求出的取值范围．
【详解】（1）①当时，，∴，∴．
②当时，要使，必须满足，解得．
综上所述，的取值范围是．
（2）∵，，或，
∴，解得，
故所求的取值范围为．
7．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，.
(1)若，求实数的值；
(2)若且，求实数的值.
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）由题意得出，再利用韦达定理求得参数值；
（2）由题意得出，求得值后，再代入检验．
【详解】（1）由题可得，由，得.
从而2，3是方程的两个根，即，解得.
（2）因为，.
因为，又，所以，
即，，解得或.
当时，，则，不符合题意；
当时，，则且，故符合题意，
综上，实数的值为.
8．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合．
(1)若为整数，试判断是否为集合中的元素；
(2)求证：若，则．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据集合的表示方法，以及元素与集合的关系，即可求解.
（2）若，则，，且，计算 的形态，从而确定它与集合的关系.
【详解】（1）是．∵，∴，其中，，∴整数．
（2）证明：∵，
∴可设，，且，
∴
．
又，，
∴．
题型5
集合的新定义问题
一、多选题
1．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合，，若M与N“相交”，则a等于（ ）
A．4B．2C．1D．0
【答案】AC
【分析】由集合新定义把中的元素代入解出即可.
【详解】由M与N“相交”，可知有一个属于集合M，
若，则；
若，则，
故选：AC.
2．（23-24高一上·河南开封·期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A．-2B．C．0D．1
【答案】BCD
【分析】考虑时，，时，，依次将各个选项中的数据带入，计算集合，再判断和之间的关系得到答案.
【详解】当时，，
当时，，
对选项A：若，，此时，不满足；
对选项B：若，，此时，满足；
对选项C：若，，此时，满足；
对选项D：若，，此时，满足；
故选：BCD.
二、填空题
3．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件：
（i），；
（ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，
则有序集合对的个数为 .
【答案】10
【分析】分别讨论集合，元素个数，即可得到结论．
【详解】若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，，
即，，此时有种，
若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，，
即，，此时集合还可以有中的一个数，故有种
若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则中，，不满足题意，
若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，，
即，，此时集合还可以有中的三个数，
即或或或有种，
若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，，
即，，此时有种，
故有序集合对的个数是.
故答案为：10.
三、解答题
4．（24-25高一上·上海·课堂例题）对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数．
(1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可）
(2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由）
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据好集合的新定义来确定元素；
（2）根据满足好集合的新定义来确定元素所满足的特征.
【详解】（1），
（2）由题意：，故，即，
考虑、，可知，
∴或．
若，则考虑，，
∵，∴，则，
∴，但此时，不满足题意；
若，此时，满足题意，
∴，其中、为相异正整数．
5．（25-26高一上·上海·单元测试）对于给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质，而、称为A的孪生集合．
(1)判断下列集合S、T是否具有孪生性质，如果有，求出其孪生集合；如果没有，请说明理由．
①；②．
(2)若集合，且集合A具有孪生性质，求t的最小值．
(3)已知且，记m到100的连续自然数为集合B，即，若集合B具有孪生性质，求m的最小值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）写出集合、，然后根据定义判断即可；
（2）用表示出集合、，根据列不等式求解可得；
（3）分别写出集合B的孪生集合，根据定义即可列出关于的不等式，解不等式即可.
【详解】（1）对集合，，，
，所以具有孪生性质，且孪生集合为，；
对集合，，，，
所以，不具有孪生性质．
（2），于是2、3、4、、、，
0、1、、，
因为，所以，，又，．
（3），
因为，所以，解得，又，故．
6．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合P为的自邻集．记为集合的所有自邻集中最大元素k的集合的个数．
(1)直接判断集合和是否为的自邻集；
(2)比较和的大小，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2)，理由见解析.
【分析】（1）利用自邻集的定义直接判断即可.
（2）利用自邻集的定义求出的自邻集中最大元集分别为6，5，3的所有自邻集，从而可得答案.
【详解】（1）由，得和，
而，所以不是的自邻集，
又，
所以是的自邻集.
（2），
则其自邻集中最大元素为6的集合中必含5和6，则有，，，
，，，，，共9个，即，
其自邻集中最大元素为5的集合中必含4和5，则有，，，，共5个， ，
其自邻集中最大元素为3的集合中必含2和3，则有，共2个，，
所以.
7．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）数字的任意一个有序排列记作，设为所有这样的排列构成的集合.如：.
记集合任意整数，都有；
记集合任意整数，都有.
(1)用列举法表示集合；
(2)用列举法表示集合，；
(3)求集合中元素的个数.
【答案】(1)
(2)，
(3)1
【分析】（1）直接一一列举即可；
（2）集合属于单调递增排列，再根据所给定义利用列举法表示即可；
（3）根据题意知，，所以，即可得解．
【详解】（1）依题意.
（2）因为集合任意整数，都有，所以,
任意整数，都有，
所以；
（3）考虑集合中的元素.
由已知，对任意整数，都有，
所以，
所以.
由的任意性可知，是的单调递增排列，
所以，
又因为当时,对任意整数，，
都有，
所以，所以，
所以集合的元素个数为1.
8．（23-24高一上·上海·期中）对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是．
(1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素；
(2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过；
(3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是．
【答案】(1)、
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“协同子集”的定义直接写出另外两个元素；
（2）若为的一个“协同子集”，考虑元素，进行判断证明即可；
（3）根据“协同子集”的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意可知，中两个元素分别为和，这两个元素第个分量都是，
故中另外两个元素分别为、.
（2）解：对于，考虑元素；
显然，、、，对于任意的，、、不可能都为，
可得、不可能都在“协同子集”中．
又因为取定，则一定存在且唯一，而且，
由的定义知道，，，，
这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过．
（3）证明：，，
定义元素、的乘积为，显然．
我们证明“对任意的，都有.”
假设存在、使得，
则由（2）知，．
此时，对于任意的，、、不可能同时为，矛盾，所以．
因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积，
根据上面的结论，我们知道，
显然这个元素的分量不能都为，不妨设，
根据的定义，可以知道中所有元素的第个分量都为．
下面再证明的唯一性：
若还有，即中所有元素的第个分量都为，
此时由（2）可知集合中元素个数至多为个，矛盾．
所以结论成立．
【点睛】方法点睛：解决集合新定义问题的方法：
（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．
（2）用“协同子集”的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用“协同子集”的性质．
题型6
充分、必要条件及参数问题
一、单选题
1．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知命题：，命题：，则命题是命题的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用命题概念、充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件的定义分析运算判断即可得解.
【详解】已知命题：成立，则且，故，
即命题：成立；
已知命题：成立，则或，比如，，则，
即命题：不一定成立；
综上，命题是命题的充分不必要条件.
故选：A.
二、填空题
2．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可.
【详解】由已知得，.
设,，
若是的充分不必要条件，则，，
所以集合是集合的真子集.
所以．
故答案为：.
三、解答题
3．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）已知：：或.
(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)．
【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可；
（2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可.
【详解】（1）因为p：，所以p：，即，
因为p是q的充分条件，所以或，
解得或，即实数的取值范围是或；
（2）依题意，：，由（1）知p：，
又p是的必要不充分条件，所以，其中等号不能同时取到，
解得，即实数m的取值范围是．
4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围．
【答案】．
【分析】利用是的充分非必要条件得到集合间的关系，进而得到关于实数的不等式组，解不等式即可.
【详解】解：因为是的充分非必要条件，
所以或是或的真子集，
所以或解得．
即实数的取值范围是．
5．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知命题方程没有实数根.
(1)若是假命题，求实数的取值集合；
(2)在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)选择条件，答案见解析.
【分析】（1）利用方程的判别式求出命题，进而求出集合.
（2）利用（1）的结论，再选择条件①②，借助集合的包含关系，列式求解即得.
【详解】（1）由方程没有实数根，得，解得，
由是假命题，则是真命题，
所以实数的取值集合.
（2）由（1）知，，由集合非空，得，解得，
选①，是的充分而不必要条件，则，于是或，无解，
所以不存在实数，使得是的充分而不必要条件.
选②，是的必要而不充分条件，则，于是或，而，解得，
所以存在实数，使得是的必要而不充分条件，的取值范围是.
题型7
充要条件的证明
一、解答题
1．（2024高一·全国·专题练习）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，．
(1)计算；
(2)证明，“或”是“”的充要条件．
【答案】(1)1；
(2)证明见解析
【分析】（1）先理解的运算，然后求解即可；
（2）先证充分性，再证必要性即可．
【详解】（1）.
（2）先证充分性：当或时，则，
即或是的充分条件；
再证必要性：当时，
显然当时，，当时，，
即与均不合题意，
当时，由，则，
当时，由，则，
即“或”是“”的必要条件，
综上，命题得证．
2．（2024高二上·贵州黔东南·阶段练习）已知一元二次方程.
（1）若是方程的两个根，求b的值；
（2）求证：“是方程的一个根”的充要条件是“”.
【答案】（1）0；（2）证明见解析.
【解析】（1）化简即得解；
（2）先证明充分性，再证明必要性得证.
【详解】（1）由题得，所以；
（2）先证明充分性：
当时，或，
所以是方程的一个根，
所以充分性成立；
再证明必要性：
当是方程的一个根时，
.
所以必要性成立.
所以“是方程的一个根”的充要条件是“”.
【点睛】方法点睛：证明是的充要条件，要先证明充分性，即；再证明必要性，即.
3．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是.
【答案】答案见解析
【分析】先证明充分性，即由，得是方程的一个根；再证必要性，由是方程的一个根，得.
【详解】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1；
由，得，
代入方程得，得，
所以，是方程的一个根.
②必要性：即证明若是方程的根；
将代入方程，即有.
综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是.
题型8
全称量词命题和存在量词命题及参数问题
一、解答题
1．（23-24高二下·河北·期末）已知或.
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意得到是假命题，结合一元二次方程的性质，列出不等式即可求解；
（2）根据（1）的结论，得出命题是真命题的范围，再将问题转化为集合间的真子集关系，从而得到不等式组即可求解.
【详解】（1）因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于的方程无实数根.
当时，方程无解，符合题意；
当时，，解得.
故实数的取值范围是.
（2）由（1）知若命题是真命题，则或.
因为命题是命题的必要不充分条件，
所以或⫋或，
则解得，
所以实数的取值范围是.
2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，根据，分类求参数即可；
（2）命题是真命题即，先求时，的取值范围或，
进而可得时的取值范围.
【详解】（1）若，满足，此时，即，
当时，要使，则，即，即，
综上实数的取值范围为.
（2）命题：“，使得”是真命题，等价于，
若时，
当，满足，此时，即，
当时，，
若，则满足或，
即或，
综上若，得或，
则当时，即实数的取值范围是.
3．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合
(1)若，求实数的取值范围.
(2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）考虑的情况，然后求解出的范围，最后根据对应范围在实数集下的补集求解出结果；
（2）根据条件先分析出，然后考虑的情况，由此求解出符合条件的的取值范围.
【详解】（1）当时，，
若，满足，则，解得；
若，因为，所以，所以，
所以时，的取值范围是，
所以时，的取值范围是.
（2）因为“，使得”是真命题，所以，
当时，
若，成立，此时，解得；
若，则有或，解得，
所以时，的取值范围是或，
所以命题为真命题时的取值范围是.
题型9
集合与常用逻辑用语中的结构不良问题
一、解答题
1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知命题为假命题.设实数的取值集合为，设集合，若__________，求实数的取值范围.
在①若“”是“”的必要不充分条件；②“”是“”的充分条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题的横线处，并按照你的选择求解问题.
【答案】答案见解析
【分析】由特称命题为假求参数a的范围，即得集合A，根据所选条件判断集合A、B的包含关系，讨论、求参数m的范围.
【详解】由已知命题为假，则为真，
当，显然不成立；
当，只需；
所以，
选①：若“”是“”的必要不充分条件，则，
当，则满足要求；
当，则，且，此时；
所以；
选②：“”是“”的充分条件，则，而，
当，则满足要求；
当，则，且，此时；
所以；
选③：由，
当，则满足要求；
当，则，且，此时；
所以.
2．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若______，求实数的取值范围．
请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题．
①；②“”是“”充分不必要条件；③．
【答案】(1)或
(2)分类讨论，答案见解析.
【分析】（1）借助集合交并补的运算性质计算即可得；
（2）选①可得，结合子集性质即可得；选②可得，结合真子集性质即可得；选③可得或，计算即可得.
【详解】（1）当时，，
则，
由于，因此或；
（2）因为，所以，
若选取①：因为，所以，
所以，解得，
即的取值范围是.
若选取②：由“”是“”的充分不必要条件，
可得，
则或，
解得，
即的取值范围是.
若选取③：因为，
所以或，解得或，
即的取值范围是.
3．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知集合，.
(1)求的真子集；
(2)若______，求实数的取值集合.
从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答.
①“”是“”的充分条件；②.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求出集合，再根据真子集的定义即可得解；
（2）选①，由“”是“”的充分条件，可得，再分两种情况讨论即可.
选②，由，可得，再分两种情况讨论即可.
【详解】（1），
所以集合的真子集有；
（2）选①，因为“”是“”的充分条件，
所以，
当时，，符合题意，
当时，，
因为，所以或，所以或，
综上所述，实数的取值集合为.
选②，因为，所以，
当时，，符合题意，
当时，，
因为，所以或，所以或，
综上所述，实数的取值集合为.