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专题13 函数的奇偶性（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略练习（人教A版2019必修第一册）
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这是一份专题13 函数的奇偶性（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略练习（人教A版2019必修第一册），文件包含专题13函数的奇偶性5大压轴考法原卷版docx、专题13函数的奇偶性5大压轴考法解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练3
\l "_Tc170135646" 题型一、由奇偶性求参数3
\l "_Tc170135647" 题型二、由奇偶性求函数解析式7
\l "_Tc170135648" 题型三、根据奇偶性解不等式8
\l "_Tc170135648" 题型四、奇偶性与对称性综合应用11
\l "_Tc170135648" 题型五、奇偶性与单调性综合应用13
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（21题）17
一、函数的奇偶性
1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称．
2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论．
3、奇函数、偶函数图象对称性的推广
二、判断奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
注：判断与的关系时，也可以使用如下结论：
（1）如果或，则函数为偶函数；
（2）如果或，则函数为奇函数．
2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．
3、性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论：
三、函数奇偶性的应用
函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．
1、由函数的奇偶性求参数
若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数．
2、由函数的奇偶性求函数值
由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值．
3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤
（1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上；
（2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得；
（3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出．
四、函数奇偶性与单调性的综合应用
1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
2、区间和关于原点对称
（1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值；
（2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值．
3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较．
注：由或及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响．
【题型一 由奇偶性求参数】
一、单选题
1．（23-24高一上·湖北·期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】根据奇函数得到，，解得答案，再验证即可.
【详解】函数是定义在区间上的奇函数，
则，解得，定义域为，，则，
，定义域为，，函数为奇函数，满足，
故.
故选：C
2．（23-24高一上·江苏无锡·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据此想法，我们可以求函数图象的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，化简后，利用奇函数的定义求得的值，即得答案.
【详解】令
由为奇函数，得，则，解得，
所以函数图象的对称中心为.
故选：A
3．（23-24高一上·山东德州·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．B．3C．D．51
【答案】B
【分析】根据定义域关于原点对称求得，根据偶函数定义求得，可得的解析式，进而得.
【详解】由题意，定义域关于原点对称，则，解得，
则，又是偶函数，
则，即，解得，
则，，
则.
故选：B.
4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】根据为偶函数，得在(或其子集)上为偶函数，求得的取值范围.
【详解】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数，
在(或其子集)上为偶函数，
恒成立，
恒成立，
故选: A .
5．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数为奇函数，则等于（ ）
A．B．1C．0D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出值即可.
【详解】依题意，当时，，则，
而当时，，因此，则，，
当时，，则，
又，于是，，
所以，所以.
故选：C
二、填空题
6．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ．
【答案】
【分析】由f-x=fx进行求解．
【详解】因为函数为偶函数，所以f-x=fx，
即，
即，
两边平方，化简可得．
要使上式恒成立，则，即．
故答案为：
7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知函数的表达式为，且在上为奇函数，则的值为 .
【答案】/0.5
【分析】根据题意，由奇函数的性质求出c的值，结合函数求出a，b的值，可得函数解析式，计算可得答案.
【详解】根据题意，函数在上为奇函数，
所以有，
即在上为奇函数，
所以，即，
故，
则，
所以，
所以，则.
故答案为：
8．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是奇函数，不等式组的解集为，且，满足，，则 ， .
【答案】 0 /
【分析】根据奇函数定义求出；根据的解集为，且且，满足，求出即可.
【详解】的定义域为，又函数是奇函数，所以定义域关于对称，
从而，即.当时，，.故；
，不等式组等价于，
因为其解集为，是开区间，所以函数在不单调，所以；
又，所以，因此，是的两个正根，即，
所以，解得，
又因为，所以，
即，解得或（舍）.
故答案为：0；.
【点睛】关键点睛：本题主要考察型函数的图象问题，根据的解集为开区间确定函数在不单调，从而确定“，是的两个正根”是解题的关键.
【题型二 由奇偶性求函数解析式】
一、填空题
1．（23-24高一上·北京昌平·期中）设是定义在上的奇函数，且时，，则 ；当时， ．
【答案】 2
【分析】根据函数的奇偶性求出以及当时的解析式即可．
【详解】是定义在上的奇函数，则，
则，
令，则，
故，
故当时，，又，故时也成立，
所以当时，.
故答案为：2；．
2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性，求函数解析式．
【详解】函数对一切实数都满足，
所以，
设，则， ，
又因为，即，
所以
所以.
故答案为：．
3．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 .
【答案】
【分析】按题意求函数表达式即可
【详解】
和已知条件相加得
故
故
故答案为：
【题型三 根据奇偶性解不等式】
一、单选题
1．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用偶函数的性质和函数的单调性即可求解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以，
又因为是在区间单调递减，
所以，即，于是有，解得或，
故不等式的解集为.
故选：A.
2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用偶函数的性质，分段解不等式即得.
【详解】函数是上的偶函数，在上是减函数，则在上是增函数，，
不等式化为：或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
3．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当0A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由奇函数的定义可得f-x=-fx，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式可得所求解集.
【详解】由奇函数的定义可得f-x=-fx，
当时，则，，
当时，则，，
由或，
根据分析可得解集为.
故选：C
4．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】代入点坐标求得的值，分别判断函数的单调性和奇偶性，将恒等变换为，最后利用函数单调性即可求解.
【详解】由题意知，解得，所以，即 ，
易得在R上单调递增．因为，所以为奇函数．
又，故等价于，
则，解得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性和奇偶性在求解抽象不等式中的应用，属于难题.
解题关键在于对抽象不等式的处理，其一，要利用函数解析式将化成f4x，其二，利用奇偶性处理负号，其三，根据单调性去掉函数符号.
5．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性以及当时的解析式，求出的解析式，解不等式，可得x的取值范围，进而结合，再分类讨论，求解相应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知为定义在上的奇函数，则，
当时，，
当时，，
故，
又，得或，
解得或，则；
所以时，，
当时，，解得或，则，
当时，，满足；
当时，，解得，则，
综上，a的取值范围为，
故选：C
【点睛】易错点点睛：本题考查了函数奇偶性以及分段函数的性质问题，涉及到解不等式以及复合函数问题，易错点首先是利用奇偶性求的解析式，其次是求出的x的范围后，要分类讨论a的范围，再求解相应不等式，这里也很容易出错.
【题型四 奇偶性与对称性综合应用】
一、单选题
1．（22-23高一下·云南保山·阶段练习）若函数是偶函数，则函数的图象对称轴是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的平移即可求解原函数的对称轴.
【详解】是偶函数，的图象关于轴对称，
又的图象是的图象向左平移一个单位长度得到，
的对称轴为，
故选：B.
2．（22-23高二下·安徽黄山·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题设易得，并判断的周期，利用周期性、偶函数性质求目标函数值.
【详解】由题意关于对称，即，且，
所以，即，又，
所以，即，
所以，故的周期为4，
则.
故选：B
3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ）．
A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数
B．在区间上是增函数，在区间上是减函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．在区间上是减函数，在区间上是减函数
【答案】B
【分析】根据函数关于轴和轴对称，利用已知区间的单调性求解.
【详解】因为，所以函数关于成轴对称，
所以区间与区间，区间与关于对称，
由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数，
又函数是偶函数，所以函数在上是增函数，
所以函数在上是减函数，
故选：B
4．（22-23高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】函数是定义在R上的偶函数，可知对称轴为，又可推出周期为4，根据函数的对称性和周期性即可判断正误.
【详解】解：因为函数是定义在R上的偶函数，
所以关于对称，则，
又，
所以，即，
函数的周期为4，
取，则，
所以，则D选项正确，B、C选项错误；
由已知条件不能确定的值，A选项错误；
故选：D.
5．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知是定义在R上的奇函数，设函数的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】A
【分析】由题意可得的最大，最小值分别为，，由奇函数的性质可得，变形可得答案．
【详解】，
令，因为是奇函数，所以，
，所以函数是奇函数，
所以函数的最大值为，最小值为，由奇函数得性质可得，，
解得.
故选：A.
6．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知定义域为R的函数满足：fx-1为偶函数，，且，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，再利用赋值法求出以及，结合函数周期，即可求得答案.
【详解】由题意知定为域为R的函数满足：为偶函数，
即，即，结合，
得，即，
故，即，
则，故8为函数的一个周期，
由于，，故令，则，
结合，令，得，
对于，令，则，
故，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数的求值问题，解答的关键是根据函数满足的条件，推出函数周期，进而结合赋值法求值，即可求解答案.
【题型五 奇偶性与单调性综合应用】
一、单选题
1．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．(1,+∞)C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分析出的单调性，且得到时，，时，的结论，然后分类讨论解不等式即可.
【详解】对于任意的，当时，都有成立，
所以在严格增，又是定义在上的奇函数，
所以在上严格增，且，所以时，，时，，
或，即或，
所以，
故选：D.
2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当，时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式求解.
【详解】由题意，函数为偶函数，且在上单调递减，所以在单调递增，
又恒成立，所以恒成立.
由恒成立.
由即恒成立，得；
由即恒成立，得.
综上可得，即.
故选：B
3．（23-24高一上·广西贺州·期末）若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据题意，设，，分析的奇偶性和单调性，由此分情况解不等式可得答案．
【详解】
根据题意，设，，
是定义在,,上的奇函数，即，
故，函数为偶函数，
由题意当时，有，函数在上为减函数，
又由为偶函数，则在上为增函数，
又由，则，同时，
或，
必有或，即的取值范围为.
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性解不等式，关键是构造函数明确其奇偶性，并分情况解不等式.
4．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知奇函数是定义在上的减函数，且，若，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用奇函数性质计算判断A；由单调性得，分析判断B；根据给定条件，结合奇函数性质、单调性计算判断CD.
【详解】由是上的奇函数，得，又，因此，A错误；
由是上的减函数，得，即，因此，不一定有，B错误；
由，是上的奇函数，得，C错误；
由，是上的奇函数，得，
又是上的减函数，则，即，因此，D正确.
故选：D
5．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，得到，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出.
【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称，
在上单调递增，则在上单调递减，
所以越靠近对称轴函数值越小，
由得，
由于，所以，故，
可得，即时恒成立，
可得，
由于在时单调递增，，此时，
在时单调递减，，此时，
则实数的取值范围为.
故选：A
6．（2022高一上·全国·专题练习）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
【答案】C
【分析】根据题意分析的奇偶性、对称性、单调性与周期性，逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于AB，因为是奇函数，且，
所以，
则，故关于点2,0成中心对称，
又，则关于成轴对称，故AB错误；
对于C，因为在区间0,1上，有，
所以在0,1内单调递增又关于成轴对称，2,0中心对称，
则在2,3内单调递减，故正确；
对于D，因为，则fx+2=-fx，
所以fx+4=-fx+2=fx，可知的周期为4，
则，故D错误.
故选：C.
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项.
【详解】因为，
对于A选项，，
令，该函数的定义域为，
，则为奇函数，A满足要求；
对于B选项，
，
令，该函数的定义域为，则，
所以，函数不是奇函数，B不满足条件；
对于C选项，
，
令，该函数的定义域为，则，
所以，函数不是奇函数，C不满足条件；
对于D选项，，
令，该函数的定义域为，则，
所以，函数不是奇函数，D不满足要求.
故选：A.
2．（23-24高一上·河南·期中）已知函数是奇函数，且在区间上的最大值为2，则（ ）
A．2或B．C．3D．3或
【答案】D
【分析】通过可得的值，判断出的单调性，列出关于的方程解出即可.
【详解】由题可知，即，
则，，所以.
因为在区间上单调递增，所以，
解得或.
故选：D.
3．（2024·陕西西安·三模）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．0B．105C．210D．225
【答案】C
【分析】根据题意，由奇函数的性质以及，分析可得，求出，，即可求解.
【详解】因为是奇函数，所以．由，可得，则．
因为是奇函数，所以，则，，，，又，则，，，，
所以．
故选：C
4．（2024高一下·上海·专题练习）函数的图象关于直线对称，那么错误的是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是偶函数
【答案】D
【分析】根据函数的对称轴可直接判断A,B，结合函数图象平移的性质，可判断C,D.
【详解】由f(x)的图象关于对称可知，
，，故A,B正确；
把函数的图象向左平移个单位可得的图象，
关于对称，即为偶函数，故C正确；
把函数的图象向右平移个单位可得的图象，
关于对称，不能得到其为偶函数，故D错误，
故选：．
5．（23-24高一上·安徽亳州·期末）设是上奇函数，且满足：对任意的且都有，，则的解集是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】由题得出的性质，然后作出草图即可得出答案.
【详解】对任意的且都有，所以时，严格减，又是上奇函数，且f1=0，所以可以画出的草图如下：
由图易知，当时，，此时；当时，，此时，故不等式解集为或，
故选：D.
6．（23-24高一上·安徽·期末）定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用的奇偶性与单调性得到在上单调递增与，再分类讨论的取值范围，结合偶函数的性质即可得解.
【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，
所以在上单调递增，，
因为，
当，即时，，即，
所以，即，解得，故；
当，即时，，即，
所以，即或，解得或，故；
综上：或.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分利用偶函数的性质，从而简化运算得解.
7．（24-25高二上·江苏·开学考试）若函数是定义域为R的奇函数，且fx+2=-fx，，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．的图象关于点2,0中心对称
C．的图象关于直线对称
D．
【答案】D
【分析】对于A：根据，赋值令，即可得结果；对于C：根据结合奇函数定义可得，即可得结果；对于B：根据选项B中结论分析可得，即可得结果；对于D：分析可知：4为的周期，结合周期性分析求解.
【详解】因为，，
对于选项A：令，可得，故A正确；
对于选项C：因为函数是定义域为的奇函数，则，
则，所以的图象关于直线对称，故C正确；
对于选项B：因为，可得，
则，
即，所以的图象关于点中心对称，故B正确；
对于选项D：因为，
令，可得，
令，可得，
又因为，则，
可知4为的周期，可得，即，
因为，所以，故D错误；
故选：D
8．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）定义在上的函数满足：
①，且，都有；
②，都有．
若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由①②可推导的奇偶性以及单调性，结合性质可建立的不等关系，求出的范围，代入中即可求出结果.
【详解】对于①，，且，都有，即与符号相反，所以为上的减函数；
对于②，，都有，即，则为上的奇函数；
若，则，即，
由单调性知，
因为，化简可得：，解得：.
则.
故选：A
二、多选题
9．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于原点对称B．的值域是
C．若，则D．是增函数
【答案】AB
【分析】首先得到函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，从而判断A，再根据函数的单调性判断B、D，利用作差法判断C.
【详解】函数的定义域为，
因为，即为奇函数，函数图象关于原点对称，故A正确；
当时，单调递增，，当时，，当时，，即此时函数值域为，
根据奇函数的对称性可知，函数的值域为，故B正确；
若，则，当且仅当时取等号，显然等号无法取得，
所以，所以，
则，
所以，故C错误；
因为，显然函数不单调，故D错误．
故选：AB．
10．（23-24高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．的图象关于点对称D．若在上单调递减，则
【答案】ABC
【分析】求出函数的定义域和值域可判断A、B；根据图象的平移法可判断C；根据函数的单调性解不等式可判断D
【详解】由得，所以的定义域为，A正确；
由及，
可得的值域为，B正确；
的图象可由奇函数的图象向右平移4个单位，
再向上平移个单位得到，所以的图象关于点对称，C正确；
在上单调递减，则或，即或 ，D错误．
故选：ABC．
11．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于点中心对称，若 则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用中心对称的性质判断A；赋值计算判断BC；由条件探求得，再推理计算判断D.
【详解】函数f(x)的定义域为R，其图象关于点中心对称，
对于A，，A正确；
对于B，，又，取，则，解得，B错误；
对于C，在中，取，得，因此，C正确；
对于D，由，得，
两式相加得，而，
则，即，因此，
即，而，所以，D正确.
故选：ACD
12．（23-24高一上·福建漳州·阶段练习）已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．，使得对恒成立
【答案】CD
【分析】根据函数的单调性、奇偶性对命题进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由条件①得是偶函数，所以，条件②得在0,+∞上单调递增，所以，故A错误；
若，则，故B错误；
若，在0,+∞上单调递增，在上单调递减，
则或，因为，所以或，所以或，故C正确；
因为定义在R上函数的图象是连续不断的，是偶函数，且0,+∞在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确；
故选：CD.
三、填空题
13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知是定义在R上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ， .
【答案】 / /
【分析】结合已知函数解析式，利用奇函数性质求得，再结合偶函数性质求得，进而求得.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以f-x=-fx，
所以，
又函数为偶函数，得，
所以，
所以fx+4=-fx+2=fx，所以.
故答案为：；
14．（24-25高一上·全国·课前预习）设函数若存在，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的对称性以及函数的图象来求得的取值范围.
【详解】若f1+x=f1-x，
则函数的图象关于直线对称．
在同一直角坐标系中画出函数和的图象，
如图所示．若存在x∈R，使得f1+x=f1-x，则．
故答案为：
15．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）若函数为奇函数，且时，；则时解析式为 ，若，则a的取值范围为
【答案】
【分析】根据奇函数的定义求解析式，利用单调性解不等式．
【详解】因为是奇函数，所以时，，
时，，是减函数，时也是减函数，因此它在上也是减函数，从而在上是减函数，
由得，解得．
故答案为：；．
16．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知为定义在R上的奇函数， 当时， 则关于x的不等式的解集
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再解不等式即得.
【详解】由为定义在R上的奇函数，得，则当时，，
当时，，，
当时，由，即，则，于是，
当时，由，即，则，于是，
所以不等式的解集是.
故答案为：
17．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】依题意不妨令，即可得，令，x∈-∞,0∪0,+∞，即可得到在0,+∞上单调递增，再由及奇偶性得到在0,+∞上的取值情况，从而得到的解集.
【详解】因为对任意的、且，都有成立，
不妨令，则，即，
所以，
令，x∈-∞,0∪0,+∞，
则当且时，，
所以在0,+∞上单调递增，
又函数y=fx是定义域为R的奇函数且，则，
所以，所以当时，gx<0，当时，gx>0，
则当时，，当时，，
又为奇函数，所以当时，，当时，，
所以不等式的解集是.
故答案为：
四、解答题
18．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数．
(1)若函数为偶函数，写出的值，并说明理由；
(2)函数为定义在上的奇函数，在（1）的结论下，若当时，，求的表达式，并解不等式．
【答案】(1)0，理由见解析
(2)，或．
【分析】（1）求出，然后用偶函数的定义证明即可；
（2）利用奇函数的性质求解析式，然后分情况解不等式即可.
【详解】（1），
理由：的定义域为，为偶函数，关于轴对称，
∴，
∴，即，
∴的值为0．
（2）由（1）可得，当时，；
当时，，．
因为为定义在上的奇函数，所以．
当时，．
所以的表达式为
当时，令，解得；，符合；
当时，令，解得．
综上，不等式的解集为或．
19．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知是定义域上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)判断并用定义证明在区间上的单调性；
(3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值.
【答案】(1)
(2)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质得到，从而得到关于、的方程组，解得即可；
（2）按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可；
（3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得.
【详解】（1）因为是定义域上的奇函数，且，
所以，
所以，解得，即．
经检验，是奇函数，满足题意，所以.
（2）函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
当x1,x2∈(0,1)，且，
则，，∴，
∴，即，
所以函数在上单调递减．
当，且，
则，，∴，
∴，即，
所以函数在上单调递增．
（3）由题意知，
令，则，
由（2）可知函数在上单调递减，
∴，
因为函数的对称轴方程为，
∴函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，．
所以，，
又因为对任意的，都有恒成立，
∴，
即，解得，
又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为．
20．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数（常数）．
条件：（1）在区间上是严格增函数；
（2）在定义域上函数值恒为负值；
（3）对称中心为．
问：是否存在整数a，使该函数满足条件（1）（2）（3）中的两个条件，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，且
【分析】分离系数，由值域确定（2）成立只能，由反比例函数的单调性确定（1）成立时a的取值范围，由对称性确定（3）成立时a的取值范围.
【详解】，
当时，函数值域．
所以（2）成立只能．
要使得在区间上是严格增函数，则；
因为，
所以函数的对称中心为，
由（1）（3）得，．
由（2）（3）可得．
综上所述，且．
21．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的且时，有成立.
(1)证明：在上单调递增；
(2)解不等式：；
(3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据定义法即可证明函数单调性；
（2）利用函数单调性和奇偶性可得，解不等式可得结果；
（3）不等式先对所有的得到，再由对所有的恒成立，可求得实数的取值范围.
【详解】（1）取任意，且；
由是定义在上的奇函数，可得，
又因为对任意的且时，有成立，
所以，且；
因此可得，即.
所以在上单调递增；
（2）由于是定义在上的奇函数，将不等式变形
可得；
由（1）可知函数在上单调递增，
所以不等式需满足，
解不等式可得；
解不等式可得或；
解不等式可得或；
综合可得；
即不等式的解集为
（3）由（1）可知，在上的最大值为，
因为对所有的恒成立，
所以对所有的恒成立，
即对所有的恒成立，
令，即对所有的恒成立，
所以，即，
解得或或.
所以实数的取值范围为或或
【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题经常借助函数单调性求得其最值，转化成不等式恒成立即可.
在定义域内恒满足
的图象的对称轴（中心）
直线
直线
直线
点
点
点
偶
偶
偶
偶
偶
偶
奇
不确定
奇
偶
奇
偶
不确定
奇
偶
奇
奇
奇
偶
奇
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练3
\l "_Tc170135646" 题型一、由奇偶性求参数3
\l "_Tc170135647" 题型二、由奇偶性求函数解析式7
\l "_Tc170135648" 题型三、根据奇偶性解不等式8
\l "_Tc170135648" 题型四、奇偶性与对称性综合应用11
\l "_Tc170135648" 题型五、奇偶性与单调性综合应用13
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（21题）17
一、函数的奇偶性
1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称．
2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论．
3、奇函数、偶函数图象对称性的推广
二、判断奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
注：判断与的关系时，也可以使用如下结论：
（1）如果或，则函数为偶函数；
（2）如果或，则函数为奇函数．
2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．
3、性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论：
三、函数奇偶性的应用
函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．
1、由函数的奇偶性求参数
若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数．
2、由函数的奇偶性求函数值
由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值．
3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤
（1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上；
（2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得；
（3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出．
四、函数奇偶性与单调性的综合应用
1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
2、区间和关于原点对称
（1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值；
（2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值．
3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较．
注：由或及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响．
【题型一 由奇偶性求参数】
一、单选题
1．（23-24高一上·湖北·期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】根据奇函数得到，，解得答案，再验证即可.
【详解】函数是定义在区间上的奇函数，
则，解得，定义域为，，则，
，定义域为，，函数为奇函数，满足，
故.
故选：C
2．（23-24高一上·江苏无锡·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据此想法，我们可以求函数图象的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，化简后，利用奇函数的定义求得的值，即得答案.
【详解】令
由为奇函数，得，则，解得，
所以函数图象的对称中心为.
故选：A
3．（23-24高一上·山东德州·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．B．3C．D．51
【答案】B
【分析】根据定义域关于原点对称求得，根据偶函数定义求得，可得的解析式，进而得.
【详解】由题意，定义域关于原点对称，则，解得，
则，又是偶函数，
则，即，解得，
则，，
则.
故选：B.
4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】根据为偶函数，得在(或其子集)上为偶函数，求得的取值范围.
【详解】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数，
在(或其子集)上为偶函数，
恒成立，
恒成立，
故选: A .
5．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数为奇函数，则等于（ ）
A．B．1C．0D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出值即可.
【详解】依题意，当时，，则，
而当时，，因此，则，，
当时，，则，
又，于是，，
所以，所以.
故选：C
二、填空题
6．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ．
【答案】
【分析】由f-x=fx进行求解．
【详解】因为函数为偶函数，所以f-x=fx，
即，
即，
两边平方，化简可得．
要使上式恒成立，则，即．
故答案为：
7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知函数的表达式为，且在上为奇函数，则的值为 .
【答案】/0.5
【分析】根据题意，由奇函数的性质求出c的值，结合函数求出a，b的值，可得函数解析式，计算可得答案.
【详解】根据题意，函数在上为奇函数，
所以有，
即在上为奇函数，
所以，即，
故，
则，
所以，
所以，则.
故答案为：
8．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是奇函数，不等式组的解集为，且，满足，，则 ， .
【答案】 0 /
【分析】根据奇函数定义求出；根据的解集为，且且，满足，求出即可.
【详解】的定义域为，又函数是奇函数，所以定义域关于对称，
从而，即.当时，，.故；
，不等式组等价于，
因为其解集为，是开区间，所以函数在不单调，所以；
又，所以，因此，是的两个正根，即，
所以，解得，
又因为，所以，
即，解得或（舍）.
故答案为：0；.
【点睛】关键点睛：本题主要考察型函数的图象问题，根据的解集为开区间确定函数在不单调，从而确定“，是的两个正根”是解题的关键.
【题型二 由奇偶性求函数解析式】
一、填空题
1．（23-24高一上·北京昌平·期中）设是定义在上的奇函数，且时，，则 ；当时， ．
【答案】 2
【分析】根据函数的奇偶性求出以及当时的解析式即可．
【详解】是定义在上的奇函数，则，
则，
令，则，
故，
故当时，，又，故时也成立，
所以当时，.
故答案为：2；．
2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性，求函数解析式．
【详解】函数对一切实数都满足，
所以，
设，则， ，
又因为，即，
所以
所以.
故答案为：．
3．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 .
【答案】
【分析】按题意求函数表达式即可
【详解】
和已知条件相加得
故
故
故答案为：
【题型三 根据奇偶性解不等式】
一、单选题
1．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用偶函数的性质和函数的单调性即可求解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以，
又因为是在区间单调递减，
所以，即，于是有，解得或，
故不等式的解集为.
故选：A.
2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用偶函数的性质，分段解不等式即得.
【详解】函数是上的偶函数，在上是减函数，则在上是增函数，，
不等式化为：或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
3．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当0
C．D．
【答案】C
【分析】由奇函数的定义可得f-x=-fx，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式可得所求解集.
【详解】由奇函数的定义可得f-x=-fx，
当时，则，，
当时，则，，
由或，
根据分析可得解集为.
故选：C
4．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】代入点坐标求得的值，分别判断函数的单调性和奇偶性，将恒等变换为，最后利用函数单调性即可求解.
【详解】由题意知，解得，所以，即 ，
易得在R上单调递增．因为，所以为奇函数．
又，故等价于，
则，解得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性和奇偶性在求解抽象不等式中的应用，属于难题.
解题关键在于对抽象不等式的处理，其一，要利用函数解析式将化成f4x，其二，利用奇偶性处理负号，其三，根据单调性去掉函数符号.
5．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性以及当时的解析式，求出的解析式，解不等式，可得x的取值范围，进而结合，再分类讨论，求解相应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知为定义在上的奇函数，则，
当时，，
当时，，
故，
又，得或，
解得或，则；
所以时，，
当时，，解得或，则，
当时，，满足；
当时，，解得，则，
综上，a的取值范围为，
故选：C
【点睛】易错点点睛：本题考查了函数奇偶性以及分段函数的性质问题，涉及到解不等式以及复合函数问题，易错点首先是利用奇偶性求的解析式，其次是求出的x的范围后，要分类讨论a的范围，再求解相应不等式，这里也很容易出错.
【题型四 奇偶性与对称性综合应用】
一、单选题
1．（22-23高一下·云南保山·阶段练习）若函数是偶函数，则函数的图象对称轴是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的平移即可求解原函数的对称轴.
【详解】是偶函数，的图象关于轴对称，
又的图象是的图象向左平移一个单位长度得到，
的对称轴为，
故选：B.
2．（22-23高二下·安徽黄山·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题设易得，并判断的周期，利用周期性、偶函数性质求目标函数值.
【详解】由题意关于对称，即，且，
所以，即，又，
所以，即，
所以，故的周期为4，
则.
故选：B
3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ）．
A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数
B．在区间上是增函数，在区间上是减函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．在区间上是减函数，在区间上是减函数
【答案】B
【分析】根据函数关于轴和轴对称，利用已知区间的单调性求解.
【详解】因为，所以函数关于成轴对称，
所以区间与区间，区间与关于对称，
由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数，
又函数是偶函数，所以函数在上是增函数，
所以函数在上是减函数，
故选：B
4．（22-23高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】函数是定义在R上的偶函数，可知对称轴为，又可推出周期为4，根据函数的对称性和周期性即可判断正误.
【详解】解：因为函数是定义在R上的偶函数，
所以关于对称，则，
又，
所以，即，
函数的周期为4，
取，则，
所以，则D选项正确，B、C选项错误；
由已知条件不能确定的值，A选项错误；
故选：D.
5．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知是定义在R上的奇函数，设函数的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】A
【分析】由题意可得的最大，最小值分别为，，由奇函数的性质可得，变形可得答案．
【详解】，
令，因为是奇函数，所以，
，所以函数是奇函数，
所以函数的最大值为，最小值为，由奇函数得性质可得，，
解得.
故选：A.
6．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知定义域为R的函数满足：fx-1为偶函数，，且，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，再利用赋值法求出以及，结合函数周期，即可求得答案.
【详解】由题意知定为域为R的函数满足：为偶函数，
即，即，结合，
得，即，
故，即，
则，故8为函数的一个周期，
由于，，故令，则，
结合，令，得，
对于，令，则，
故，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数的求值问题，解答的关键是根据函数满足的条件，推出函数周期，进而结合赋值法求值，即可求解答案.
【题型五 奇偶性与单调性综合应用】
一、单选题
1．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．(1,+∞)C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分析出的单调性，且得到时，，时，的结论，然后分类讨论解不等式即可.
【详解】对于任意的，当时，都有成立，
所以在严格增，又是定义在上的奇函数，
所以在上严格增，且，所以时，，时，，
或，即或，
所以，
故选：D.
2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当，时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式求解.
【详解】由题意，函数为偶函数，且在上单调递减，所以在单调递增，
又恒成立，所以恒成立.
由恒成立.
由即恒成立，得；
由即恒成立，得.
综上可得，即.
故选：B
3．（23-24高一上·广西贺州·期末）若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据题意，设，，分析的奇偶性和单调性，由此分情况解不等式可得答案．
【详解】
根据题意，设，，
是定义在,,上的奇函数，即，
故，函数为偶函数，
由题意当时，有，函数在上为减函数，
又由为偶函数，则在上为增函数，
又由，则，同时，
或，
必有或，即的取值范围为.
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性解不等式，关键是构造函数明确其奇偶性，并分情况解不等式.
4．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知奇函数是定义在上的减函数，且，若，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用奇函数性质计算判断A；由单调性得，分析判断B；根据给定条件，结合奇函数性质、单调性计算判断CD.
【详解】由是上的奇函数，得，又，因此，A错误；
由是上的减函数，得，即，因此，不一定有，B错误；
由，是上的奇函数，得，C错误；
由，是上的奇函数，得，
又是上的减函数，则，即，因此，D正确.
故选：D
5．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，得到，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出.
【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称，
在上单调递增，则在上单调递减，
所以越靠近对称轴函数值越小，
由得，
由于，所以，故，
可得，即时恒成立，
可得，
由于在时单调递增，，此时，
在时单调递减，，此时，
则实数的取值范围为.
故选：A
6．（2022高一上·全国·专题练习）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
【答案】C
【分析】根据题意分析的奇偶性、对称性、单调性与周期性，逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于AB，因为是奇函数，且，
所以，
则，故关于点2,0成中心对称，
又，则关于成轴对称，故AB错误；
对于C，因为在区间0,1上，有，
所以在0,1内单调递增又关于成轴对称，2,0中心对称，
则在2,3内单调递减，故正确；
对于D，因为，则fx+2=-fx，
所以fx+4=-fx+2=fx，可知的周期为4，
则，故D错误.
故选：C.
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项.
【详解】因为，
对于A选项，，
令，该函数的定义域为，
，则为奇函数，A满足要求；
对于B选项，
，
令，该函数的定义域为，则，
所以，函数不是奇函数，B不满足条件；
对于C选项，
，
令，该函数的定义域为，则，
所以，函数不是奇函数，C不满足条件；
对于D选项，，
令，该函数的定义域为，则，
所以，函数不是奇函数，D不满足要求.
故选：A.
2．（23-24高一上·河南·期中）已知函数是奇函数，且在区间上的最大值为2，则（ ）
A．2或B．C．3D．3或
【答案】D
【分析】通过可得的值，判断出的单调性，列出关于的方程解出即可.
【详解】由题可知，即，
则，，所以.
因为在区间上单调递增，所以，
解得或.
故选：D.
3．（2024·陕西西安·三模）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．0B．105C．210D．225
【答案】C
【分析】根据题意，由奇函数的性质以及，分析可得，求出，，即可求解.
【详解】因为是奇函数，所以．由，可得，则．
因为是奇函数，所以，则，，，，又，则，，，，
所以．
故选：C
4．（2024高一下·上海·专题练习）函数的图象关于直线对称，那么错误的是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是偶函数
【答案】D
【分析】根据函数的对称轴可直接判断A,B，结合函数图象平移的性质，可判断C,D.
【详解】由f(x)的图象关于对称可知，
，，故A,B正确；
把函数的图象向左平移个单位可得的图象，
关于对称，即为偶函数，故C正确；
把函数的图象向右平移个单位可得的图象，
关于对称，不能得到其为偶函数，故D错误，
故选：．
5．（23-24高一上·安徽亳州·期末）设是上奇函数，且满足：对任意的且都有，，则的解集是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】由题得出的性质，然后作出草图即可得出答案.
【详解】对任意的且都有，所以时，严格减，又是上奇函数，且f1=0，所以可以画出的草图如下：
由图易知，当时，，此时；当时，，此时，故不等式解集为或，
故选：D.
6．（23-24高一上·安徽·期末）定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用的奇偶性与单调性得到在上单调递增与，再分类讨论的取值范围，结合偶函数的性质即可得解.
【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，
所以在上单调递增，，
因为，
当，即时，，即，
所以，即，解得，故；
当，即时，，即，
所以，即或，解得或，故；
综上：或.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分利用偶函数的性质，从而简化运算得解.
7．（24-25高二上·江苏·开学考试）若函数是定义域为R的奇函数，且fx+2=-fx，，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．的图象关于点2,0中心对称
C．的图象关于直线对称
D．
【答案】D
【分析】对于A：根据，赋值令，即可得结果；对于C：根据结合奇函数定义可得，即可得结果；对于B：根据选项B中结论分析可得，即可得结果；对于D：分析可知：4为的周期，结合周期性分析求解.
【详解】因为，，
对于选项A：令，可得，故A正确；
对于选项C：因为函数是定义域为的奇函数，则，
则，所以的图象关于直线对称，故C正确；
对于选项B：因为，可得，
则，
即，所以的图象关于点中心对称，故B正确；
对于选项D：因为，
令，可得，
令，可得，
又因为，则，
可知4为的周期，可得，即，
因为，所以，故D错误；
故选：D
8．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）定义在上的函数满足：
①，且，都有；
②，都有．
若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由①②可推导的奇偶性以及单调性，结合性质可建立的不等关系，求出的范围，代入中即可求出结果.
【详解】对于①，，且，都有，即与符号相反，所以为上的减函数；
对于②，，都有，即，则为上的奇函数；
若，则，即，
由单调性知，
因为，化简可得：，解得：.
则.
故选：A
二、多选题
9．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于原点对称B．的值域是
C．若，则D．是增函数
【答案】AB
【分析】首先得到函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，从而判断A，再根据函数的单调性判断B、D，利用作差法判断C.
【详解】函数的定义域为，
因为，即为奇函数，函数图象关于原点对称，故A正确；
当时，单调递增，，当时，，当时，，即此时函数值域为，
根据奇函数的对称性可知，函数的值域为，故B正确；
若，则，当且仅当时取等号，显然等号无法取得，
所以，所以，
则，
所以，故C错误；
因为，显然函数不单调，故D错误．
故选：AB．
10．（23-24高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．的图象关于点对称D．若在上单调递减，则
【答案】ABC
【分析】求出函数的定义域和值域可判断A、B；根据图象的平移法可判断C；根据函数的单调性解不等式可判断D
【详解】由得，所以的定义域为，A正确；
由及，
可得的值域为，B正确；
的图象可由奇函数的图象向右平移4个单位，
再向上平移个单位得到，所以的图象关于点对称，C正确；
在上单调递减，则或，即或 ，D错误．
故选：ABC．
11．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于点中心对称，若 则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用中心对称的性质判断A；赋值计算判断BC；由条件探求得，再推理计算判断D.
【详解】函数f(x)的定义域为R，其图象关于点中心对称，
对于A，，A正确；
对于B，，又，取，则，解得，B错误；
对于C，在中，取，得，因此，C正确；
对于D，由，得，
两式相加得，而，
则，即，因此，
即，而，所以，D正确.
故选：ACD
12．（23-24高一上·福建漳州·阶段练习）已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．，使得对恒成立
【答案】CD
【分析】根据函数的单调性、奇偶性对命题进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由条件①得是偶函数，所以，条件②得在0,+∞上单调递增，所以，故A错误；
若，则，故B错误；
若，在0,+∞上单调递增，在上单调递减，
则或，因为，所以或，所以或，故C正确；
因为定义在R上函数的图象是连续不断的，是偶函数，且0,+∞在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确；
故选：CD.
三、填空题
13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知是定义在R上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ， .
【答案】 / /
【分析】结合已知函数解析式，利用奇函数性质求得，再结合偶函数性质求得，进而求得.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以f-x=-fx，
所以，
又函数为偶函数，得，
所以，
所以fx+4=-fx+2=fx，所以.
故答案为：；
14．（24-25高一上·全国·课前预习）设函数若存在，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的对称性以及函数的图象来求得的取值范围.
【详解】若f1+x=f1-x，
则函数的图象关于直线对称．
在同一直角坐标系中画出函数和的图象，
如图所示．若存在x∈R，使得f1+x=f1-x，则．
故答案为：
15．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）若函数为奇函数，且时，；则时解析式为 ，若，则a的取值范围为
【答案】
【分析】根据奇函数的定义求解析式，利用单调性解不等式．
【详解】因为是奇函数，所以时，，
时，，是减函数，时也是减函数，因此它在上也是减函数，从而在上是减函数，
由得，解得．
故答案为：；．
16．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知为定义在R上的奇函数， 当时， 则关于x的不等式的解集
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再解不等式即得.
【详解】由为定义在R上的奇函数，得，则当时，，
当时，，，
当时，由，即，则，于是，
当时，由，即，则，于是，
所以不等式的解集是.
故答案为：
17．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】依题意不妨令，即可得，令，x∈-∞,0∪0,+∞，即可得到在0,+∞上单调递增，再由及奇偶性得到在0,+∞上的取值情况，从而得到的解集.
【详解】因为对任意的、且，都有成立，
不妨令，则，即，
所以，
令，x∈-∞,0∪0,+∞，
则当且时，，
所以在0,+∞上单调递增，
又函数y=fx是定义域为R的奇函数且，则，
所以，所以当时，gx<0，当时，gx>0，
则当时，，当时，，
又为奇函数，所以当时，，当时，，
所以不等式的解集是.
故答案为：
四、解答题
18．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数．
(1)若函数为偶函数，写出的值，并说明理由；
(2)函数为定义在上的奇函数，在（1）的结论下，若当时，，求的表达式，并解不等式．
【答案】(1)0，理由见解析
(2)，或．
【分析】（1）求出，然后用偶函数的定义证明即可；
（2）利用奇函数的性质求解析式，然后分情况解不等式即可.
【详解】（1），
理由：的定义域为，为偶函数，关于轴对称，
∴，
∴，即，
∴的值为0．
（2）由（1）可得，当时，；
当时，，．
因为为定义在上的奇函数，所以．
当时，．
所以的表达式为
当时，令，解得；，符合；
当时，令，解得．
综上，不等式的解集为或．
19．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知是定义域上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)判断并用定义证明在区间上的单调性；
(3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值.
【答案】(1)
(2)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质得到，从而得到关于、的方程组，解得即可；
（2）按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可；
（3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得.
【详解】（1）因为是定义域上的奇函数，且，
所以，
所以，解得，即．
经检验，是奇函数，满足题意，所以.
（2）函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
当x1,x2∈(0,1)，且，
则，，∴，
∴，即，
所以函数在上单调递减．
当，且，
则，，∴，
∴，即，
所以函数在上单调递增．
（3）由题意知，
令，则，
由（2）可知函数在上单调递减，
∴，
因为函数的对称轴方程为，
∴函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，．
所以，，
又因为对任意的，都有恒成立，
∴，
即，解得，
又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为．
20．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数（常数）．
条件：（1）在区间上是严格增函数；
（2）在定义域上函数值恒为负值；
（3）对称中心为．
问：是否存在整数a，使该函数满足条件（1）（2）（3）中的两个条件，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，且
【分析】分离系数，由值域确定（2）成立只能，由反比例函数的单调性确定（1）成立时a的取值范围，由对称性确定（3）成立时a的取值范围.
【详解】，
当时，函数值域．
所以（2）成立只能．
要使得在区间上是严格增函数，则；
因为，
所以函数的对称中心为，
由（1）（3）得，．
由（2）（3）可得．
综上所述，且．
21．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的且时，有成立.
(1)证明：在上单调递增；
(2)解不等式：；
(3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据定义法即可证明函数单调性；
（2）利用函数单调性和奇偶性可得，解不等式可得结果；
（3）不等式先对所有的得到，再由对所有的恒成立，可求得实数的取值范围.
【详解】（1）取任意，且；
由是定义在上的奇函数，可得，
又因为对任意的且时，有成立，
所以，且；
因此可得，即.
所以在上单调递增；
（2）由于是定义在上的奇函数，将不等式变形
可得；
由（1）可知函数在上单调递增，
所以不等式需满足，
解不等式可得；
解不等式可得或；
解不等式可得或；
综合可得；
即不等式的解集为
（3）由（1）可知，在上的最大值为，
因为对所有的恒成立，
所以对所有的恒成立，
即对所有的恒成立，
令，即对所有的恒成立，
所以，即，
解得或或.
所以实数的取值范围为或或
【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题经常借助函数单调性求得其最值，转化成不等式恒成立即可.
在定义域内恒满足
的图象的对称轴（中心）
直线
直线
直线
点
点
点
偶
偶
偶
偶
偶
偶
奇
不确定
奇
偶
奇
偶
不确定
奇
偶
奇
奇
奇
偶
奇
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